1、考研数学三(函数、极限、连续)模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时,f(x)=ax 3+bx 与 g(x)= 等价,则 ( )(A)a= , b=1(B) a=3,b=0 (C) a= ,b=0(D)a=1 ,b=02 设当 x0 时,f(x)=ln(1+x 2)ln(1+sin 2x)是 x 的 n 阶无穷小,则正整数 n 等于( )(A)1(B) 2(C) 3(D)43 若 f(x)= 在(,+)上连续,且 =0,则 ( )(A)0,k0(B) 0,k0(C) 0,k 0(D)0,k04 设 f(x)= ,则 ( )(
2、A)x=0,x=1 都是 f(x)的第一类间断点(B) x=0,x=1 都是 f(x)的第二类间断点(C) x=0 是 f(x)的第一类间断点, x=1 是 f(x)的第二类间断点(D)x=0 是 f(x)的第二类间断点,x=1 是 f(x)的第一类间断点5 设 f(x)= sinx,则 f(x)有 ( )(A)1 个可去间断点,1 个跳跃间断点(B) 1 个跳跃间断点,1 个无穷间断点(C) 2 个可去间断点(D)2 个无穷间断点6 设 f(x)= ,则下列结论中错误的是 ( )(A)x=1,x=0 ,x=1 为 f(x)的间断点(B) x=1 为无穷间断点(C) x=0 为可去间断点(D)
3、x=1 为第一类间断点7 若 f(x)在(a,b)内单调有界,则 f(x)在(a ,b)内间断点的类型只能是 ( )(A)第一类间断点(B)第二类间断点(C)既有第一类间断点也有第二类间断点(D)结论不确定二、填空题8 若当 x0 时,有 ,则 a=_9 当 x0 时,若有 ,则 A=_,k=_10 当 x1 时,若有 +1A(x+1) k,则 A=_,k=_11 当 x 时,若有 1A(x ) k,则 A=_,k=_12 若 是(,+)上的连续函数,则a=_13 已知数列 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 已知数列x n的通项 xn= ,n=1 ,2,3(1)证明
4、S2n=;(2)计算15 利用夹逼准则证明:16 设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续,且17 设 a0, x10,x n+1= ,n=1 ,2,试求 18 试讨论函数 在点 x=0 处的连续性19 求函数 的间断点,并判断它们的类型20 求函数 f(x)= 的间断点并指出其类型21 已知 f(x)= 是连续函数,求 a,b 的值22 设 f(x)= ,求 f(x)的间断点并判定其类型23 设函数 f(x)连续可导,且 f(0)=0,F(x)= 0xtn1 f(xnt n)dt,求 24 设 f(x)= ,为了使 f(x)对一切 x 都连续,求常数 a 的最小正值25 设 f(x)= ,求
5、f(x)的间断点,并说明间断点的类型,如是可去间断点,则补充或改变定义使它连续26 求 f(x)= 的连续区间、间断点并判别其类型27 设 f(x;t)= ,其中(x1)(t1)0,xt,函数 f(x)由下列表达式确定,求出 f(x)的连续区间和间断点,并研究 f(x)在间断点处的左右极限28 设函数 f(x)在a,b上连续,x 1,x 2,x n,是a,b上一个点列,求29 设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=xsinx,其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1),试求常数 k 使极限 存在30 设 f(x)对一切 x1,x 2 满足 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
6、,并且 f(x)在 x=0 处连续 证明:函数 f(x)在任意点 x0 处连续考研数学三(函数、极限、连续)模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ,当 b0 时,该极限为,于是,b=0从而【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 因此,n=4【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 分母不为零,故 0;又 =0,故 k0【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的表达式可知 x=0,x=1 为其间断点故 x=1 是第一类间断点,
7、x=0 是第二类间断点,选(D)【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 x=0 和 x=1 为 f(x)的间断点,其余点连续因 x1 时,lnx=ln(1+x1)x1,则 x=1 为跳跃间断点答案选择(A)【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 去掉绝对值符号,将 f(x)写成分段函数,【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(x)单调增加,且f(x) M,对任一点 x0(a,b),当xx 0 时,f(x)随着 x 增加而增加且有上界,故 存在;当 xx 0+时,f(x)随着 x 减小而减小且有下界,故 存在,故
8、 x0 只能是第一类间断点【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题8 【正确答案】 3【试题解析】 故a= 3【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 当 x1 时,【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题解析】 当 x 时,【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正
