1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列结论中正确的是（A）若数列u n单调有界，则级数 收敛（B）若级数（C）若级数 收敛，则数列u n单调有界（D）若级数 收敛，则级数部分和数列S n单调有界2 现有命题其中真命题的序号是（A）与（B） 与（C） 与（D）与3 若级数 当 x0 时发散，而当 x=0 时收敛，则常数 a=（A）1（B） -1（C） 2（D）-24 设常数 0 且级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 A 有关5 设 un= ，则级数6 设 a0 为常数，则级数（A）发散（B）条
2、件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 a 有关7 设常数 a 2，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 a 有关二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 已知级数 收敛，并求此级数的和9 判定下列级数的敛散性：10 判定下列正项级数的敛散性：11 判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：12 求下列幂级数的收敛域：13 求 及 arctanx 的麦克劳林级数14 求下列幂级数的和函数：15 判别下列正项级数的敛散性：16 判别下列正项级数的敛散性：17 判别下列正项级数的敛散性：() ，其中xn是单调递增而且有界的正数数列18 考察级数 ，
3、p 为常数()证明：(n=2，3，4，) ；()证明：级数 当 p2 时收敛，当 p2时发散19 判别下列正项级数的敛散性：20 讨论级数21 判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)22 判别级数 的敛散性23 判断如下命题是否正确：设无穷小 unv n(n)，若级数 也收敛证明你的判断24 求下列幂级数的收敛域：25 求下列幂级数的收敛域及其和函数：26 将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间：(I) ln(1+x+x 2)； ()27 将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：() ，在 x=1 处； ()ln(2x2+x-3)，在 x=3 处28 将 f(x)= 展开为 x
4、的幂级数，并求 f(n)(0)，其中 n=1，2，3，29 将下列函数展开成 x 的幂级数：30 将函数 f(x)= 展开成 x 的幂级数，并求其收敛域考研数学三（无穷级数）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由级数收敛的概念知级数 收敛就是其部分和数列S n收敛数列u n单调有界只说明 存在；由 Sn单调有界必存在极限即可判定级数 收敛，故选(B)而由级数 收敛，虽然可以确定数列S n和un收敛，但S n和u n未必是单调的 .【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 B【试题解析】 设 un=(-1)n-1
5、 (n=1，2，3，) ，于是发散可见命题不正确或把 去掉括号后所得的级数由级数的基本性质 5：收敛级数加括号之后所得级数仍收敛，且收敛于原级数的和；但若加括号所得新级数发散时，则原级数必发散；而当加括号后所得新级数收敛时，则原级数的敛散性不能确定，即原级数未必收敛故命题不是真命题设的部分和Tn=Sn+1000-S1000，(n=1，2，)，从而 收敛设，由极限的保号性质可知，存在自然数 N，使得当 nN 时成立，这表明当 nN 时 un 同号且后项与前项的比值大于 1无妨设uN+1 0，于是有 0u N+1u N+2u n(nN)，从而有负项，可类似证明同样结论成立可见命题与都是真命题设 u
6、n=1，v n=-1 (n=1，2，3)，于是都发散可见命题不是真命题故应选(B)【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 B【试题解析】 本题是一个具体的幂级数，可直接求出该级数的收敛域，再根据题设条件确定 a 的取值由 知收敛半径为 1，从而收敛区间为x-a 1，即 a-1xa+1又当 x-a=1 即 x=a+1 时，原级数变为，收敛；当 x-a=-1 即 x=a-1 时，原级数变为 ，发散因此，原级数的收敛域为 a-1xa+1于是，由题设 x=0 时级数收敛，x0 时级数发散可知，x=0 是收敛区间的一个端点，且位于收敛域内因此只有a+1=0，从而 a=-1故选 (B).【知识模块】 无穷
7、级数4 【正确答案】 C【试题解析】 利用不等式 2aba 2+b2 可得均收敛，所以原级数绝对收敛，即(C)正确故选(C)【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 C【试题解析】 是交错级数，满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的而发散这就说明(C) 正确【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 用分解法分解级数的一般项条件收敛选(B)【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 由于 设常数 p满足 1-p-1，则有 由正项级数比较判别法的极限形式知级数绝对收敛，即(C)正确【知识模块】 无穷级数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】
