1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中正确的是 ( )2 下列命题中错误的是 ( )3 已知级数 条件收敛，则 ( )4 设 a0 为常数，则（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关5 对于级数 其中 un0(n=1，2，3，)，则下列命题正确的是 ( )6 下列结论正确的是 ( )（A） 在收敛域上必绝对收敛（B） 的收敛半径为 R，则 R 一定是正常数（C）若 的收敛半径为 R，则其和函数 S(x)在(-R，R)内必可微（D） 都是幂级数7 设 0un 则下列级数中一定收敛的是 (
2、 )8 已知级数则( )（A）级数收敛，级数 发散（B）级数 发散，级数收敛（C）两级数都收敛（D）两级数都发散9 当级势（A）一定条件收敛（B）一定绝对收敛（C）一定发散（D）可能收敛，也可能发散10 若正项级数 发散，则 ( )11 存在是级数 (an 一 an+1)收敛的 ( )（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）既非充分又非必要条件（D）充分必要条件12 设 存在，则 ( )（A） 必收敛（B） (an2 一 an+12)必收敛（C） (a2n-1 一 a2n)必收敛（D）13 若 an(x 一 1)n 在 x=-1 处收敛，则在 x=2 处是 ( )（A）条件收
3、敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定14 级数（A）收敛（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛15 当|x|1 时，级数 的和函数是 ( )（A）ln(1 一 x)（B）（C） ln(x-1)（D）一 ln(x 一 1)二、填空题16 设 a 为常数，若级数17 级数 的和为_18 级数 ，当_时绝对收敛；当_时条件收敛；当_时发散19 常数项级数 的敛散性为_20 的敛散性为_21 正项级数 收敛的充分必要条件为其部分和数列S n_22 级数 的收敛域是_23 函数 f(x)= 展开成的 x-1 的幂级数为_24 幂级数 在收敛区间(-a，a) 内的和函数 S(x)为_三、解答题解答
4、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 26 求 (a 为常数， 0|a|e) 27 判别下列级数的敛散性(k1，a1) ：28 判别级数 的敛散性29 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间30 判别下列正项级数的敛散性：31 判别级数 的敛散性32 判别级数 的敛散性33 判别级数 的敛散性34 设两条抛物线 y=nx2+ 和 y=(n+1)x2+ 记它们交点的横坐标的绝对值为an求：(1)这两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn；(2)级数 的和考研数学三（无穷级数）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
5、案】 D【试题解析】 因为 nu nv n，所以 0u n 一 nv n 一 n又因为收敛， 因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B)，(C) 将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数 可以说明(B)不对，取级数 就可以说明(C)不对，故选(D) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 由级数收敛的性质知命题(A)正确；由反证法可知命题 (B)正确若设，这两个级数都发散，但是收敛，可知命题(C)正确，命题 (D)错误【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 设【知识模块】 微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】
6、微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 因|(一 1)n-1un|=|un|=un，由 绝对收敛，故命题(B)正确；命题(A) 错误：如 ；命题(C)，(D)错误：如取【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 由幂级数 的和函数 S(x)在收敛区间 (一 R，R)上的性质可知，命题(C) 正确命题 (A)错误：如 收敛域为 (一 1，1，但在 x=1 处，命题(B)错误：因为收敛半径可能为 R=0 或 R=+；命题(D)错误：由幂级数的定义可知 不是幂级数【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 因 收敛，由正项级数的比较审敛法知收敛，故 绝对收敛，从而收敛，故选(D)
7、【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 设 则u 2n为单调增数列，故从而级数发散，由级数 发散可知，级数 一般项极限不为零，故发散【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 因级数 都为正项级数，且收敛，又由比较审敛法知， 绝对收敛故选(B) 【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 级数 存在 N，当 nN时a n2an,由比较审敛法知， 必收敛故选(C)【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 (an 一 an+1)的前 n 项和为 Sn=(a1 一 a2)+(a2 一 a3)+(an 一 an+1)=a1 一 an+1【知识模块】 微
8、积分12 【正确答案】 B【试题解析】 由于(an2 一 an+12)=a12a2，所以选(B)【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 由 an(x 一 1)n 在 x=一 1 处收敛，则收敛半径 R|一 11|=2而在x=2 处， |21|=1R，所以 x=2 在收敛区间内，即原级数在 x=2 处绝对收敛，故应选(B) 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题16 【正确答案】 a【试题解析】 因为级数【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 因为级数 为等比级数
9、，其公比 q 满足【知识模块】 微积分18 【正确答案】 p1；0p1；p0【试题解析】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 发散【试题解析】 将已给级数每相邻两项加括号得新级数 因为级数发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散【知识模块】 微积分20 【正确答案】 发散【试题解析】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 有界(或有上界)【试题解析】 级数 ，收敛等价于S n收敛对于正项级数 Sn为单调递增数列由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列S n收敛等价于S n有界( 或有上界 )【知识模块】 微积分22 【正确答案】 (一 1，1【试题解析】 因 为不缺项的
10、 x 的幂级数，又因故 R=1【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (一 1)n(x 一 1)n，0x2【试题解析】 因 一 1x1故 (一 1)n(x一 1)n，一 1x 一 11，即 0x2【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛若对于级数 由【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 收敛，故原级数收敛【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由已知展开式知【知识模块】 微积分30 【正确答案】 【知识模块】 微积分31 【正确答案】 易知当 n 充分大时， 单调递减且收敛于 0，由莱布尼茨判别法知，级数收敛【知识模块】 微积分32 【正确答案】 由泰勒公式，有【知识模块】 微积分33 【正确答案】 F(x)单调减少，因此级数 满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的但级数 发散由收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，知原级数发散【知识模块】 微积分34 【正确答案】 (1)解方程 得两条抛物线交点的横坐标的绝对值为 根据对称性可得【知识模块】 微积分
