1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)的导数在 x=a 处连续，又 则（A）x=a 是 f(a)的极小值点（B） x=a 是 f(x)的极大值点。（C） (a，f(a)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=a 不是 f(x)的极值点，(a，f(a) 也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则（A）当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0（B）对任何 (a，b)，有（C）当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b) ，使 f(
2、)=0（D）存在 (a，b) ，使 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)3 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=04 设 f(x)=x(1 一 x)，则（A）x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)
3、的拐点5 设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是（A）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)（B）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b) （C）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0（D）至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=06 当 a 取下列哪个值时，函数 f(x)=2x3 一 9x2+12xa 恰有两个不同的零点（A）2（B） 4（C） 6（D）87 设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是（A）f(0)是极大值， 是极小值（B） f(0)是极小值， 是极大值（C） f(0)是极大值
4、， 也是极大值（D）f(0)是极小值， 也是极小值8 以下四个命题中，正确的是（A）若 f(x)在(0 ，1)内连续，则 f(x)在(0，1) 内有界（B）若 f(x)在(0，1)内连续，则 f(x)在(0，1)内有界（C）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1)内有界（D）若 f(x)在(0，1)内有界，则 f(x)在(0，1) 内有界9 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0，f(x) 0， x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若x0，则（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy0
5、10 设函数 f(x)在 x=0 处连续且 ，则（A）f(0)=0 且 f-(0)存在（B） f(0)=1 且 f-(0)存在（C） f(0)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在11 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是（A）若 存在，则 f(0)=0（B） 存在，则 f(0)=0（C）若 存在，则 f(0)存在（D）若 存在，则 f(0)存在12 曲线 渐近线的条数为（A）0（B） 1（C） 2（D）313 设某商品的需求函数为 Q=1602p，其中 Q，p 分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（A）10（B） 2
6、0（C） 30（D）4014 证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)( 0)内可导，且 则f+(0)存在，且 f+(0)=A269(10，4 分)设函数 f(x)，g(x)具有二阶导数，且 g(x)0若 g(x0)=a 是 g(x)的极值，则 f(g(x)在 x0 取极大值的一个充分条件是（A）f(a) 0（B） f(a)0（C） f(a)0（D）f(a)0二、填空题15 设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是_16 已知曲线 y=x3 一 3a2x+b 与 x 轴相切，则 b2 可以通过 a 表示为 b2=_17 设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x
7、)=ef(x)，f(2)=1 ，则 f(2)=_。18 设函数 则 y(n)(0)=_19 设某产品的需求函数为 Q=Q(p)，其对价格 P 的弹性 p=02，则当需求量为 10 000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加_. 20 设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1+P3，其中 P 为价格，且 R(1)=1，则R(p)=_.21 若曲线 y=x3+ax2+bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 求函数 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线23 已知 f(x)在(一，+)上可导，且求 c 的值24 设 试补充定义 f
8、(1)使得 f(x)在上连续25 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证必存在 (0，3)使 f()=026 求27 设某商品的需求函数为 Q=1005P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量(I)求需求量对价格的弹性 Ed(Ed0) ；(II) 推导 并用弹性Ed 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加28 求29 证明：当 0a b 时，bsinb+2cosb+basina+2cosa+s30 设函数 y=y(x)由方程 ylnyx+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性30 设函数
9、 f(x)，g(x) 在a，b上连续，在(a ，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b) ，证明：31 存在 (a，b)，使得 f()=g()；32 存在 (a，b) ，使得 f()=g()33 证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，则存在(a， b)，使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)34 求极限34 设函数 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内存在二阶导数，且35 证明存在 (0，2)，使 f()=f(0)；36 证明存在 (0，3)，使 f()=0考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 10 答
10、案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 取 易验证此 f(x)满足题目条件但 x=a 是 f(x)的极大值点而不是极小值点则 A 不正确，又(a，f(a)也不是曲线 y=f(x)的拐点则C 也不正确由于 x=a 是 f(x)的极大值点，则 D 也不正确所以应选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(x)在(a ，b) 内可导 (a，b)，则 f(x)在 点可导，因而在 点连续，故【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)为奇函数，则 f(0)=0，从而又 在 x
11、=0 处无定义，则 x=0 为g(x)的可去间断点【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=x(1 一 x)知，f(0)=0，而当 x0，或 0x1 时，f(x)0，由极值的定义知 f(x)在 x=0 处取极小值又则当 x0 时，f(x)=20；当 0x1 时，f(x)=一 20，则(0 ，0)是曲线 y=f(x)的拐点，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=一 x2+2，a=一 1，b=1 ，显然 f(x)在一 1，1上连续，f(一1)0， f(1)0，但在(一 1，1)上不存在 x0，使 f(x0)=0，则
