1、考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 35 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 )在(a，b)内的根有( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）无穷多个2 设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y=ab|x 一 t|(t)dt 的图形在(a，b)内( )（A）为凸（B）为凹（C）有拐点（D）有间断点3 设 则在(一，+)内，下列结论正确的是 ( )（A）f(x)不连续且不可微， F(x)可微，且为 f(x)的一个原函数（B） f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(
2、x)的原函数（C） f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)4 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的是 ( )（A） 0xf(t)dt（B） 0xf(t2)dt（C） 0xf(t2)dt（D） 0xf(t)f(t)dt5 6 下列反常积分收敛的是( )二、填空题7 8 设 G(x)= 则 01xG(x)dx=_9 设 f(x)连续，且 ，a 为常数，则10 设 f(x)为连续函数，且 F(x)= ，则 F(x)=_11 设 f(x)连续，则12 设曲线 y=f(x)与 在原点处有相同切线，则
3、13 设 f(x)是连续函数，且 f(t)dt=x，则 f(7)=_14 设 f(3x+1)= ，则 01f(x)dx=_15 设 =-atetdt，则 a=_16 设 是 f(x)的一个原函数，则 1exf(x)dx=_17 设 f(sin2x)=cos2x+tan2x(0x1)，则 f(x)=_18 设 y=y(x)，若 =一 1，y(0)=1，且 x+时，y0，则 y=_19 设 f(x)连续，则 0xtf(x2-t2)dt=_20 设 n 是正整数，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 22 求e xsin2xdx.23 24 25 26 27 求(x 5+3x22
4、x+5)cos xdx28 29 计算 (a0 是常数) 30 设 f(ln x)= ，计算f(x)dx 31 32 求下列积分：考研数学三（一元函数积分学）模拟试卷 35 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 F(x)=axf(t)dt+ 则 F(x)在a，b上连续，而且 F(a)=，F(b)= abf(t)dt0，故 F(x)在(a，b)内有根又 F(x)=，所以 F(x)单调增加，它在(a ，b)内最多只有一个根应选(B)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 令 y=(x)，先将 (x)利用|xt|的
5、分段性分解变形，有 (x)= ax(xt)(t)dt+xb(t 一 x)(t)dt=xax(t)dtaxt(t)dt+xbt(t)dtxxb(t)dt 因为 (t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是(D)要讨论其余三个选项，只需求出 “(x)，讨论 “(x)在(a ，b)内的符号即可因 (x)= ax(t)dtxb(t)dt，“(x)=2(x)0，xa ，b ，故 y=(x)在(a ，b)内的图形为凹应选(B)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为不存在，且易知 x=0 为 f(x)的振荡间断点，可能存在原函数
6、通过计算，有 可知 F(x)可微，且 F(x)=f(x)，故(A)正确【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以(A)，(D) 选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅 0Tf(t)f(t)dt= ，因此，只有 0xf(t)f(t)dt 是以 T 为周期的周期函数令 f(x)=sin x，可排除(B)，(C)选项【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 由分部积分，【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中，选项(B)中，选项(C)中，在选项(D)中，【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确
7、答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 交换累次积分的次序【知识模块】 微积分9 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理，然后再计算极限 xx+af(t)dt=f(x).a(x 介于 x 与 x+a 之间)，所以【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 由变限积分求导公式【知识模块】 微积分11 【正确答案】 sin 20xf(u)du【试题解析】 0xsin20tf(u)dudt 是形如 0(t)dt 形式的变上限积分，由【知识模块】 微积分12 【正确答案】 2【试题解析】 由
8、已知条件知 f(0)=0， 故得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对x 求导得 f(x3 一 1)33x2=1， f(x3 一 1)= 令 x=2，即得 f(7)=【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 令 3x+1=u, 所以【知识模块】 微积分15 【正确答案】 2【试题解析】 -atetdt=-atdet=tet|-a-aetdt=aea 一 et|-a=(a-1)ea 所以 ea=(a 一 1)ea，即 a=2【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 1exf(x)dx=1exdf(x)
9、=xf(x)|1e1ef(x)dx由于 是 f(x)的原函数，所以 f(x)= 所以【知识模块】 微积分17 【正确答案】 一 ln(1 一 x)一 x2+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 e -x【试题解析】 由已知得 由不定积分定义有所以 分离变量，两边积分，再由已知条件得结果 y=e-x【知识模块】 微积分19 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 e xsi
10、n2xdx= 而 e xcos 2xdx=cos2xdex=excos 2x+2sin 2xe xdx =excos 2x+2sin 2xdex=excos 2x+2exsin 2x 一4excos 2xdx，【知识模块】 微积分23 【正确答案】 因为 x4+1=(x2+1)2 一 2x2= 所以可令【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 利用表格的形式：所以 (x5+3x22x+5)cos xdx =(x5+3x22x+5)sin x+(5x4+6x 一 2)cos x
11、一(20x 3+6)sinx 60x2cos x+120xsinx+120cos x+C【知识模块】 微积分28 【正确答案】 所以【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 设 lnx=t，则 x=et，f(t)= 于是=一 e-xln(1+ex)+x 一 ln(1+ex)+C =x 一(1+e -x)ln(1+ex)+C【知识模块】 微积分31 【正确答案】 设 x=tanu，则 dx=sec2udu，故【知识模块】 微积分32 【正确答案】 (1)本题考查的知识点是不定积分的分部积分法，关键是选好 u 和dv令 u=ln(sin x)， =cot xdx，v=cot x，于是=一 cot x.ln(sin x)+ cot2xdx=-cotx.ln(sin x)+(csc2x-1)dx=一 cot x.ln(sin x)一 cotxx+C(2)此题计算量较大，考虑用分部积分法然后分部积分，则(3)由于(x ln x)1 一 ln x，分子分母同时除以 x2 得 ，注意到【知识模块】 微积分
