1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设平面区域 D：|x|+|y|1，则 (x+y)dxdy= ( )（A）0（B）（C）（D）12 设平面区域 D 由曲线 y= (xy3 一 1)d等于 ( )（A）2（B）一 2（C） （D）一 3 设平面区域 D 由 x=0， y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若，则 I1，I 2，I 3 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 1 I24 累次积分 f(x2+y2)dx(R0)化为极坐标形式的累次积分为
2、 ( )5 设平面区域 D：(x 一 2)2+(y 一 1)21，若 ，则有 ( )（A）I 1=I2（B） I1I 2（C） I1I 2（D）无法确定6 设积分 其中 D1=(x，y)|(x 一 2)2+(y 一 1)22)，D 2=(x，y)|x 2+(y+1)22，则下列选项正确的是 ( )（A）I 1II 2I 3I 4（B） I4I 3I 2I 1（C） I4I 3I 1I 2（D）I 1I 3 I2I 47 已知 f(x，y)dy，则 I= ( )8 交换二次积分 f(x，y)dy 次序正确的是 ( )9 已知 其中 D=(x，y)|x2+y21，则 ( )（A）cb a（B） a
3、bc（C） bac（D）cab10 设 D 由直线 x=0，y=0，x+y=1 围成，已知 01f(x)dx=01xf(x)dx，则（A）2（B） 0（C）（D）111 设 f(x，y)为连续函数，交换累次积分 02dx0sinxf(x，y)dy 的次序为先 x 后 y 成为( )（A） 01dyarcsiny-arcsinyf(x y)dx+-10dy-arcsiny2+arcsinyf(x，y)dx（B） 01dyarcsiny-arcsinyf(x y)dx-10dy-arcsiny2+arcsinyf(x，y)dx（C） 01dyarcsiny-arcsinyf(x y)dx+-10d
4、y+arcsiny2-arcsinyf(x，y)dx（D） 01dyarcsiny-arcsinyf(x y)dx-10dy+arcsiny2-arcsinyf(x，y)dx12 设 f(x)为连续函数，F(y)= 0yf(x)dx，则 01dz0zF(y)dy= ( )二、填空题13 由曲线 y=ln x 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形 D 的面积可用二重积分表示为_，其值等于_14 二重积分 ln(x2+y2)dxdy 的符号为_15 设 D=(x， y)|1x2+y2e2，则二重积分16 设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1,x2 一 y2=1 及 y=0 所围成的
5、平面闭区域，则17 设 交换积分次序后 I=_18 19 交换二次积分次序：20 设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I=0ady0yem(a-x)f(x)dx 化为定积分，则 I=_21 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 并证明：I2(M 一 m)，其中 M 和 m 分别是 f(x，y)在 D 上的最大值和最小值23 计算二重积分 其中 D 是第一象限中由直线 y=x 和曲线 y=x3 所围成的封闭区域24 计算二重积分 其中 D=(x，y)|0yx，x 2+y22x25 求二重积分 其中
6、D 是由曲线 ，直线 y=2，y=x 所围成的平面区域26 设 f(x，y)= 其中 D=(x，y)|0x1，0y127 平面区域 D=(x，y)|x|+|y|1，计算如下二重积分：(1) 其中 f(t)为定义在(一，+) 上的连续正值函数，常数 a0，b0；(2)(ex一 e-y)d，常数 028 设 p(x)在a，b 上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y)|axb，ayb)，比较的大小，并说明理由29 设函数 f(x，y)在 D 上连续，且 其中 D 由 ，x=1，y=2 围成，求 f(x，y)30 交换下列累次积分的积分次序：31 证明： 01
