1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 an0，n=1，2，若 收敛，则下列结论正确的是2 下述各选项中正确的是3 设 a 为常数，则级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 a 的取值有关4 若级数 在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定5 设 un= 为（A）发散的正项级数（B）收敛的正项级数（C）发散的交错级数（D）收敛的交错级数6 已知级数 条件收敛，则常数 p 的取值范围是7 下列命题中正确的是8 设幂级数 在点 x1=-2
2、处条件收敛，则幂级数处（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）其敛性与 a 的取值有关二、填空题9 设级数 =_10 幂级数 的收敛半径为_11 幂级数 的收敛域是_12 幂级数 的收敛域为_13 幂级数 的收敛域为_14 幂级数 的和函数是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)= 试将 f(x)展开成 x 的幂级数16 设 an0， bn0，(n=1，2，)，且满足 ，n=1，2，试证：17 设 an= ()求 (an+an+2)的值； ( )试证：对任意的常数 0 级数收敛18 ()求函数所满足的二阶常系数线性微分方程；()求() 中幂级数的和函数 y(
3、x)的表达式19 判别下列级数的敛散性：20 判别下列级数的敛散性若收敛，需说明是绝对收敛还是条件收敛21 讨论级数 的敛散性，其中x n是方程 x=tanx 的正根按递增顺序编号而得的序列22 讨论级数 的敛散性与参数 p，x 的关系23 已知函数 y=y(x)满足等式 y=x+y，且 y(0)=1，试讨论级数的收敛性24 设 f(x)在-2 ，2 上有连续的导数，且 f(0)=0，F(x)=绝对收敛25 将下列函数在指定点处展开成幂级数：()f(x)=lnx，分别在 x=1 与 x=2 处； ()f(x)= ，在 x=1 处26 将函数 f(x)= 在点 x0=1 处展开成幂级数，并求 f
4、(n)(1)27 求幂级数 的收敛半径与收敛域28 求幂级数 的收敛域，并求其和函数29 求下列幂级数的和函数：30 设 an= 收敛，并求其和考研数学三（无穷级数）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 注意，级数 各项不改变顺序且相邻两项合并为一项构成的新级数，由收敛级数的性质知该级数必收敛，故应选(D)【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 A【试题解析】 由于又级数收敛故选(A)对于(B)，只要令 ，易验证(B)错误对于(C) ，显然选项(C) 错误对于 (D)，当 un 为正项级数，v n 为负项级数时
5、(如令vn=-1)，易验证(D)错误【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 C【试题解析】 由于发散应选(C) 【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件当 t(-2，2)时绝对收敛，注意 x=2 时对应的 t=x-1=1，故幂级数 在 x=2 处绝对收敛故选(B)【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 D【试题解析】 令 x=n+t，则所以交错级数收敛，故选(D) 【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 D【试题解析】 故当发散，从面原级数不是绝对收敛的所以 x 充分大时 f(x)单调增加，于是 n 充分大时， 单调减少，应用莱布尼茨判别法推知当时原级数条件收敛故选(
6、D)当时原级数发散【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 D【试题解析】 极限 的一个充分条件，因此(A)不对幂级数 的收敛半径存在而且唯一，所以(B)不对取级数可以排除(C) (D)可以由幂级数的逐项积分性质得到，故选 (D)【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 C【试题解析】 首先，幂级数收敛半径为 R=1其次，级数在 x1=-2 处条件收敛，则 x1=-2 必为收敛区间的端点由x 1-x2=必在收敛域之外与 a 的取值无关因此选(C)【知识模块】 无穷级数二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为 收敛，那么由级数的基本性质有【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 2【试题解析】
7、 当 x=0 时级数显然收敛当 x0 时设 ，于是 用比值判别法知，当1 时幂级数绝对收敛，而当 时幂级数发散，故幂级数的收敛半径为2【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 -2，2)【试题解析】 当 x=0 时级数必收敛当 x0 时设 ，于是故当 1即x2 时，幂级数绝对收敛，而当x2 时幂级数发散当 x=2 时，幂级数变为 ，显然发散；当 x=-2 时，幂级数变为交错级数 ，由莱布尼茨判别法易判断其收敛故收敛域为-2，2)【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 -1，1)【试题解析】 根据收敛半径的计算公式，幂级数 的收敛半径为 1，收敛域为-1，1)；幂级数 的收敛域为(-2 ，2)
8、因此原级数在-1 ，1)收敛，在(-2，-1)1 ，2)一定发散又根据阿贝尔定理，原级数在(-，-22，+)也一定发散故原级数的收敛域为-1，1)【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 (145，155)【试题解析】 这是缺项幂级数，把一般项化成 an(x-x0)2n-1 的标准形再计算因为所以，当时，级数发散故幂级数 的收敛区间为(145，155)又当时，原级数的一般项分别是 un=-10 和 un=10，所以发散因此幂级数 的收敛域为(145，155)【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 【试题解析】 当 x=0 时级数收敛，当 x0 时设 un(x)=(n2-1)xn，由于可见幂级