9、确答案】 且当n时,左边和右边的极限都是 ,故由夹逼准则得证【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 如果 ,所以必有 =0,所以,这是“1 ”型未定式由 =0 得 f(0)=0将原极限凑成第二个重要极限,从而得 f(0)=0,f(0)=4【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 ,故x n有下界,又 故x n单减,所以存在设【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 g(0)=(e x+ x=0= (ex+)=1+=g(0 ),g(0 +)= ,所以:当 0 且 =1 时,有 g(0 )=g(0+)=g(0)=0,故 g(x)在 x=0 处连续;当 0 且1 时,有 g
10、(0 )g(0+),故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点;当 0 时,点 x=0 是g(x)的振荡间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 对于函数 F(x)的分段点 x=0,因故 x=0 是函数F(x)的跳跃间断点当 x0 时,F(x)= 与在 x=1 处没有定义,且极限不存在故 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点当 x0 时,F(x)=在点列 xk=k ,k=0,1,2,处没有定义,则这些点都是函数F(x)的间断点特别对点 ,有故 x= 是函数 F(x)的可去间断点;而点列xk=k ,k=1,2,显然是函数 F(x)的无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答
11、案】 显然 f(0)无意义当 x0 时,而 =1,则 x=0 为可去间断点 则 x=1 为跳跃间断点由于 f(x)是偶函数,则 x= 1 也是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 于是只需讨论分界点处的连续性:x=1 处,有要使 f(x)在 x=1 处连续,则 a+b=1x=1 处,有,f(1)= ,要使 f(x)在 x=1 处连续,则 ab= 1故解得 a=0,b=1,此时 f(x)= 是连续函数【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 故x=0 为可去间断点 则x=1 为跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 令 xnt n=u,则 F(x
12、)=0xtn1 f(xnt n)dt= ,于是【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 当x1 时, =0,所以 f(x)=sinax;当x1 时,f(x)= =x又 f(1)=1,f(1)=1,所以由此可见,f(x)在(, 1,(1,1),1,+)内连续,故只需 f(x)在 x=1,x=1 两点连续即可因为 所以,= 即为常数 a的最小正值【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 f(x)在( 1,0),(0,1)及(1,+)都是初等函数,是连续的f(0)无定义,故 x=0 是间断点因为,所以x=0 为跳跃间断点f(1)无定义,故 x=1 是间断点因为=0, 不存在所以 x=
13、1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 f(x)无定义的点是使 1x=0 和 1 =0 的点,即 x=1 和 x=0,所以 f(x)的连续区间为( ,0)(0,1)(1,+)当 x0 时,1 =0,所以=,所以 x=0 是无穷间断点当 x1 时, ,所以 f(1 )=0;当 x1 +时, ,所以 f(1+)=1所以 x=1 是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 显然 x=1 为间断点,连续区间(,1)(1,+) 所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 本题考虑夹逼准则由 f(x)在a ,b上连续,知 ef(x
14、)在a ,b 上非负连续,且 0me f(x)M,其中 M,m 分别为 ef(x)在a,b上的最大值和最小值,于是 0m M,故 由,根据夹逼准则,得【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 因求“0 0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指函数 u(x)v(x)化为复合函数 ev(x)lnu(x),故 其中,通过等价无穷小替换与洛必达法则求得:根据题设的关系式 f(x)=2f(x+1)k,得 由上述结果f(x) 在x=0 处右极限 f(0+)=1;而其左极限 f(0 )= 2(x+1)sin(x+1)k=2k,由于极限是存在的,故 2k=f(0 )=f(0+)=1,则常数 k=1【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 已知 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),令 x2=0,则 f(x1)=f(x1)+f(0),可得 f(0)=0,又 f(x)在 x=0 处连续,则有 =f(0)=0,而 f(x0+x)f(x 0)=f(x0)+f(x)f(x 0)=f(x),两边取极限得到 =0,故函数 f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续
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