12、D 是错误的，故应选D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=6x 2 一 18x+12=6(x2 一 3x+2)=6(x 一 1)(x 一 2)令 f(x)=0，得x1=1， x2=2； f(1)=5 一 a， f(2)=4 一 a 当 a=4 时， f(1)一 10，f(2)=0 即 x=2 为f(x)的一个零点，由 f(x)=6(x 一 1)(x 一 2)知当一x1 时，f(x)0，f(x)严格单调增，而 f(1)=10， ，则 f(x)在(一，0)内有唯一零点当1x2 时，f(x)0，f(x)单调减，又 f(2)=0，则当 1x2 时，f(x)0，此区间
13、内无零点当 x2 时，f(x)0，f(2)=0 则 x2 时 f(x)0，即在此区间内 f(x)无零点故应选 B【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx ， f(x)=cosxxsinx;f(0)=0，f(0)=1 0，则 f(0)是极小值 故应选 B【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 (直接法) 由于 f(x)在(0，1)内有界，则存在 M0，使对任意x(0，1)，f(x)M，对任意的 x(0，1)，由拉格朗日中值定理知从而有则 f(x)在(0，1)内有界【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答
14、案】 A【试题解析】 直接法 由于 dy=f(x0)x y=f(x0+x)一 f(x0)=f()x(x0x 0+x)由 f(x)0，则 f(x)单调增，又x0，且 f(x)0，则 0dy y 故应选 A【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 直接法【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 由 存在及 f(x)在 x=0 处的连续性知，f(0)=0 ，从而有f(0)，所以，命题 A 和 C 是正确的；由，则 f(0)=0，所以，命题 B 也是正确的事实上，命题 D 是错误的例如，令 f(x)=x，显然 ，但 f(x)=x在 x=0 处不可导，即f(0
15、)不存在故应选 D【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 D【试题解析】 由于 则 x=0 为原曲线的一条垂直渐近线而 ，则 y=0 为原曲线的一条水平渐近线则 y=x 为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线所以，本题应选 D【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 D【试题解析】 由题设可知，该商品的需求弹性为 由知 P=40故应选 D【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 B【试题解析】 令 (x)=fg(x)，则 (x)=fg(x)g(x) (x0)=fg(x0)g(x0)=0 (x)=fg(z)g2(x)+fg(x)g(x) (x0)=fg(x)g(
16、x0)=f(a)g(x0) 若 f(a)0，则 (x0)0，故 (x)在 x0 处取极大值【知识模块】 一元函数微分学二、填空题15 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时, 当 x=0 时,由上式可知，当 1 时，f(0)存在，且 f(0)=0。又由上式可知，当 2 时，即导函数在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 4a 6【试题解析】 曲线 y=x3 一 3a2x+b 在 x=x0 处与 x 轴相切，则 3x023a2=0 且 x 033a2x0+b=0 即 x 02=a2 且 x 0(x02 一 3a2)=一 b 从而可得 b2=4a6【知识模块】 一元函
17、数微分学17 【正确答案】 2e 3【试题解析】 由 f(x)=ef(x)及 f(2)=1 知，f(2)=e f(x)=ef(x)f(f(x)=zf(x)f(x)， 则f(2)=2e3x)=f(x)2，从而有 f(2)=e2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 8000【试题解析】 由于收益 R=pQ(P)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 3【试题解析】 曲线 y=x3+ax2+bx+1 过点(一 1，0)，则 0=1+ab+1， a=b y=x3
18、一 bx2+bx+1 y=3x2 一 2bx+b y=6x 一 2b y(一 1)=一 62b=0，则 b=3【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 令 y=0，得驻点 x1=0，x 2=一 1列表由此可见，递增区间为(一 ，一 1)，(0，+)；递减区间为(一 1，0)可见渐近线为 y1=a1x+b1=ex(x 一 2)，y 2=a2x+b2=x 一 2【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由拉格朗日定理知 f(x)一 f(x 一 1)=f().1 其中 介于 x 一 1 与 x 之间，那么于是，e 2c=e，故【知识模块】
19、 一元函数微分学24 【正确答案】 令 1 一 x=y，则【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由于 f(x)在0 ，3上连续，则 f(x)在0，2上连续，且在0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 由介值定理知，至少存在一点 c0，2 ，使 显然 f(x)在c ，3上满足罗尔定理条件，故存在 (c，3)c(0 ，3)，使 f()=0【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 (I) (II)由 R=PQ，得故当10P20 时，降低价格反而使收益增加【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学29
20、 【正确答案】 设 f(x)=xsinx+2cosx+x，x 0，则 f(x)=sinx+xcosx 一 2sinx+=xcosx 一 sinx+f(x)=cosxxsinxcosx=一 xsinx0，x (0，)故 f(x)在0，上单调减少，从而f(x)f()=0，x(0，)因此 f(x)在0，上单调增加，当 0ab 时 f(b)f(a)即 bsinb+2cosb+nbasina+2cosa+a 【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 等式 ylnyx+y=0 两边对 x 求导得 在点(1，1)附近 y0，则曲线 y=y(x)是凸的【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微
21、分学31 【正确答案】 令 (x)=f(x)一 g(x)，以下分两种情况讨论：若 f(x)和 g(x)在(a，b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)=f(c)一 g(d)=0，又 (a)=(b)=0，由罗尔定理知 对 (x)在 1， 2上用罗尔定理得 (1， 2)，使 ()=0【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 若 f(x)和 g(x)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f(x)和 g(x)分别在 x1 和 x2(x1x 2)取到其在(a，b)内的最大值，则 P(x1)=f(x1)一 g(x1)0， (x 2)=f(x2)一 g(x2)0 由连续函数的介值定理知， (x1，x 2)，使 (c)=0以下证明与 1)相同【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 取 由题意知 F(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，且 根据罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ，即 f(b)一 f(a)一 f()(b 一 a)对于任意的 t(0，)，函数 f(x)在0 ，t上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