7、dx01(xy)xydy=01xxdx32 证明：33 设函数 f(x)在0，1上连续证明： 01ef(x)dx01e-f(y)dy134 变换下列二次积分的积分次序：35 求 其中 D=(x，y)|0x3，0y136 计算 ，其中 a,b037 计算 (1+x2+y2)dxdy，其中 D：x 2+y2138 计算39 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续且单调递增，证明： abf(x)dxabg(x)dx(b-a)abf(x)g(x)dx40 设平面区域 D=(x，y)|x 2+y28，y ，求二重积分41 (1)设 (x)在区间0 ，1上具有二阶连续的导数，且 (0)=(1)=0证明
8、(2)设二元函数 f(x，y)在区域 D=(x，y)|0x1，0y1上具有连续的 4 阶导数，且 并设在 D 的边界上 f(x，y)0证明42 设 D 为曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成的两块区域，计算43 求 (|x|+|y|)dxdy其中 D 是由曲线 xy=2，直线 y=x-1，y=x+1 所围成的区域44 设 D=(x， y)| ，计算二重积分45 (1)设平面区域 D=(x，y)|0x2，0y2)，求二重积分 (2)设f(x，y)在上述 D 上连续，且 *证明：存在点( ，)D 使|f(，)|146 设 D=(x， y)|x2+y21， |y|x|，求47 设 D=(x， y)
9、|x2+y24 且 (x 一 1)2+y21，y0，计算考研数学三（无穷级数）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 D 关于 x，y 轴都对称，故 ，且有其中 D1=(x，y)|x+y1，x0，y0于是【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 如图 151 所示，用曲线 y=-sin x 将区域 D 划分为D1 和 D2 两部分，则 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，于是有由于区域 D 的面积与直线y=0，y=1， 所围成矩形的面积相等，故 SD=，故应选(D)【知识模块】 微
10、积分3 【正确答案】 C【试题解析】 在积分区域 D 内， x+y1，所以 ln(x+y)0sin(x+y)x+y，于是【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 积分区域 D 为 ， 0y2R，如图 1.52 所示在极坐标系下区域 D 可表示为 0r2Rsin，0 故【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 由二重积分的比较性质，只需比较平面区域 D 上(x+y) 2 与(x+y) 3 的大小，即 x+y 与 1 的大小从几何的角度也就是考查圆域 D 与直线 x+y=1 的位置关系因积分域 D 的圆心(2，1)到直线 x+y=1 的距离 (1 为圆的半径)，故闭区域 D
11、 在直线 x+y=1 的 1=3，即当(x，y)D 时，有 x+y1，从而在 D 上(x+y)2(x+y) 3，则 I1I 2【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 如图 15-3 所示，积分域 D1 的边界为圆周(x-2) 2+(y 一 1)2=2，它与x 轴交于点(1，0) ，与直线 x+y=1 相切而区域 D1 位于直线的上方，故在 D1 上x+y1，从而 (x+y)10(x+y)11，因此有 同样，在 D2 上x+y1，从而 (x+y)10(x+y)11，因此有【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 积分域由两部分组成(如图 154 所示)设将 D=D1D2
12、 视为 Y 型区域，则故应选(A)【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 交换积分次序的步骤是：由原累次积分的上下限写出表示为积分区域 D 的联立不等式，并作出 D 的草图，原积分变成二重积分 按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式由已知积分的上下限，可知积分区域的不等式表示为： 如图 155 所示，则【知识模块】 微积分9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x，y)|x 2+y21，所以(x 2+y2)2x2+y2 由 cos x 在 上单调减少可得 cos(x2+y2)2cos(x2+y2)cos(x2+y2)2cos(x2+y2) 因此有 cba【知识模块】
