1、考研数学三(一元函数微分学)模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设在0 ,1上 f”(x)0,则 f(0),f(1),f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )(A)f(1)f(0)f(1)一 f(0)(B) f(1)f(1)-f(0)f(0) (C) f(1)一 f(0)f(1) f(0)(D)f(1)f(0)-f(1)f(0)2 设 f(x)= F(x)=0xf(t)dt,则( )(A)F(x)在 x=0 点不连续(B) F(x)在 x=0 点不可导(C) F(x)在 x=0 点可导,F(0)=f(0)(D)F(
2、x)在 x=0 点可导,但 F(0)f(0)3 设函数 f(x)在(一,+)存在二阶导数,且 f(x)=f(一 x),当 x0 时行 f(x)0,f”(x) 0,则当 x0 时,有( )(A)f(x)0,f”(x) 0(B) f(x)0,f”(x)0(C) f(x)0,f”(x)0(D)f(x)0,f”(x) 04 设 y=y(x)是二阶线性常系数微分方程 y”+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0的特解,则当 x0 时,函数 的极限( )(A)不存在(B)等于 1(C)等于 2(D)等于 35 设 f(x)=|x(1 一 x)|,则( )(A)x=0 是 f(x)的极值点
3、,但(0,0)不是曲线 y=f(x)的拐点(B) x=0 不是 f(x)的极值点,但 (0,0)是曲线 y=f(x)的拐点(C) x=0 是 f(x)的极值点,且 (0,0)是曲线 y=f(x)的拐点(D)x=0 不是 f(x)的极值点,但(0,0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续,在 x=0 处可导,且 f(0)=0(x)=则 (x)在 x=0 处( )(A)不连续(B)连续但不可导(C)可导但 (x)在 x=0 不连续(D)可导且 (x)在 x=0 连续7 设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义,则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是(
4、 )8 设函数 f(x)连续,且 f(0)0,则存在 0,使得( )(A)f(x)在(0,)内单调增加(B) f(x)在(一 ,0)内单调减少(C)对任意的 x(0,)有 f(x)f(0) (D)对任意的 x(一 ,0)有 f(x)f(0)9 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x),且有 f(0)=b,其中 a,b 为非零常数,则( )(A)f(x)在 x=1 处不可导(B) f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=a(C) f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=b(D)f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=ab10 设函数 f(x)= 则 f(x)在 x
5、=0 处( )(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导11 周期函数 f(x)在(一,+)内可导,周期为 4,又 则y=f(x)在点(5,f(5)处的切线斜率为( )(A)(B) 0(C)一 1(D)一 212 ln(1+t)dt=( )(A)(B)(C) ln(1+lnx)一 ln(1+2x)(D)ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)13 设函数 f(x)与 g(x)在区间 (一,+)上皆可导,且 f(x)g(x),则必有( )(A)f(一 x)g(一 x)(B) f(x)g(x)(C)(D) 0xf(t)dt 0xg(t)dt14 设 y=f(x)在(a ,b
6、) 可微,则下列结论中正确的个数是( )x 0(a,b),若 f(x0)0,则 x0 时 与 x 是同阶无穷小df(x)只与 x(a,b)有关y=f(x+x)一 f(x),则 dyy x0 时,dy 一y 是x 的高阶无穷小(A)1(B) 2(C) 3(D)415 已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 e-x,若 f(x0)=0(x00),则( )(A)f(x 0)是 f(x)的极大值(B) f(x0)是 f(x)的极小值(C) (x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点(D)f(x 0)不是 f(x)的极值,(x 0,f(x0)也不是曲线 y=f(
7、x)的拐点16 设 F(x)=g(x)(x),x=a 是 (x)的跳跃间断点,g(a)存在,则 g(a)=0,g(a)=0 是F(x)在 x=a 处可导的 ( )(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分非必要条件17 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 且当x0 时, 是 x 的高阶无穷小,y(0)=,则 y(1)等于( )(A)2(B) (C)(D)18 设 则在 x=a 处( )(A)f(x)的导数存在,且 f(a)0(B) f(x)取得极大值(C) f(x)取得极小值(D)f(x)的导数不存在二、填空题19 设函数 f(x)在 x=0 可导,且 f
8、(0)=1,f(0)=3,则数列极限=_20 设 (x)= =_21 设 f(x)= ,则 f(x)的极值为_,f(x)的拐点坐标为_。22 曲线 的过原点的切线是_23 已知 则 y=_24 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 求方程 karctanx 一 x=0 不同实根的个数,其中 k 为参数26 设函数 f(x)在(0,+)上二阶可导,且 f”(x)0,记 un=f(n),n=1,2,又u1u 2,证明27 设 a 为常数,讨论方程 ex=ax2 的实根个数28 设函数 f(x)在0,+)内二阶可导,且 f(0)=f(0)=0,并当 x0 时满足 xf“(x)+3x