8、由级数收敛则它的任何加括号级数也收敛的性质及知，级数 收敛，其和数为 2，且 an0又由于 ，从而 设的部分和为 Sn，则 Sn=a1+an+a2n-1+a2n=(a1+an)+(a2n-1+a2n)是，注意到 S2n+1=S2n+a2n+1，因此收敛且其和为 8【试题解析】 注意到 的一个加括号级数，由题设知级数 的奇数项构成的级数 收敛，从而可以由级数的性质通过运算来判定 收敛并求出其和【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 () 当 a1 时，1+a na n，因此当0a1 时，1+a n2，因此 ，由级数收敛的必要条件可知 发散()注意到 xlnn=elnnlnx=nlnx，这样原级数
9、转化为 p 一级数【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 () 利用比值判别法因，故原级数收敛()利用比较判别法的一般形式由于 发散，故原级数发散() 利用比较判别法的极限形式由于，而级数也发散()利用比较判别法的一般形式由不等式 ln(1+x)x(x0) 可得()利用比较判别法的极限形式取 ，那么，由()注意到当 n时 ，由洛必达法则可得【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 () 由于收敛，所以此级数绝对收敛() 由于当 n 充分大时有 ，所以此级数为交错级数，且此时还有【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 () 因()由于 的收敛半径 R=+，即收敛域 D 为 (-，+) ()该
10、幂级数缺偶次方项，即 a2n=0，故不能用比值法来求其收敛半径此时，可将 x 看成数，把原幂级数当作一个数项级数来处理由于 故当 4x 21 即x 时级数绝对收敛；当 4x 21 即，x 时通项不趋于 0，级数发散，所以收敛半径 R=，发散故原幂级数的收敛域为【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 利用公式，并以 x2 代替其中的 x，则有由于 arctanx 在-1 ，1 上连续，幂级数 在-1，1上收敛，故当x=1 时上述展开式也成立即 arctanx=【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 () 令 S1(x)= ，则易知 S1(x)的收敛域为(-1，1) ，且 S(x)=xS1(x
11、)为求其和函数 S(x)首先求 S1(x)，在其收敛区间(-1 ，1)内进行逐项积分得()容易求得幂级数 的收敛域为-1，1)为求其和函数首先在收敛区间(-1，1)内进行逐项求导，得 又因为S(0)=0，因此 S(x)=S(x)-S(0)= =-ln(1-x) (-1x1) 注意和函数 S(x)与函数-ln(1-x)都在 -1，1)上连续，它们又在(-1，1)内恒等，于是由连续性可知 S(x)=-ln(1-x)也在 x=-1 处成立，即 S(x)=-ln(1-x) (-1x1)【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 利用比值判别法()由于，所以，当 pe 时，级数 收敛；当 pe 时，该级数
12、发散；当 p=e 时，比值判别法失效注意到数列 是单调递增趋于 e 的，所以当 p=e 时，即u n单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的从而，级数 当 pe 时收敛，pe 时发散()，因此，当 1 时，原级数收敛，当 1 时发散若 =1，则原级数为 ，因此，当 1 时收敛，1 时发散【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 () 利用比较判别法的极限形式，由于级数 发散，而且当n时所以原级数也发散() 仍利用比较判别法的极限形式先改写用泰勒公式确定 的阶由于()注意到也收敛【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 () 直接利用定义来判别其收敛性由可知 =4e-1，所以原级数收敛，且其和
13、为 4e-1()首先因为x n是单调递增的有界正数数列，所以 01- 现考察原级数的部分和数列Sn，由于 又x n有界，即x nM(M0 为常数)，故所以S n也是有界的由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 () 将()容易验证比值判别法对级数 失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题()已给出了a n上下界的估计，由当 p2 时收敛，当 p2 时发散【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 () 当 p0 时，有 (ln3)-p1(n3)成立，即级数的一般项不是无穷小量，故级数发散当 p0 时，令发散，故级数发散综合即知：无论常数 p