13、 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 由 01f(x)dx=01xf(x)dx，有 01(1 一 x)f(x)dx=0，于是=01dx01-xf(x)dy=01(1 一 x)f(x)dx=0【知识模块】 微积分11 【正确答案】 B【试题解析】 在区间0，2 上， 0sinxf(x，y)dy 的上限 sin x 可能小于下限 0所以02dx0sinxf(x， y)dy 只是一个累次积分，而不是一个二重积分，所以应先变形，化成两个二重积分，即 02dx0sinxf(x，y)dy= 0dx0sinxf(x，y)dy+ 2dx0sinxf(x，y)dy =0dx0sinxf(x，y)dy 2d
14、xsinx0f(x，y)dy 交换积分次序，有 0dx0sinxf(x，y)dy=01dyarcsiny-arcsinyf(x，y)dx， 02dxsinx0f(x，y)dy= -10dy-arcsiny2+arcsinyf(x，y)dx， 故选(B)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 0zF(y)dy=0zdy0yf(x)dx交换积分次序为先 y 后 x将 z 看成常数，有 0zF(y)dy=0zdy0yf(x)dx=0zdxxzf(x)dy=0z(z-x)f(x)dx 01dz0zF(y)dy=01dz0z(z-x)f(x)dx =01dxx1(z-x)f(x)dz=【
15、知识模块】 微积分二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 由 得交点 A(e，1) 所求平面图形的面积为【知识模块】 微积分14 【正确答案】 负号【试题解析】 二重积分的积分值的符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定积分区域 D：|x|+|y|1,因 0x2+y2(|x|+|y|)21，故 ln(x2+y2)ln 1=0，但又不恒等于零，故 ln(x2+y2)dxdy0【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 被积函数含有 x2+y2 的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便【知识模块】 微积分16 【正确答案】 0【试题解析】 因积分域 D 关于 y
16、轴对称，被积函数 xf(y2)关于变量 x 是奇函数，故【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 积分域 D：e xye2x，0x1曲线 y=e2x，y=e x 与直线 x=1 的交点分别为(1 ，e 2)与(1，e)故【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 令 x=rsin，y=rcos ，则【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【试题解析】 由题意知，所求积分区域为 x=2y,x=y2 所围成的区域，所以【知识模块】 微积分20 【正确答案】 0aem(a-x)f(x)(a 一 x)dx【试题解析】 被积函数仅是关于 x 的函数，交换积分次序即可化为定积分由二次
17、积分的积分限可知 D：0xy，0ya，故 I= 0adxxaem(a-x)f(x)dy=0aem(a-x)f(x)(a-x)dx【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 交换积分次序，有【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 显然 I2(Mm)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 (1)易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积 SD=2，因为积分区域 D 关于直线
18、y=x 对称，则由二重积分的性质便有(2)因为积分区域 D 关于直线y=x 对称，又关于 y 轴，x 轴对称，函数 ex一 e-x，e y一 e-y分别关于 x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得【知识模块】 微积分28 【正确答案】 I 1 一 I2= p(x)p(y)g(y)f(x)一 f(y)dxdy，由于 D 关于直线 y=x 对称，所以 I1 一 I2 又可以写成 I1 一 I2= p(y)p(x)g(x)f(y)一 f(x)dxdy，所以 2(I 1 一 I2)= p(x)p(y)g(y)一 g(x)f(x)一 f(y)dxdy因 g(x)与 f(x)的单调性相同，所以f(x) 一