9、f(x)21 一 e-x证明当 x0 时,f(x) 29 设 且 f”(x)0,证明 f(x)x(x0)30 设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数,且 f(x0)=0,f”(x0)0,证明当 f”(x0)0,f(x)在 x0 处取得极小值31 设 f(x)在0,b可导,f(x)0(x (0,b),t 0,b,问 t 取何值时,图 23 中阴影部分的面积最大? 最小?32 设 f(x)在a,b上二阶可导,f(a)=f(b)=0试证明至少存在一点 (a,b)使33 设 f(x)在 x=0 处二阶可导,且 求 f(0),f(0)及 f”(0)考研数学三(一元函数微分学)模拟试卷 16 答案与解析
10、一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f”(x)0,x 0,1,所以函数 f(x)在该区间内单调增加,又由拉格朗日中值定理,可得f(1)一 f(0)=f(),(0, 1)于是有f(0)f()f(1),即f(0)f(1)一 f(0)f(1)故选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 不必求出 F(x),利用已知结论判断设 f(x)在a,b连续,则 F(x)=x0xf(t)dt 在a,b可导且 F(x)=f(x)(xa,b),x 0 是a,b 某定点因此 F+(0)F-(0),所以 F(x)在 x=0 不可
11、导,故选 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=f(一 x)可知,f(x)为偶函数,因偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数,即 f(x)为奇函数,f”(x)为偶函数,因此当 x0 时,有 f(x)0,f”(x)0,则当 x0 时,有 f(x)0,f”(x) 0故选 C【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 利用等价无穷小代换洛必达法则【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 可见 f(x)与 f”(x)均在x=0 两侧附近变号,即 x=0 是 f(x)的极值点,(0,0)也是曲线 y=f(x)的拐点,
12、故选C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为所以(x)在 x=0 连续x0 时,【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因 如果此极限存在,则由导数定义可知,函数 f(x)在 x=a 处可导,即该极限存在是 f(x)在 x=a处可导的一个充分条件故选 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义,知 f(0)= 根据极限的保号性,存在 0,使对任意 xU(0),有 于是当 x(一 ,0)时,有 f(x)f(0);当 x(0,)时,有 f(x)f(0)故选 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析
13、】 因且由 f(0)=b 可知,【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在( 一,+) 内可导,且 f(x)=f(x+4k),其中 k 为整数,故有 f(x)=f(x+4k) 取 x=1,k=1,可得 f(1)=f(5) 又由可得 f(1)=一 2,故选 D【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 C【试题解析】 取 f(x)=1, g(x)=2,显然满足题设条件,由此例可知选项 A、B 显然不正确,而对于选项 D,
14、因 0xf(t)dt=0x1.dt=x, 0xg(t)dt=0x2.dt=2x, 当 x0 时,选项 D 显然不正确,故选 C【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 B【试题解析】 逐一分析正确因为与x 是同阶无穷小 错误 df(x)=f(x)x,df(x)与 x(a,b)及 x 有关 错误当 y=f(x)为一次函数,f(x)=ax+b,则 dy=ax=y 正确由可微概念知 f(x+x)一 f(x)=f(x)x+o(x)(x0) , 即ydy=o(x)( x0) 故选 B【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)=0 知,x=x 0 是 y=f(x)
15、的驻点将 x=x0 代入方程,得 x0f”(x0)+3x0f(x0)2=1 一 e-x0,即得 (分 x00 与 x00 讨论),由极值的第二判定定理可知,f(x)在 x0 处取得极小值,故选 B【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x)在 x=a 不可导,所以不能对 F(x)用乘积的求导法则,须用定义求 F(a)题设 (x)以 x=a 为跳跃间断点,则存在当 g(a)=0 时,下面证明若 F(a)存在,则 g(a)=0反证法,若 g(a)0,(x)= 由商的求导法则,(x)在 x=a 可导,这与题设矛盾,则 g(a)=0,g(a)=0 是 F(x)在 x=a
