1、考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设在0 ，1上 f”(x)0，则 f(0),f(1),f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（A）f(1)f(0)f(1)一 f(0)（B） f(1)f(1)-f(0)f(0) （C） f(1)一 f(0)f(1) f(0)（D）f(1)f(0)-f(1)f(0)2 设 f(x)= F(x)=0xf(t)dt，则( )（A）F(x)在 x=0 点不连续（B） F(x)在 x=0 点不可导（C） F(x)在 x=0 点可导，F(0)=f(0)（D）F(
2、x)在 x=0 点可导，但 F(0)f(0)3 设函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时行 f(x)0，f”(x) 0，则当 x0 时，有( )（A）f(x)0，f”(x) 0（B） f(x)0，f”(x)0（C） f(x)0，f”(x)0（D）f(x)0，f”(x) 04 设 y=y(x)是二阶线性常系数微分方程 y”+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0的特解，则当 x0 时，函数 的极限( )（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 35 设 f(x)=|x(1 一 x)|，则( )（A）x=0 是 f(x)的极值点
3、，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0(x)=则 (x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但 (x)在 x=0 不连续（D）可导且 (x)在 x=0 连续7 设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是(
4、 )8 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) （D）对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)9 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（A）f(x)在 x=1 处不可导（B） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=a（C） f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=b（D）f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab10 设函数 f(x)= 则 f(x)在 x
5、=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导11 周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 则y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为( )（A）（B） 0（C）一 1（D）一 212 ln(1+t)dt=( )（A）（B）（C） ln(1+lnx)一 ln(1+2x)（D）ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)13 设函数 f(x)与 g(x)在区间 (一，+)上皆可导，且 f(x)g(x)，则必有( )（A）f(一 x)g(一 x)（B） f(x)g(x)（C）（D） 0xf(t)dt 0xg(t)dt14 设 y=f(x)在(a ，b
6、) 可微，则下列结论中正确的个数是( )x 0(a，b)，若 f(x0)0，则 x0 时 与 x 是同阶无穷小df(x)只与 x(a，b)有关y=f(x+x)一 f(x)，则 dyy x0 时，dy 一y 是x 的高阶无穷小（A）1（B） 2（C） 3（D）415 已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf(x)2=1 一 e-x，若 f(x0)=0(x00)，则( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极小值（C） (x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0,f(x0)也不是曲线 y=f(
7、x)的拐点16 设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g(a)存在，则 g(a)=0，g(a)=0 是F(x)在 x=a 处可导的 ( )（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分非必要条件17 已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 且当x0 时， 是 x 的高阶无穷小，y(0)=，则 y(1)等于( )（A）2（B） （C）（D）18 设 则在 x=a 处( )（A）f(x)的导数存在，且 f(a)0（B） f(x)取得极大值（C） f(x)取得极小值（D）f(x)的导数不存在二、填空题19 设函数 f(x)在 x=0 可导，且 f
8、(0)=1,f(0)=3，则数列极限=_20 设 (x)= =_21 设 f(x)= ，则 f(x)的极值为_,f(x)的拐点坐标为_。22 曲线 的过原点的切线是_23 已知 则 y=_24 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 求方程 karctanx 一 x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数26 设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f”(x)0，记 un=f(n)，n=1，2，又u1u 2，证明27 设 a 为常数，讨论方程 ex=ax2 的实根个数28 设函数 f(x)在0，+)内二阶可导，且 f(0)=f(0)=0，并当 x0 时满足 xf“(x)+3x