9、数的收敛半径 R=1 当 x=1 时原级数一般项不趋于零，故幂级数的收敛域为(-1 ，1)求和函数得【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为由于上式右端的级数在点 x=1 处收敛，因此上面等式在x1 上成立于是当 0x1时由于 f(x)在点 x=0 处连续，且根据幂级数的和函数在收敛区间内处处连续可得上式在点 x=0 处也成立，因此 f(x)的幂级数展开式为【试题解析】 先由 arctanx 的麦克劳林展开式求出 0x1 时 f(x)的幂级数展开式，再由幂级数的和函数在收敛区间内的连续性及 f(x)在点 x=0 处的连续性求得f(x)在x
10、1 上的展开式【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 由于 an 0，b n0，故【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 () 由于()是正项级数，可用比较判别法判别其敛散性由于【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 () 当-x 时题设的幂级数可任意次逐项求导，且由此可见y(x)满足二阶常系数齐次线性微分方程 y-y=0()直接计算可得 y(0)=1，y(0)= ，从而函数 y(x)是二阶常系数线性微分方程初值问题 的特解注意特征方程 2-1=0 有二相异特征根 1=1 与 2=-1，可见微分方程的通解为 y(x)=C1ex+C2e-x利用初值 y(0)=1 与 y(0)= 故()中幂
11、级数的和函数 y(x)=【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 本题中四个级数均为正项级数，故用正项级数敛散性判别法 ()用比值判别法 故该级数发散()此题可以用比值判别法或极限形式的比较判别法()用比较判别法的极限形式，将题设的级数与级数 作比较因为【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 () 利用正项级数比较判别法极限形式，我们取 un= 因为对于原级数，令 f(x)= ，在区间e，+)上有 故 f(x)=满足莱布尼茨判别法的两个条件： 故得知原级数条件收敛()由ln(1+x)x(x0)，可知 ln(e n2+e-n) =lnen(1+e-2n) =n+ln(1+e-2n)n+e -2
12、n，又 =0，由莱布尼茨判别法，知原级数收敛故原级数条件收敛【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 等号仅在 x=n 时成立，故 f(x)单调减少又【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 当 n 充分大时， ，故级数为正项级数利用麦克劳林公式有【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 因为 y=x+y，所以 y=1+y由 y(0)=1，得 y(0)=1，y(0)=2根据麦克劳林公式，就有【试题解析】 y(x) 是已知微分方程的一个特解，再由其麦克劳林公式讨论级数的收敛性【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 由于 f(x)在-2 ，2上有连续的导数，则f(x)在-2，2上连续，设 M 为
13、f(x)在-2，2上的最大值，则 x-1， 1时，【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 () 利用换元法与已知的幂级数展开式求解本题首先设 x-1=t x=1+t代入可得 展开式的成立范围是-1 t1 即-1x-11 0x2其次设 x-2=t x=2+t，代入可得【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 将 f(x)视为 即可因为 利用公式(514)，并以 代替其中的x，则有【试题解析】 “在点 x0=1 处展成幂级数”即展成 x-1 的幂级数【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 用比值判别法判别其敛散性当 x=0 时幂级数收敛；当 x0 时有所以，当0x1 时，幂级数绝对收敛；x1
14、时幂级数发散；当x=1 时，由于0，幂级数发散，故幂级数收敛域为(-1，1)【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 对上式两端求导，得【试题解析】 记 un(x)=(2n+1)x2n+2，消去每项中的系数(2n+1)便可化为等比级数【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 () 易知幂级数收敛域为(-1 ，1)记 S(x)= 则对上式两边求导，得和函数 故只要消去系数中的因子 n 便可以使用 ex 的展开式求和 幂级数的收敛域为(-，+) 和函数把 g(x)的幂级数表达式作逐项积分，可得 所以 g(x)=(xe x)=(1+x)ex， S(x)=xg(x)=(x+x 2)ex (-x+)()利用逐项求导两次去掉幂级数的通项 的分母 n(2n+1)，化为几何级数求和函数计算可得幂级数的收敛半径 R=1，收敛域是-1，1，设其和函数为 S(x)，则为便于利用逐项求导去掉幂级数通项的分母 n(2n+1)化为几何级数求和，可引入幂级数 ，这个幂级数的收敛半径也是 R=1，收敛域也是-1，1，设其和函数为 S1(x)，则且 S1(0)=S1(0)=0在开区间(-1，1)内逐项求导两次可得【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数
