1、考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 x0 时，f(x)=ax 3+bx 与 g(x)= 等价，则 ( )（A）a= ， b=1（B） a=3，b=0 （C） a= ，b=0（D）a=1 ，b=02 设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2)ln(1+sin 2x)是 x 的 n 阶无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 若 f(x)= 在(，+)上连续，且 =0，则 ( )（A）0，k0（B） 0，k0（C） 0，k 0（D）0，k04 设 f(x)= ，则 ( )（
2、A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点（D）x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点5 设 f(x)= sinx,则 f(x)有 ( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点（B） 1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点（C） 2 个可去间断点（D）2 个无穷间断点6 设 f(x)= ，则下列结论中错误的是 ( )（A）x=1，x=0 ，x=1 为 f(x)的间断点（B） x=1 为无穷间断点（C） x=0 为可去间断点（D）
3、x=1 为第一类间断点7 若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a ，b)内间断点的类型只能是 ( )（A）第一类间断点（B）第二类间断点（C）既有第一类间断点也有第二类间断点（D）结论不确定二、填空题8 若当 x0 时，有 ，则 a=_9 当 x0 时，若有 ，则 A=_，k=_10 当 x1 时，若有 +1A(x+1) k，则 A=_，k=_11 当 x 时，若有 1A(x ) k，则 A=_，k=_12 若 是(，+)上的连续函数，则a=_13 已知数列 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 已知数列x n的通项 xn= ，n=1 ，2，3(1)证明
4、S2n=；(2)计算15 利用夹逼准则证明：16 设 f(x)在 x=0 处二阶导数连续，且17 设 a0， x10，x n+1= ，n=1 ，2，试求 18 试讨论函数 在点 x=0 处的连续性19 求函数 的间断点，并判断它们的类型20 求函数 f(x)= 的间断点并指出其类型21 已知 f(x)= 是连续函数，求 a，b 的值22 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并判定其类型23 设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0，F(x)= 0xtn1 f(xnt n)dt，求 24 设 f(x)= ，为了使 f(x)对一切 x 都连续，求常数 a 的最小正值25 设 f(x)= ，求
5、f(x)的间断点，并说明间断点的类型，如是可去间断点，则补充或改变定义使它连续26 求 f(x)= 的连续区间、间断点并判别其类型27 设 f(x；t)= ，其中(x1)(t1)0，xt，函数 f(x)由下列表达式确定，求出 f(x)的连续区间和间断点，并研究 f(x)在间断点处的左右极限28 设函数 f(x)在a，b上连续，x 1，x 2，x n，是a，b上一个点列，求29 设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=xsinx，其他的 x 满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k 使极限 存在30 设 f(x)对一切 x1，x 2 满足 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
6、，并且 f(x)在 x=0 处连续 证明：函数 f(x)在任意点 x0 处连续考研数学三（函数、极限、连续）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 ，当 b0 时，该极限为，于是，b=0从而【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 因此，n=4【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 分母不为零，故 0；又 =0，故 k0【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)的表达式可知 x=0，x=1 为其间断点故 x=1 是第一类间断点，
7、x=0 是第二类间断点，选(D)【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 x=0 和 x=1 为 f(x)的间断点，其余点连续因 x1 时，lnx=ln(1+x1)x1，则 x=1 为跳跃间断点答案选择(A)【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 去掉绝对值符号，将 f(x)写成分段函数，【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(x)单调增加，且f(x) M，对任一点 x0(a，b)，当xx 0 时，f(x)随着 x 增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0+时，f(x)随着 x 减小而减小且有下界，故 存在，故