16、处可导的充要条件故选 A【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ,故由微分定义可知 dy= 此为一阶可分离变量的微分方程,分离变量得两边积分,得 ln|y|=arctanx+C1,即 y=Cearctanx,由 y(0)= 得 C=,于是 y(x)=earctanx【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 B【试题解析】 利用赋值法求解取 f(x)一 f(a)=一(x 一 a)2,显然满足题设条件,而此时 f(x)为一开口向下的抛物线,必在其顶点 x=a 处取得极大值,故选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题19
17、 【正确答案】 e 6【试题解析】 原数列极限可转化为 又因所以原式=e6【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 先考查 (x)的可导性并进行求导 (x)在 x=0 处的左导数为(x)在 x=0 处的右导数为所以 (0)=0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 对 f(x)求导,并令 f(x)= =0,得 x=0且当 x0 时,f(x)0;当 x0 时,f(x) 0,所以极小值点为 x=0,极小值为 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 x+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点(0,0)不在曲线上,首先求出切点坐标
18、则切线方程为把(0,0)代入上式得 x0=一 3 或 x0=一 15 则斜率分别为 所以切线方程为 x+25y=0 与 x+y=0【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【试题解析】 等式两边取对数,则有 等式两边分别对 x 求导,有 整理得【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 令 f(x)=k arctanx 一 x,则 f(0)=0,且当 k1 时,f(x)0,f(x)在(一,+)单调递减,故此时 f(x)的图像与 x 轴只有一个交点,也即方程 k
19、arctanx 一 x=0 只有一个实根 当 k=1 时,在(一,0)和(0,+)上都有 f(x)0,所以 f(x)在( 一 ,0)和(0,+) 是严格的单调递减,又 f(0)=0,故 f(x)的图像在 (一 ,0)和(0,+)与 x 轴均无交点综上所述,k1 时,方程 karctan x 一 x=0 只有一个实根;k1 时,方程 karctanx一 x=0 有两个实根【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 对函数 f(x)分别在区间k ,k+1(k=1,2,n,),上使用拉格朗日中值定理 u 2 一 u1=f(2)一 f(1)=f(1)0,1 12, u n-1 一 un-2=f(n
20、 一 1)一 f(n-2)=f(n-2),n 一 2 n-2n 一 1, u n 一 un-1=f(n)一 f(n 一 1)=f(n-1),n1 n-1n 因 f”(x)0,故 f(x)严格单调增加,即有 f( n-1)f( n-2)f( 2)f( 1)=u2 一 u1, 则 u n =(un 一 un-1) +(un-1 一 un-2)+(u2 一 u1) +u1 =f(n-1)+f(n-2)+f( 1)+u1 f( 1)+f(1)+f( 1)+u1 =(n 一 1)(u2 一 u1)+u1, 于是有【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 当 a0 时,显然无实根以下讨论当 a0 时
21、的情形,由题意知x=0 显然不是原方程的根,设当 x0 时,f(x)0;当 0x2 时,f(x)0;当 x2 时,f(x) 0所以当a0 时,f(x)在区间( 一 ,0) 上有唯一实零点又在区间(0,+)上,【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由泰勒公式及已知条件得其中,x0,0x 现只需证 f”(x)1(x0)由题设条件有令 F(x)=x 一(1 一 e-x)=x+e-x 一 1因此 F(0)=0 ,F(x)=1 一 e-x0(x0)所以 F(x)在0,+) 单调增加,故 F(x)F(0)=0(x0)即最后结合第一个等式得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由 所以
22、f(0)=0(因为 f”(x)存在,则 f(x)一定连续)且 f(x)在 x=0 展成一阶麦克劳林公式 因为 f”(x)0,所以 f”()0,所以 f(x)f(0)+f(0)x=x【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由题设 f”(x0)0,且由导数的定义可知当x(x0,x 0)时,x 一 x00,则有 f(x)0; 当 x(x0,x 0+)时,x 一 x00,则有 f(x)0 由第一充分条件可知, f(x)在点 x0 处取得极小值【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 设阴影部分面积为 S(t), S(t)= 0bf(t)一 f(x)dx+tbf(x)一 f(t)dx =tf(t)一 0tf(x)dx+tbf(x)dx+(tb)f(t),由 f(x)在0,b 可导,则 S(t)=tf(t)+f(t)一 f(t)一 f(t)+f(t)+(tb)f(t)又 S(t)在0, b连续,也一定有最大值,且只能在 t=0 或 t=b 处取得其中 S(0)= 0bf(x)dx一 bf(0),S(b)=bf(b)一 0bf(x)dx,【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 设 x=x0 处|f(x)|最大,则有 f(x0)=0 由 f(a)=0,f(b)=0 有【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
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