9、f(x)21 一 e-x证明当 x0 时，f(x) 29 设 且 f”(x)0，证明 f(x)x(x0)30 设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数，且 f(x0)=0,f”(x0)0，证明当 f”(x0)0，f(x)在 x0 处取得极小值31 设 f(x)在0，b可导,f(x)0(x (0，b)，t 0，b，问 t 取何值时，图 23 中阴影部分的面积最大? 最小?32 设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0试证明至少存在一点 (a，b)使33 设 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 求 f(0),f(0)及 f”(0)考研数学三（一元函数微分学）模拟试卷 16 答案与解析
10、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f”(x)0，x 0，1，所以函数 f(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得f(1)一 f(0)=f()，(0， 1)于是有f(0)f()f(1)，即f(0)f(1)一 f(0)f(1)故选 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 不必求出 F(x)，利用已知结论判断设 f(x)在a，b连续，则 F(x)=x0xf(t)dt 在a，b可导且 F(x)=f(x)(xa，b)，x 0 是a，b 某定点因此 F+(0)F-(0)，所以 F(x)在 x=0 不可
11、导，故选 B【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)=f(一 x)可知,f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即 f(x)为奇函数,f”(x)为偶函数，因此当 x0 时，有 f(x)0，f”(x)0，则当 x0 时，有 f(x)0，f”(x) 0故选 C【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 利用等价无穷小代换洛必达法则【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 可见 f(x)与 f”(x)均在x=0 两侧附近变号，即 x=0 是 f(x)的极值点，(0，0)也是曲线 y=f(x)的拐点，
12、故选C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 因为所以(x)在 x=0 连续x0 时，【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【试题解析】 因 如果此极限存在，则由导数定义可知，函数 f(x)在 x=a 处可导，即该极限存在是 f(x)在 x=a处可导的一个充分条件故选 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，知 f(0)= 根据极限的保号性，存在 0，使对任意 xU(0)，有 于是当 x(一 ，0)时，有 f(x)f(0)；当 x(0，)时，有 f(x)f(0)故选 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析
13、】 因且由 f(0)=b 可知，【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在( 一，+) 内可导，且 f(x)=f(x+4k)，其中 k 为整数，故有 f(x)=f(x+4k) 取 x=1，k=1，可得 f(1)=f(5) 又由可得 f(1)=一 2，故选 D【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 A【试题解析】 故选 A【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 C【试题解析】 取 f(x)=1， g(x)=2，显然满足题设条件，由此例可知选项 A、B 显然不正确，而对于选项 D，
14、因 0xf(t)dt=0x1.dt=x， 0xg(t)dt=0x2.dt=2x， 当 x0 时，选项 D 显然不正确，故选 C【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 B【试题解析】 逐一分析正确因为与x 是同阶无穷小 错误 df(x)=f(x)x，df(x)与 x(a，b)及 x 有关 错误当 y=f(x)为一次函数,f(x)=ax+b，则 dy=ax=y 正确由可微概念知 f(x+x)一 f(x)=f(x)x+o(x)(x0) ， 即ydy=o(x)( x0) 故选 B【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x0)=0 知，x=x 0 是 y=f(x)
15、的驻点将 x=x0 代入方程，得 x0f”(x0)+3x0f(x0)2=1 一 e-x0，即得 (分 x00 与 x00 讨论)，由极值的第二判定定理可知，f(x)在 x0 处取得极小值，故选 B【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 A【试题解析】 因 (x)在 x=a 不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，须用定义求 F(a)题设 (x)以 x=a 为跳跃间断点，则存在当 g(a)=0 时，下面证明若 F(a)存在，则 g(a)=0反证法，若 g(a)0，(x)= 由商的求导法则，(x)在 x=a 可导，这与题设矛盾，则 g(a)=0，g(a)=0 是 F(x)在 x=a