14、 取何值，题设的级数总是发散的()因(lnn)lnn=elnn.ln(lnn)=nln(lnn)n 2 收敛，故级数收敛()当 p1 时，由于 n3 时有 收敛，故级数收敛当 p1 时，因发散，故级数发散【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 当 x0，1 时，x(1-x)sin 2nx0，从而 un0故 为正项级数又 sin2nxx2n(x0，1)，所以【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 () 由于 发散，所以原级数不是绝对收敛的原级数是交错级数，易知的单调性，令 f(x)=可知当 x 充分大时 g(x)单调增加，从而 f(x)单调增加故当 n 充分大时单调减少这说明级数 满足莱布尼
15、茨判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的()由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的由于 sinx 在第一象限是单调递增函数，而满足莱布尼茨判别法的两个条件，从而它是收敛的结合前面的讨论，知其为条件收敛【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 注意级数的一般项满足【试题解析】 设 对于交错级数首先要讨论它是否绝对收敛，为此采取比较判别法的极限形式，由于 un 满足可见级数不绝对收敛又因级数的一般项的绝对值 不是单调减少的，从而不能用莱布尼茨判别法来判别这个级数的条件收敛性，必须用其他方法来讨论它是否条件收敛以下介绍两种方法【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 对于正项级数，比较判别
16、法的极限形式就是：若【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 () 有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式即(51)式计算收敛半径，首先计算所以 R=1再考察幂级数在两个端点 x=l 处的敛散性当 x=1 时，级数从而 满足莱布尼茨判别法的两个条件，故该级数收敛这样即得 的收敛域为-1，1)( ) 由于，所以其收敛半径为 2又由于本题是关于 x+1 的幂级数，所以收敛区间的两个端点为 x=-3 与 x=1当 x=-3时，原级数为是一个交错级数，而且容易看出它满足莱布尼茨判别法的两个条件，所以是收敛的这表明幂级数 的收敛域为(-3，1()有相同的收敛半径 R=3因而其收敛区间为(-2，4)()考
17、瘵 ，由题设 t=-3时它收敛知收敛半径 R3，又 t=3 时其发散知 R3因此 R=3，由此可知的收敛域是-3，3) ，故原级数的收敛域是0，6)【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 () 由于均发散，所以其收敛域为(-1，1) 为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数设当 x=0 时，上面的运算不能进行，然而从原级数可直接得出 S(0)=a0=1综合得幂级数 容易看出这就说明 S(x)在 x=0 处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质()利用同样的方法容易求得级数的收敛域为(-1，1)【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 ()
18、由于 ln(1+x+x2)= =ln(1-x3)-ln(1-x)，利用公式(511)，并分别以(-x 3)与(-x)代替其中的 x，就有()由于 ，利用公式(5 13) ，并以 x2 代替其中的 x，就有注意函数 在点 x=-1处也收敛，从而上式在端点 x=-1 处也成立，即【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 ()()由于 ln(2x2+x-3)=ln(2x+3)(x-1)=ln(2x+3)+ln(x-1)，对于右端两项应用公式(511)，得【试题解析】 使用间接法在指定点 x0 处作泰勒展开，就要用 x-x0，或者 x-x0 的倍数与方幂等代替原来的 x【知识模块】 无穷级数28 【正
19、确答案】 于是 xn的系数 ，由此可知当 n2 时有此外还有 f(0)=0【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 () 由于()被积函数的幂级数展开式为 逐项积分即得【试题解析】 在后两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分其实在第()小题中由于分母含有(1-x) 2，也要借助于求导像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便而且某些题目也必须先展开，第()小题就是如此【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 f(x)=arctanx，f(x)= ，将 f(x)展开，有从而当x1 时有 f(x)=当 x=1 时，右边级数收敛，又 f(x)连续，所以收敛域为-1x1【知识模块】 无穷级数
