1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设级数 发散(a n0)，令 Sn=a1+a2+an，则 ( )（A）发散（B）收敛于（C）收敛于 0（D）敛散性不确定2 设 收敛，则下列正确的是( )3 设 an0(n=1，2，)且 收敛，又 0k ，则级数( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 k 有关4 下列结论正确的是( ) 5 设 a 为任意常数，则级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与常数 a 有关6 设 k0，且级数 收敛，则级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）
2、绝对收敛（D）敛散性与 k 的取值有关7 设 an(x 一 1)n 在 x=一 1 处收敛，则此级数在 x=2 处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定二、填空题8 级数 的收敛域为_，和函数为_9 级数 在一 1x1 内的和函数为_10 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)= S0=02f(x)e 一 xdx，S 1=24f(x 一 2)e 一xdx，S n=2n2n+2+2f(x 一 2n)e 一 xdx，求12 判断级数 的敛散性13 判断级数 的敛散性14 判断级数 的敛散性15 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收
3、敛？16 设 为发散的正项级数，令 Sn=a1+a2+an(n=1，2，)证明：收敛17 判断级数 的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛17 设 为两个正项级数证明：18 若 收敛；19 若 发散20 求幂级数 的收敛域21 求幂级数 的和函数22 求幂级数 的和函数23 求幂级数 的收敛域，并求其和函数24 验证 y=x+ 满足微分方程(1 一 x)y+y=1+x25 将 f(x)= 展开成 x 一 2 的幂级数考研数学三（无穷级数）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为正项级数 发散，所以
4、 =+，令 Sn=因为，所以选(B)【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 收敛，但发散；(B)不对，如 收敛， 也收敛；(C)不对，如 收敛，但 发散，选 (D)【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 A【试题解析】 令 un=(一 1)n 因为 |un|= a2nka 2n，而an 收敛，所以 ka2n 收敛，于是 un 绝对收敛，选(A)【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 A【试题解析】 (A) 正确，因为 0(unn)22(un2+n2)，而 收敛，所以由正项级数的比较审敛法得 (unn)2 收敛；(B)不对，如 un=unn=un 收敛，而显然u
5、nn(n=1，2，)且 发散【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为单调减少且以零为极限，所以发散，所以条件收敛，选(B)【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为都收敛，所以 绝对收敛，正确答案为(C) 【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 an(x 一 1)n 在 x=一 1 处收敛，即 an(一 2)n 收敛，所以antn 的收敛半径 R2，故当 x=2 时，|2 一 1| R，所以级数 n(x 一 1)n 在x=2 处绝对收敛，选(B)【知识模块】 无穷级数二、填空题8 【正确答案】 (一 2x2)【试题解析】 由 得收敛半
6、径为 R=2，当 x=一 2 时级数收敛，当x=2 时级数发散，故级数 的收敛域为一 2，2) ，令 S(x)= 则S(x)= (一 2x2)【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 xln(1 一 x2)+x3 一 x3ln(1 一 x2)(一 1x1)【试题解析】 而 =一 ln(1 一 x2)(一 1x1)， 一x2=一 ln(1 一 x2)一 x2(一 1x1)，所以 =xln(1 一 x2)+x3 一 x3ln(1一 x2)(一 1 x1)【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】
7、 S 0=02f(x)e 一 xdx=01xe 一 xdx+12(2 一 x)e 一 xdx= 令 t=x 一2，则 S1=e 一 202f(t)e 一 tdt=e 一 2S0，令 t=x 一 2n，则 Sn=e 一 2n02f(t)e 一 tdt=e 一 2nnS0，【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 因为 是正项级数，又收敛，根据比较审敛法的极限形式，级数收敛【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 因为 发散，由比较审敛法的极限形式得级数 发散【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 因为所以级数 收敛【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数16 【正确答案
8、】 显然S nn=1，单调增加，因为级数 an 发散，所以Sn=+对交错级数 单调减少，且收敛【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 级数 是交错级数，【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 取 0=1，由 =0，根据极限的定义，存在 N0，当 nN时， 1，即 0anb n，由 收敛得 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 收敛，从而 an 收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 根据(1)，当 nN 时，有 0anb n，因为 发散，所以发散，由比较审敛法， 发散，进一步得 bn 发散【知识模块】 无穷级数
9、20 【正确答案】 令 x 一 1=t，显然级数 的收敛半径为 R=1，又当 t=1 时，由绝对收敛，所以级数 的收敛区间为一 1，1，故原级数的收敛域为0 ，2 【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 由 得收敛半径为 R=4，当 x=4 时，因为(4)n 一 1(n)，所以幂级数的收敛域为(一 4，4)【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 幂级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(一，+)【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 则收敛半径为 R=2，【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 显然级数 y=x+ 的收敛域为一 1，1即级数 满足微分方程(1 一 x)y+y=1+x(一1x1)【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数