16、处可导的充要条件故选 A【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，故由微分定义可知 dy= 此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得 ln|y|=arctanx+C1，即 y=Cearctanx，由 y(0)= 得 C=，于是 y(x)=earctanx【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 B【试题解析】 利用赋值法求解取 f(x)一 f(a)=一(x 一 a)2，显然满足题设条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极大值，故选 B【知识模块】 一元函数微分学二、填空题19
17、 【正确答案】 e 6【试题解析】 原数列极限可转化为 又因所以原式=e6【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 【试题解析】 先考查 (x)的可导性并进行求导 (x)在 x=0 处的左导数为(x)在 x=0 处的右导数为所以 (0)=0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【试题解析】 对 f(x)求导，并令 f(x)= =0，得 x=0且当 x0 时,f(x)0；当 x0 时，f(x) 0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 x+25y=0 与 x+y=0【试题解析】 显然原点(0，0)不在曲线上，首先求出切点坐标
18、则切线方程为把(0，0)代入上式得 x0=一 3 或 x0=一 15 则斜率分别为 所以切线方程为 x+25y=0 与 x+y=0【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【试题解析】 等式两边取对数，则有 等式两边分别对 x 求导，有 整理得【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 sinx 2【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 令 f(x)=k arctanx 一 x,则 f(0)=0，且当 k1 时，f(x)0,f(x)在(一，+)单调递减，故此时 f(x)的图像与 x 轴只有一个交点，也即方程 k
19、arctanx 一 x=0 只有一个实根 当 k=1 时，在(一，0)和(0，+)上都有 f(x)0，所以 f(x)在( 一 ，0)和(0，+) 是严格的单调递减，又 f(0)=0，故 f(x)的图像在 (一 ，0)和(0，+)与 x 轴均无交点综上所述，k1 时，方程 karctan x 一 x=0 只有一个实根；k1 时，方程 karctanx一 x=0 有两个实根【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 对函数 f(x)分别在区间k ，k+1(k=1，2，n，)，上使用拉格朗日中值定理 u 2 一 u1=f(2)一 f(1)=f(1)0，1 12， u n-1 一 un-2=f(n
20、 一 1)一 f(n-2)=f(n-2)，n 一 2 n-2n 一 1， u n 一 un-1=f(n)一 f(n 一 1)=f(n-1)，n1 n-1n 因 f”(x)0，故 f(x)严格单调增加，即有 f( n-1)f( n-2)f( 2)f( 1)=u2 一 u1， 则 u n =(un 一 un-1) +(un-1 一 un-2)+(u2 一 u1) +u1 =f(n-1)+f(n-2)+f( 1)+u1 f( 1)+f(1)+f( 1)+u1 =(n 一 1)(u2 一 u1)+u1， 于是有【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 当 a0 时，显然无实根以下讨论当 a0 时
21、的情形，由题意知x=0 显然不是原方程的根，设当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x) 0所以当a0 时，f(x)在区间( 一 ，0) 上有唯一实零点又在区间(0，+)上，【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由泰勒公式及已知条件得其中，x0，0x 现只需证 f”(x)1(x0)由题设条件有令 F(x)=x 一(1 一 e-x)=x+e-x 一 1因此 F(0)=0 ，F(x)=1 一 e-x0(x0)所以 F(x)在0，+) 单调增加，故 F(x)F(0)=0(x0)即最后结合第一个等式得【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由 所以
22、f(0)=0(因为 f”(x)存在，则 f(x)一定连续)且 f(x)在 x=0 展成一阶麦克劳林公式 因为 f”(x)0，所以 f”()0，所以 f(x)f(0)+f(0)x=x【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由题设 f”(x0)0，且由导数的定义可知当x(x0，x 0)时，x 一 x00，则有 f(x)0； 当 x(x0，x 0+)时，x 一 x00，则有 f(x)0 由第一充分条件可知， f(x)在点 x0 处取得极小值【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 设阴影部分面积为 S(t)， S(t)= 0bf(t)一 f(x)dx+tbf(x)一 f(t)dx =tf(t)一 0tf(x)dx+tbf(x)dx+(tb)f(t)，由 f(x)在0，b 可导，则 S(t)=tf(t)+f(t)一 f(t)一 f(t)+f(t)+(tb)f(t)又 S(t)在0， b连续，也一定有最大值，且只能在 t=0 或 t=b 处取得其中 S(0)= 0bf(x)dx一 bf(0)，S(b)=bf(b)一 0bf(x)dx，【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 设 x=x0 处|f(x)|最大，则有 f(x0)=0 由 f(a)=0,f(b)=0 有【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学