8、 x0 只能是第一类间断点【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题8 【正确答案】 3【试题解析】 故a= 3【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 当 x1 时，【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题解析】 当 x 时，【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正
9、确答案】 且当n时，左边和右边的极限都是 ，故由夹逼准则得证【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 如果 ，所以必有 =0，所以，这是“1 ”型未定式由 =0 得 f(0)=0将原极限凑成第二个重要极限，从而得 f(0)=0，f(0)=4【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 ，故x n有下界，又 故x n单减，所以存在设【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 g(0)=(e x+ x=0= (ex+)=1+=g(0 )，g(0 +)= ，所以：当 0 且 =1 时，有 g(0 )=g(0+)=g(0)=0，故 g(x)在 x=0 处连续；当 0 且1 时，有 g
10、(0 )g(0+)，故点 x=0 是 g(x)的跳跃间断点；当 0 时，点 x=0 是g(x)的振荡间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 对于函数 F(x)的分段点 x=0，因故 x=0 是函数F(x)的跳跃间断点当 x0 时，F(x)= 与在 x=1 处没有定义，且极限不存在故 x=1 是函数 F(x)的振荡间断点当 x0 时，F(x)=在点列 xk=k ，k=0，1，2，处没有定义，则这些点都是函数F(x)的间断点特别对点 ，有故 x= 是函数 F(x)的可去间断点；而点列xk=k ，k=1，2，显然是函数 F(x)的无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答
11、案】 显然 f(0)无意义当 x0 时，而 =1，则 x=0 为可去间断点 则 x=1 为跳跃间断点由于 f(x)是偶函数，则 x= 1 也是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 于是只需讨论分界点处的连续性：x=1 处，有要使 f(x)在 x=1 处连续，则 a+b=1x=1 处，有，f(1)= ，要使 f(x)在 x=1 处连续，则 ab= 1故解得 a=0，b=1，此时 f(x)= 是连续函数【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 故x=0 为可去间断点 则x=1 为跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 令 xnt n=u，则 F(x
12、)=0xtn1 f(xnt n)dt= ，于是【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 当x1 时， =0，所以 f(x)=sinax；当x1 时，f(x)= =x又 f(1)=1，f(1)=1，所以由此可见，f(x)在(， 1，(1，1)，1，+)内连续，故只需 f(x)在 x=1，x=1 两点连续即可因为 所以，= 即为常数 a的最小正值【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 f(x)在( 1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的f(0)无定义，故 x=0 是间断点因为，所以x=0 为跳跃间断点f(1)无定义，故 x=1 是间断点因为=0， 不存在所以 x=
13、1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 f(x)无定义的点是使 1x=0 和 1 =0 的点，即 x=1 和 x=0，所以 f(x)的连续区间为( ，0)(0，1)(1，+)当 x0 时，1 =0，所以=，所以 x=0 是无穷间断点当 x1 时， ，所以 f(1 )=0；当 x1 +时， ，所以 f(1+)=1所以 x=1 是跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 显然 x=1 为间断点，连续区间(，1)(1，+) 所以 x=1 为无穷间断点【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 本题考虑夹逼准则由 f(x)在a ，b上连续，知 ef(x
14、)在a ，b 上非负连续，且 0me f(x)M，其中 M，m 分别为 ef(x)在a，b上的最大值和最小值，于是 0m M，故 由，根据夹逼准则，得【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 因求“0 0”型未定式极限的常用方法是将该类幂指函数 u(x)v(x)化为复合函数 ev(x)lnu(x)，故 其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得：根据题设的关系式 f(x)=2f(x+1)k，得 由上述结果f(x) 在x=0 处右极限 f(0+)=1；而其左极限 f(0 )= 2(x+1)sin(x+1)k=2k，由于极限是存在的，故 2k=f(0 )=f(0+)=1，则常数 k=1【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 已知 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令 x2=0，则 f(x1)=f(x1)+f(0)，可得 f(0)=0，又 f(x)在 x=0 处连续，则有 =f(0)=0，而 f(x0+x)f(x 0)=f(x0)+f(x)f(x 0)=f(x)，两边取极限得到 =0，故函数 f(x)在任意点 x0 处连续【知识模块】 函数、极限、连续
