1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的密度函数，f 2(x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知 F(0)=，则 ( )2 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，密度函数为 其中 A 为常数，则 = ( )3 设随机变量 x 的密度函数为 (0)，则概率 PX +a(a 0)的值 ( )（A）与 a 无关，随 增大而增大（B）与 a 无关，随 增大而减小（C）与 无关，随 a
2、 增大而增大（D）与 无关，随 a 增大而减小4 随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记p1=PX 4，p 2=P(Y+5)，则 ( )（A）对任意实数 ，都有 p1=p2（B）对任意实数 ，都有 p1p 2（C）只对 的个别值，才有 p1=p2（D）对任意实数 ，都有 p1p 25 设 X 的概率密度为 ，则 Y=2X 的概率密度为 ( )二、填空题6 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为则常数 k=_7 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的密度函数为 Fy(y)=_8 设二维随机变量(X，Y)在区
3、域 D=(x，y)1xe 2，0y 上服从均匀分布，则(X ， Y)的关于 X 的边缘概率密度 Fx(x)在点 x=e 处的值为_9 设二维随机变量(X，Y)在 G=(x，y) x0，0y2x+1上服从均匀分布，则条件概率 =_10 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 则对x0，f YX (yx)=_11 设二维随机变量的分布律为 则随机变量Z=y.minX，Y的分布律为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求随机变量 Z=XY 的概率密度 fZ(z)13 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求二维随机变量(X 2，
4、Y 2)的概率密度14 设二次方程 x2Xx+Y=0 的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X 与 Y 的概率密度15 设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为 2n， p 的二项分布16 设 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 P(=i)=，i=1 ，2， 3，又设 X=max，Y=min，试写出二维随机变量(X， Y)的分布律及边缘分布律，并求 P=17 设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=X Y 的概率密度及18 设(X，Y)的概率密度为 问 X，Y 是
5、否独立?19 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求Z=X2+Y2 的概率密度 FZ(z)20 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且 Xi 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 求 PX 1=minX 1，X 2，X n21 设 X 关于 y 的条件概率密度为22 设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2+y21上的均匀分布，试求给定 Y=y 的条件下X 的条件概率密度函数 fX，Y (xy) 23 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求 Z=X+2Y的分布函数 FZ(z)24 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止，试求试验次数的数学期望25 有 20 位
6、旅客乘民航的送客车自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车的次数，求 EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)26 市场上有两种股票，股票 A 的价格为 60 元股，每股年收益为 R1 元，其均值为 7，方差为 50股票 B 的价格为 40 元股，每股年收益为 R2 元，其均值为32，方差为 25，设 R1 和 R2 互相独立某投资者有 10 000 元，拟购买 s1 股股票A，s 2 股股票 B，剩下的 s3 元存银行，设银行 1 年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800 元
7、，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s 1，s 2，s 3)，并计算该策略的收益的标准差27 设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k=(1P)k1 p，0p1，k=1，2， 求 EX 与 DX考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)dx=a f1(x)dx+b f2(x)dx=a+b=1，知四个选项均满足这个条件，所以，再通过 F(0)= 确定正确选项由于 F(0)= 0f(x)dx=a 0f1(x)dx+b 0f2(x)dx= +0=a(0)=【知识模块】
8、概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由 01Ax(1x)dx= =1 可得 A=6所以【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由密度函数的性质， Aex dx=Ae =1 可得 A=e于是 PX+a= +aeex dx=1e a ， 与 无关，随 a 增大而增大【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 用 代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有由于 (1)=1 (1)，所以p1=p2【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 F Y(y)=PYy=P2Xy= 所以，故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、
9、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)= ，所以，k=【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 f X(x)=当 Y=X2在(0， 4)内时 fY(y)=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 D 如图 3-3 阴影部分所示，它的面积 S= =2，所以(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=从而 fX(e)= f(e，y)dy=【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 1【试题解析】 G 如图 3-4 的OAB，它的面积 S= ，所以(X，Y) 的概率密度为f(x，y)= 由于关于 Y 的边缘概率密度其中 D 如图 3-4 带阴影的三