19、f(y)g(x)-g(y)0，从而知 I1 一 I20，有 I1I2【知识模块】 微积分29 【正确答案】 【知识模块】 微积分30 【正确答案】 (1)由累次积分 I1 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域=12，它们可表示为 显然，平面区域 的边界曲线为抛物线 与直线 y=0，则 1， 2 也可以写为 于是，累次积分 I1 交换积分次序后为(2)由累次积分 I2 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为 =123，其中根据区域 的图形可知， 的边界曲线由上半圆 直线 x=0 与抛物线 y=x 一 x2 组成，故可用不等式表示为 =(x，y)|x 一 x2y 0x1 于是，累次积分
20、 I2 化为另一种先对 y 后对 x 的累次积分【知识模块】 微积分31 【正确答案】 本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 01(xy)xydy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy，当 y 从 0 变到 1 时，t从 0 变到 x,则于是也就是要证明 一 01ttln tdt=01ttdt，移项后就是要证明 01tt(1+ln t)dt=0 事实上， t t(1+ln t)dt=etlnt(1+ln t)dt=etlntd(tln t)=d(etlnt)，故 01tt(1+ln t)dt=etlnt|01=0【知识模块】 微积分32 【正确答
21、案】 一方面，有【知识模块】 微积分33 【正确答案】 【知识模块】 微积分34 【正确答案】 (1)如图 156 所示， 则(3)如图15-8 所示，D=D 1D2，其中【知识模块】 微积分35 【正确答案】 被积函数 minx，y= 其中 D1=(x，y)|0y1，yx3，D 2=(x，y)|0y1 ，0xy 所以【知识模块】 微积分36 【正确答案】 【知识模块】 微积分37 【正确答案】 【知识模块】 微积分38 【正确答案】 【知识模块】 微积分39 【正确答案】 设 I=(b-a) abf(x)g(x)dx-abf(x)dxabg(x)dx =abdyabf(x)g(x)dx-ab
22、f(x)dxabg(y)dy 其中 D：axb，ayb 因为 D 关于y=x 对称，所以 由 f(x)，g(x) 在a ，b上单调递增，得 2I0，即 I0，故 abf(x)dxabg(x)dx(b 一 a)abf(x)g(x)dx【知识模块】 微积分40 【正确答案】 由 D 关于 y 轴对称，令用极坐标分别计算 D2 与 D3 上的上述二重积分有【知识模块】 微积分41 【正确答案】 (1)由分部积分，有 01(x-x2)“(x)dx=01(x-x2)d(x) =(x-x2)(x)|01一 01(x)(12x)dx =一 01(12x)d(x)=-(12x)(x)|01-012(x)dx
23、=(x)+(0)一201(x)dx=一 201(x)dx，所以对于里层积分，将 y 视为常数，对 x 积分，并注意到 f(0，y)=f(1，y)=0所以套用(1)的结果，有对此积分的里层积分，将 x 视为常数，对 y 积分，并注意到条件 f(x，0)=f(x ，1)=0，再套用(1)的结果，有【知识模块】 微积分42 【正确答案】 画出区域 D，如图 1510 所示第一象限中的阴影部分记为D1，第三象限中的阴影部分记为 D2，有=e 一 1 一(ue u 一 eu)|01=e 一 1 一(ee+1)=e 一 2，由对称性可得 一 01cos 2xdx+-10cos 2xdx=一 01cos 2
24、xdx+01cos 2xdx=0，同理 01cos(x+x3)dx 一 -10cos(x+x3dx=01cos(x+x3)dx-01cos(x+x3)dx=0，所以原式=e 一 2【知识模块】 微积分43 【正确答案】 作出 D 的平面图形，如图 15 11 所示因积分区域关于原点O 对称，被积函数又是关于 x 与 y 的偶函数，故 其中， D 1=(x， y)|0x1，x 一 1y00， D 2=(x，y)|0x1，0yx+1 ， D3=(x，y)|1x2，x 一 1y 于是【知识模块】 微积分44 【正确答案】 D 是一块矩形域，如图所示，则【知识模块】 微积分45 【正确答案】 (1)由于被积函数及积分区域 D 关于直线 y=x 对称，记 D1=(x，y)|0yx2)，D 2=(x，y)|x 2+y21，0yx ， D 3=(x，y)|1x 2+y2，0yx2，有所以M1，其中 由于|f(x，y)|在 D 上连续，所以存在(，)D 使|f(，)|=M1 【知识模块】 微积分46 【正确答案】 【知识模块】 微积分47 【正确答案】 区域 D 如图 1513 所示，由极坐标，则可将区域边界 x2+y2=4表示为 r=2(0)，(x 一 1)2+y2=1 表示为【知识模块】 微积分
