1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则下列级数中肯定收敛的是（A）（B）（C）（D）2 设常数 0，而级数 收敛，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关3 下述各选项正确的是（A）（B）（C）（D）4 设幂级数 的收敛半径分别为 的收敛半径为（A）5（B）（C）（D）5 设 则下列命题正确的是（A）若 都收敛（B）若 绝对收敛，则 都收敛（C）若 条件收敛，则 的敛散性都不定（D）若 绝对收敛，则 的敛散性都不定6 设有以下命题： 则以上命题中正确的是（A）（B） （C） （D）7 设
2、收敛，则下列结论正确的是（A）（B）（C）（D）8 若级数 收敛，则级数（A）（B）（C）（D）9 设u n是数列，则下列命题正确的是（A）（B）（C）（D）10 已知级数 条件收敛，则（A）（B）（C）（D）11 设a n为正项数列，下列选项正确的是（A）（B）（C）（D）12 下列级数中发散的是（A）（B）（C）（D）二、填空题13 幂级数 的收敛域是_.14 级数 的收敛域为_15 级数 的和为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 若级数 均发散，则级数 必发散17 将函数 展成 x 的幂级数，并指出其收敛区间18 讨论级数 的敛散性19 设级数 均收敛，求证， 绝对
3、收敛20 已知函数 试计算下列各题：(1) (2)(3) (4)21 将函数 y=ln(1 一 x 一 2x2)展成 x 的幂级数，并指出其收敛区间22 从点 P1(1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2 于点 Q1(1，1)；再从 Q1 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P2然后又从 P2 作 x 轴的垂线，交抛物线于 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点 P1，Q 1；P 2，Q 2；P n，Q n；23 设有两条抛物线 记它们交点的横坐标的绝对值为 an(1)求两条抛物线所围成的平面图形的面积 Sn；(2)求级数 的和24 25 设26 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)
4、+xn-1ex(n 为正整数)，且 求函数项级数之和27 求幂级数 的和函数 f(x)及其极值28 设级数 的和函数为 S(x)求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程； ()S(x)的表达式29 求幂级数 在区间(一 1，1)内的和函数 S(x)30 求幂级数 的收敛域及和函数 s(x)31 将函数 展开成 x-1 的幂级数，并指出其收敛区间32 设银行存款的年利事为 r=005，并依年复利计算某基金会希望通过存款 A万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，第 n 年提取(10+9n)万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元 ?33 幂级数 的收敛半径为_34
5、求幂级数 的收敛域及和函数考研数学三（无穷级数）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 A【试题解析】 所以，应选 A【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 B【试题解析】 都收敛，故应选 B【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模
6、块】 无穷级数9 【正确答案】 A【试题解析】 根据级数的性质，收敛级数加括号仍收敛，故应选 A【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 D【试题解析】 若存在常数 p1，使 由于 an0，且收敛，故应选 D【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 C【试题解析】 由交错级数的莱布尼兹准则知，级数 发散，故级数 发散，选 C【知识模块】 无穷级数二、填空题13 【正确答案】 一 1，1)【试题解析】 该幂级数的收敛半径为【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 (0，4) 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 【试题解
7、析】 【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 “ 非” 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 则原级数收敛【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 由不等式 2aba2+b2 可知，应考虑级数【试题解析】 【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 其收敛域为(一 1， 1：【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 (1)由 y=x2 得，y=2x，对于任意 a(0a1) ，抛物线 y=x2 在点(a,a2)处的切线方程为 y 一 a2=2a(
8、x 一 a)且该切线与 x 轴的交点为可见 (2)由于可见【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 4【试题解析】 解 则【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 由原题可知 fn(x)一 fn(x)=xn-1ex 由一阶线性方程通解公式可知【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 令f(x)=0，得 x=0，显然经过 x=0 点时 f(x)由正变负，则 f(x)在 x=0 处取极大值【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 由以上分析知【知识模块】 无穷级数33 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数34 【正确答案】 时原级数显然发散，则其收敛域为(一 1， 1)【知识模块】 无穷级数
