1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 an (x1) n 在 x=1 处收敛，则在 x=2 处是 ( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定2 已知级数 绝对收敛，级数 条件收敛，则 ( )3 设 an= (n=1，2，3，)，则级数 ( )4 下列命题中正确的是 ( )5 下列命题中错误的是 ( )6 对于级数 ，其中 un0(n=1，2，)，则下列命题正确的是 ( )7 下列结论正确的是 ( )8 设 0un ，则下列级数中一定收敛的是 ( )9 设 a0 为常数，则 ( )（A）绝对收敛（
2、B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关10 级数 ( )（A）收敛（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛二、填空题11 设 a 为正常数，则 的敛散性为_12 设 a 为常数，若级数 =_13 级数 的和为_14 级数 的收敛域是_15 函数 f(x)= 展开成的(x1)的幂级数为_16 常数项级数 的敛散性为_17 幂级数 在收敛区间(a，a) 内的和函数 S(x)为_18 函数 f(x)=ln(3+x)展开为 x 的幂级数为_19 幂级数 的收敛域为_20 设 的敛散性为_21 正项级数 收敛的充分必要条件为其部分和数列S n_22 幂级数 的收敛域为_23 ex 展开成(x3)的
3、幂级数为_24 级数 ，当_时绝对收敛；当_时条件收敛；当_时发散25 若 在 x=3 处为条件收敛，则其收敛半径 R=_26 函数 f(x)=cosx 展开成(x+ )的幂级数为_27 幂级数 在收敛域(1，1)内的和函数 S(x)为_考研数学三（无穷级数）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 an(x1) n 在 x=1 处收敛，则收敛半径 R11=2 而x=2，即 21=1 R，所以 x=2 在收敛区间内，即原级数在 x=2 处绝对收敛，故应选(B) 【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 D【试题解析
4、】 设 un=(1) nn ，则当 n 时，u n的敛散性相同，故 而由条件收敛可知 031，即 23若使两个结论都成立，只有3，故选(D) 【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 an=cosn ，所以级数 是满足莱布尼茨条件的交错级数，因此 收敛，因为 an2=ln2(1+ )在 n时与 是等价无穷小，且调和级数 发散，所以 发散，故选(C)【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 wnu nv n，所以 0u nw nv nw n又因为收敛，所以 (unw n)收敛，因而 (unw n)收敛故 收敛因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不
5、能选(A)；选项(B)，(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数可以说明(B)不对，取级数 就可以说明(C)不对选 (D)【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 D【试题解析】 由级数收敛的性质知命题(A)正确由反证法可知命题 (B)正确若设，这两个级数都发散，但是=0 收敛，可知命题(C)正确，但命题(D)错误【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 因(1) n1 un=u n=u n，由 un 收敛知 (1) n1 un 绝对收敛，命题(B) 正确(A) 错误：如 ；(C) ，(D)错误：如【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 由幂级数
6、anxn 在收敛域(R，R)上的和函数性质可知，命题(C)正确(A)错误：如 ，收敛域为(1，1，但在 x=1 处，条件收敛(B)错误：因为可能 R=0 或 R=+(D)错误：由幂级数的定义可知 不是幂级数【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 D【试题解析】 因 0un ，有 un2 收敛，由正项级数的比较审敛法知收敛，故 绝对收敛从而收敛，故选(D)(A) ，(C)错：如 (B)错：如【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 A【试题解析】 因 01 收敛，因此绝对收敛【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 C【试题解析】 设 un=(1) n1 ln(1+ )对于发散，故由比较审敛法的极
7、限形式可知 u n发散而 为交错级数因u n+1= =u n (或因当 x0 时，0)，因此u n即 ln(1+ )是单调递减数列，且极限显然为 0由莱布尼茨定理知， 收敛且为条件收敛【知识模块】 无穷级数二、填空题11 【正确答案】 发散【试题解析】 因 绝对收敛，所以原级数发散【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 a【试题解析】 因级数 (una)收敛，所以 (una)=0，从而 =a【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 【试题解析】 因级数 为等比级数，其公比 q 满足q= =1故 收敛且和为【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 (1，1【试题解析】 因 为不缺项的 x 的幂
8、级数，又因 =1，故 R=1在 x=1 处， 收敛；在 x=1 处，发散故 的收敛域为(1，1【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 (1) n(x1) n，0x2【试题解析】 因 (1) n.xn，1x1故 (1)n(x1) n，1x11，即 0x2【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 发散【试题解析】 将已给级数每相邻二项加括号得新级数 因发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 【试题解析】 记 S(x)= ，x(a，a)因，故 S(x)=【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 ln3+ ，3x3【试题解析】 f(x)=ln(3+x)=l
9、n3(1+ )=ln3+1n(1+ )因 ln(1+x)= xn+1(1x1) ，故 f(x)=ln3+ln(1+ )=ln3+ 1 1，即3x3【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 1，3)【试题解析】 令 y=x2，则 为不缺项级数，an= =1，故 R=1当 y=1 时， 发散(p 级数，p=1) ，当 y=1 时， 为收敛的交错级数因此 的收敛域为1， 1)可知 1x21，即 1x3 时，原级数 (x2) n 收敛【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 发散【试题解析】 由 收敛，知 =0，故 =(0)，从而 发散【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 有界(或有上界)【试题解
10、析】 级数 收敛等价于S n收敛对于正项级数 ，S n为单调递增数列由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列S n收敛等价于S n有界(或有上界)【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 1，1【试题解析】 为缺项级数，不能通过 求 R，可用比值审敛法求收敛半径尺具体为： =x2当x 21，即x1 时，级数绝对收敛；当x 21，即x1 时，级数发散，故R=1当 x=1 时，原级数 收敛；当 x=1 时，原级数 收敛，从而收敛区间为1，1 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 e 3 (其中 x+)【试题解析】 e x=e3+(x3) =e3.ex3 ，因ex= +( x +
11、)从而ex=e3.ex3 =e3 (x3) n( x3+即 x+) 【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 p1；0p1；p0【试题解析】 设 un=(1) n1 当 p1 时，绝对收敛；当 0p1 时，为交错级数且u n= =un+1，=0故由莱布尼茨定理 收敛且为条件收敛；当 p0时， 0，则级数发散【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 3【试题解析】 因 anxn 在 x=3 收敛，故由阿贝尔定理，x3 时， anxn 绝对收敛又因 anxn 在 x=3 条件收敛，故x3 时， anxn 发散如若不然，必存在 x1，使x 13 且有在 x=x1 处 anxn 收敛由阿贝尔定理便可推出xx 1时，特别是 x=3 时 anxn 绝对收敛这与题设在 x=3 处条件收敛相矛盾综上，由收敛半径的定义便有 R=3【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 ，x+【试题解析】 f(x)=cosx= 因cosx= ，x+ ，sinx= ，x+有 f(x)【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 【试题解析】 设 S(x)= (1) n1 nxn1 ，x(1， 1)因，故 s(x)=0xS(x)dx)=【知识模块】 无穷级数