10、角形【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x，y)的表达式知 X 与 Y 相互独立，且关于 X 与关于 Y 的边缘概率密度分别为 由此可知，当x0 时，由 fX(x)0 知 fYX (yx)=f Y(y)=【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 Z 全部可能取值为 0，1，2，3，且 PZ=0 =PY.minX，Y=0 =PminX，Y=0 =P X=0= PZ=1=PY.min X，Y=1 =PY=1，min X，Y=1=PX=1，Y=1= PZ=2 =PY.minX，Y =2 =PY=2，minX，Y=1=PX=1 ，Y=2= PZ
11、=3 =PY.minX，Y =3=PY=3 ，minX，Y=1=P X=1，Y=3= 所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由于 X，Y 不是相互独立的，所以记 V=Y 时，(X，V) 的概率密度不易计算应先计算 Z 的分布函数，再计算概率密度 fZ(z)记 Z 的分布函数为 FZ(z)，则 FZ(z)=PZz=PXYz= f(x，y)dxdy，其中Dz=(x ，y) xyz(直线 xy=z 的上方部分)，由 Dz 与D=(x，y) 0x1，0yx(如图 3-10 的带阴影的OSC)相对位置可得：当z0 时，D
12、z 与 D 不相交，所以 f(x，y)dxdy=0；当 0z1 时，D zD=四边形OABC，当 z1 时，D zD=OSC， =1由此得到【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 由 f(x，y)的表达式知，X 与 Y 相互独立，且它们的概率密度都为记 U=g(x)=x2，它在 f(x)0 的区间(0，1)内单调可导，且反函数为 x=h(u)= (0u 1)，所以 U=X2 的概率密度同样地，V=Y 2 的概率密度为 (v)= 由 X 与 Y 相互独立知 X2 与 Y2 相互独立，从而(X 2，Y 2)的概率密度为 f1(u，v)=(u).(v)=【知识模块】 概率论与数理统计14
13、【正确答案】 设二次方程的两个根为 X1，X 2，则它们的概率密度都为 f(t)=记 X 的概率密度为 fX(x)，则由 X=X1+X2 得 fX(x)= f(t)f(xt)dt，其中 f(t)f(xt)= 即 f(t)f(xt) 仅在如图 3-11 的带阴影的平行四边形中取值为 ，在 tOx 平面的其余部分取值为零因此，当 x0 或x4 时，f X(x)=0；当 0x2 时，f X(x)= 当 2x4 时，f X(x)=即 记Y 的概率密度为 fY(y)，则由 Y=X1X2 得 fY(y)= dt，其中仅在图如 3-12 的带阴影的三角形中取值为 ，在 tOy 平面的其余部分取值都为零因此，
14、当 y0 或 y4 时，fY(y)=0；当 0y4 时，【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 故 Z=X+Y服从参数为 2n，p 的二项分布【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 X 的可能值为 1，2，3，Y 的可能值为1，2，3P X=1，Y=1 =Pmax ， =l ，min，=1=P=1，=1= 以此类推可求出(X，Y) 的分布律及边缘分布列如下：P=【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 U=XY 的密度为 fU(u)= fX(u+y)fY(y)dy=01fX(u+y)dy当u1 或 u1 时，f U(u)=0；当1u0 时，f U(u)=01fX(u
15、+y)dy=u 1dy=1+u；当0u1 时，f U(u)=01fX(u+y)dy=01u 1dy=1u，即 所以，Z=XY=U的密度为 fZ(z)=fU(z)+fU(z)= 从而【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 边缘密度为 fX(x)= f(x，y)dy=fY(y)= 因为 f(x，y)=f X(x).fY(y)，所以 X，Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设 Z 的分布函数为 FZ(y)(z)，则故 fZ(z)=FZ(z)=【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 利用连续型的全概率公式【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 (X，
16、Y) 的概率密度为如图 3-13 所示，则【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 因为(X，Y)服从 G=(x，y)x 2+y21)上的均匀分布，所以f(x，y)= 故 fY(y)= f(x，y)dx=所以，当1y1 时，有【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 如图 3-14 所示，F Z(z)=PZz =PX+2Yz= f(x，y)dxdy【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设 X 表示“所需试验次数” ，则 X 的可能取值为 2，3，于是【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 引入随机变量 Xi= i：1，2，10则X=X1+X2+X10，由
17、PX i=0= ，i=1，2，10 知EXi=1 ，i=1，2， ，10进而 EX= =8784(次)【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设投资策略为(s 1，s 2，s 3)，则该投资策略的收益为 S= ，平均收益及方差为：ES=s 17+s232+(10 00060s 140s 2)5，DS=50s 12+25s22，问题为求 DS=50s12+25s22 的最小值约束条件为：ES=s 17+s232+(10 00060s 140s 2)5800用拉格朗日乘数法求解该问题，令L=50s12+25s22+(800s 17s 23210 00060s 140s 2)5，其中 是待定系数，最优解应满足的一阶条件为：解此方程组得：s 1=6356股，s 2=3814 股，s 3=4 6608 元该投资策略的方差和标准差分别为：DS=506356 2+253814 2238 360，= =48822【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 EX=其中 q=1P 由于又 E(X2)=所以 DX=E(X2)(EX)2=【知识模块】 概率论与数理统计
