1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若正项级数 收敛，则 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定2 若级数 收敛(u n0)，则下列结论正确的是( )3 设 un=(一 1)n ，则( )4 下列说法正确的是( ) 5 下列命题正确的是( ) 6 级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定7 设 =2，则级数 的收敛半径为( )（A）1（B）（C）（D）二、填空题8 设 (一 1)n 一 1an=2， a2n 一 1=5，则 a2n=_。9 函数 f(x)= 展开成
2、x 的幂级数为_ 10 幂级数 的收敛域为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 判别级数 的敛散性，若收敛求其和12 判断级数 的敛散性13 判断级数 的敛散性14 判断级数 的敛散性15 判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?16 设正项级数 收敛，证明 收敛，并说明反之不成立17 若正项级数 与正项级数 都收敛，证明下列级数收敛：18 求幂级数 的收敛域19 求幂级数 的和函数20 求幂级数 的和函数21 求幂级数 (2n+1)xn 的收敛域及和函数22 求幂级数 的和函数 S(x)及其极值23 将 f(x)=arctanx 展开成 x 的幂级数24 将 f
3、(x)= 展开 x 的幂级数24 设有幂级数 2+25 求该幂级数的收敛域；26 证明此幂级数满足微分方程 y“一 y=一 1;27 求此幂级数的和函数考研数学三（无穷级数）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 0 收敛，所以 收敛，于是 绝对收敛，选(C)【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 C【试题解析】 令 Sn=u1+u2+un，因为 un 收敛，所以 Sn 存在且 un=0，令 Sn=(u1+u2)+(u2+u3)+(u2+u3)=2Sn 一 u1+un+1，于是 Sn 一u1 存在，选(C)，
4、(A) 、(B)、(D)都不对【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 C【试题解析】 由交错级数审敛法, un 收敛，而 un2=1n2发散，选(C)【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 D【试题解析】 令 un= 都发散，但 (un+n)收敛， (A)不对；令 un=n= ，显然 n 都发散，但unn 收敛， (B)不对；【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) 取 un=收敛，(A)不对；取 un=收敛，(B)不对；取 un=n=发散，(C)不对；因为 =0，从而存在 M0，使得|u n|M，于是|unn|Mn，因为正项级数 n 收敛，根据比较审敛法， |unn|
5、收敛，即 unn绝对收敛【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 因为单调减少且以零为极限，由 Leibniz 审敛法，级数 收敛，而条件收敛，正确答案为(B)【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 D【试题解析】 =2|x|2，当|x| 绝对收敛；当|x| 时，级数 发散，故其收敛半径为 选(D)【知识模块】 无穷级数二、填空题8 【正确答案】 8【试题解析】 (1)n 一 1an=8【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 (0，4) 【试题解析】 令 x 一 2=t，对级数 所以收敛半径为 R=2，当 t=2 时，的收敛
6、域为(一 2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4) 【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 所以级数【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 因为当 x0 时 slnxx，所以 0收敛，根据比较审敛法，级数 收敛【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 由 0 收敛，由比较审敛法得级数 收敛【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 因为收敛【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 为单调减少的数列，又收敛因为发散，故级数 条件收敛【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 因为 0 (un+un+1)，而 (un+un+1)收敛，所以根据正项级
7、数的比较审敛法知 收敛，反之不一定成立，如级数1+0+1+0+发散，因为 unun+1=0(n=1，2，) ，所以 收敛【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 (1)因为收敛(2)因为收敛【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 由 得收敛半径为R= 当 发散，故级数的收敛域为【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 由 =4，得幂级数的收敛半径为 R= 当收敛，故级数的收敛域为所以 S(x)=0xS(x)dx=【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 幂级数 n(n+1)xn 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1)【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 由 =1 得该级数的收敛半
8、径为 R=1，因为当 x=1 时，(2n+1)(1)n 发散，所以级数的收敛域为(一 1，1)将 x2 换成 x 得 S(x)= (一 1x1)【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 令 S(x)= =0，得唯一驻点 x=0，当 x 0 时，S(x)0，当 x0 时，S(x)0，则 x=0 为 S(x)的极大值点，极大值为 S(0)=1【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 由 f(x)= (一 1)nx2n(一 1x1)，f(0)=0 ，得 f(x)=f(x)一 f(0)=0xf(x)dx=0x 由逐项可积性得显然 x=1 时级数收敛，所以【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 因为 =0，所以收敛半径为 R=+，故幂级数的收敛域为(一，+) 【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 令 f(x)=2+ 则 f(x)=1+f(x)一 2，故该幂级数满足微分方程 y“一 y=一 1【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 由 f“(x)一 f(x)=一 1 得 f(x)=C1e 一 x+C2ex+1，再由 f(0)=2，f(0)=0得 C1= ，C 2= ，所以 f(x)=chx+1【知识模块】 无穷级数
