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[考研类试卷]考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷35及答案与解析.doc

1、考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在a,b上连续,且 f(x)0则方程 )在(a,b)内的根有( )(A)0 个(B) 1 个(C) 2 个(D)无穷多个2 设 (x)在a,b上连续,且 (x)0,则函数 y=ab|x 一 t|(t)dt 的图形在(a,b)内( )(A)为凸(B)为凹(C)有拐点(D)有间断点3 设 则在(一,+)内,下列结论正确的是 ( )(A)f(x)不连续且不可微, F(x)可微,且为 f(x)的一个原函数(B) f(x)不连续,不存在原函数,因而 F(x)不是 f(

2、x)的原函数(C) f(x)和 F(x)均为可微函数,且 F(x)为 f(x)的一个原函数(D)f(x)连续,且 F(x)=f(x)4 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数,则下列函数中以 T 为周期的是 ( )(A) 0xf(t)dt(B) 0xf(t2)dt(C) 0xf(t2)dt(D) 0xf(t)f(t)dt5 6 下列反常积分收敛的是( )二、填空题7 8 设 G(x)= 则 01xG(x)dx=_9 设 f(x)连续,且 ,a 为常数,则10 设 f(x)为连续函数,且 F(x)= ,则 F(x)=_11 设 f(x)连续,则12 设曲线 y=f(x)与 在原点处有相同切线,则

3、13 设 f(x)是连续函数,且 f(t)dt=x,则 f(7)=_14 设 f(3x+1)= ,则 01f(x)dx=_15 设 =-atetdt,则 a=_16 设 是 f(x)的一个原函数,则 1exf(x)dx=_17 设 f(sin2x)=cos2x+tan2x(0x1),则 f(x)=_18 设 y=y(x),若 =一 1,y(0)=1,且 x+时,y0,则 y=_19 设 f(x)连续,则 0xtf(x2-t2)dt=_20 设 n 是正整数,则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 22 求e xsin2xdx.23 24 25 26 27 求(x 5+3x22

4、x+5)cos xdx28 29 计算 (a0 是常数) 30 设 f(ln x)= ,计算f(x)dx 31 32 求下列积分:考研数学三(一元函数积分学)模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 F(x)=axf(t)dt+ 则 F(x)在a,b上连续,而且 F(a)=,F(b)= abf(t)dt0,故 F(x)在(a,b)内有根又 F(x)=,所以 F(x)单调增加,它在(a ,b)内最多只有一个根应选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 令 y=(x),先将 (x)利用|xt|的

5、分段性分解变形,有 (x)= ax(xt)(t)dt+xb(t 一 x)(t)dt=xax(t)dtaxt(t)dt+xbt(t)dtxxb(t)dt 因为 (t)在a,b上连续,所以 (x)可导,因而答案不可能是(D)要讨论其余三个选项,只需求出 “(x),讨论 “(x)在(a ,b)内的符号即可因 (x)= ax(t)dtxb(t)dt,“(x)=2(x)0,xa ,b ,故 y=(x)在(a ,b)内的图形为凹应选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点,因为不存在,且易知 x=0 为 f(x)的振荡间断点,可能存在原函数

6、通过计算,有 可知 F(x)可微,且 F(x)=f(x),故(A)正确【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)是以 T 为周期的函数,所以(A),(D) 选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数,但是仅 0Tf(t)f(t)dt= ,因此,只有 0xf(t)f(t)dt 是以 T 为周期的周期函数令 f(x)=sin x,可排除(B),(C)选项【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 由分部积分,【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中,选项(B)中,选项(C)中,在选项(D)中,【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确

7、答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 交换累次积分的次序【知识模块】 微积分9 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数,不能具体地计算积分,要用积分中值定理,然后再计算极限 xx+af(t)dt=f(x).a(x 介于 x 与 x+a 之间),所以【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 由变限积分求导公式【知识模块】 微积分11 【正确答案】 sin 20xf(u)du【试题解析】 0xsin20tf(u)dudt 是形如 0(t)dt 形式的变上限积分,由【知识模块】 微积分12 【正确答案】 2【试题解析】 由

8、已知条件知 f(0)=0, 故得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 要从变上限积分得到被积函数,可以对变限积分求导等式两边对x 求导得 f(x3 一 1)33x2=1, f(x3 一 1)= 令 x=2,即得 f(7)=【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 令 3x+1=u, 所以【知识模块】 微积分15 【正确答案】 2【试题解析】 -atetdt=-atdet=tet|-a-aetdt=aea 一 et|-a=(a-1)ea 所以 ea=(a 一 1)ea,即 a=2【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 1exf(x)dx=1exdf(x)

9、=xf(x)|1e1ef(x)dx由于 是 f(x)的原函数,所以 f(x)= 所以【知识模块】 微积分17 【正确答案】 一 ln(1 一 x)一 x2+C,其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 e -x【试题解析】 由已知得 由不定积分定义有所以 分离变量,两边积分,再由已知条件得结果 y=e-x【知识模块】 微积分19 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 e xsi

10、n2xdx= 而 e xcos 2xdx=cos2xdex=excos 2x+2sin 2xe xdx =excos 2x+2sin 2xdex=excos 2x+2exsin 2x 一4excos 2xdx,【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为 x4+1=(x2+1)2 一 2x2= 所以可令【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 利用表格的形式:所以 (x5+3x22x+5)cos xdx =(x5+3x22x+5)sin x+(5x4+6x 一 2)cos x

11、一(20x 3+6)sinx 60x2cos x+120xsinx+120cos x+C【知识模块】 微积分28 【正确答案】 所以【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 设 lnx=t,则 x=et,f(t)= 于是=一 e-xln(1+ex)+x 一 ln(1+ex)+C =x 一(1+e -x)ln(1+ex)+C【知识模块】 微积分31 【正确答案】 设 x=tanu,则 dx=sec2udu,故【知识模块】 微积分32 【正确答案】 (1)本题考查的知识点是不定积分的分部积分法,关键是选好 u 和dv令 u=ln(sin x), =cot xdx,v=cot x,于是=一 cot x.ln(sin x)+ cot2xdx=-cotx.ln(sin x)+(csc2x-1)dx=一 cot x.ln(sin x)一 cotxx+C(2)此题计算量较大,考虑用分部积分法然后分部积分,则(3)由于(x ln x)1 一 ln x,分子分母同时除以 x2 得 ,注意到【知识模块】 微积分

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