1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A，B 满足 AB= ，则下列结论中一定正确的是 ( )（A） 互不相容（B） 相容（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(AB)=P(A)2 设随机变量 X 的密度函数为 (0)，则概率PX+a(a0) 的值 ( )（A）与 a 无关，随 增大而增大（B）与 a 无关，随 增大而减小（C）与 无关，随 a 增大而增大（D）与 无关，随 a 增大而减小3 现有 10 张奖券，其中 8 张为 2 元的，2 张为 5 元的，今从中任取 3 张，则奖金的数学期望为 ( )
2、（A）6（B） 78（C） 9（D）1124 设 X1，X 2，X n 是总体 N(， 2)的样本，则服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量是5 设 X1，X 2，X 8 和 Y1，Y 2，Y 10 分别是来自正态总体 N(-1，4)和 N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S 12，S 22 分别为这两个样本的方差，则服从 F(7，9)分布的统计量是 ( )二、填空题6 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则事件“ 两数之和小于 65” 的概率为_7 设随机变量 X 服从泊松分布，且 PX1=4PX=2)，则 PX=3= _ 8 一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调
3、整的概率分别为010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，则 X 的方差 DX 为_9 若 X1，X 2，X 3 两两不相关，且 DXi=1(i=1，2，3)，则 D(X1+X2+X3)=_ 10 设随机变量 X 的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得 P|X一 75|k)005，则 k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设(X，Y)的概率密度为 问 X，Y 是否独立?12 设随机变量(X，Y) 的概率密度为求 Z=Z2+Y2 的概率密度 fz(y)13 设随机变量 X1，X 2，X i 相互独立，且 Xi 服
4、从参数为 i 的指数分布，其密度为 求 PX1=minX1，X 2，X n14 设 X 关于 Y 的条件概率密度为求15 设(X，Y)服从 G=(x，y)|x 2+y21上的均匀分布，试求给定 Y=y 的条件下 X 的条件概率密度函数 fX|Y(x|y)16 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 求Z=X+2Y 的分布函数 Fz(z)17 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功两次为止，试求试验次数的数学期望18 有 20 位旅客乘民航的送客车自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车的次数，求 EX(设每位旅客在各个车站下
5、车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)19 市场上有两种股票，股票 A 的价格为 60 元股，每股年收益为 R，元，其均值为 7，方差为 50，股票 B 的价格为 40 元股，每股年收益为 R2 元，其均值为32，方差为 25，设 R1 和 R2 互相独立，某投资者有 10 000 元，拟购买 s1 股股票A，s 2 股股票 B，剩下的 s3 元存银行，设银行 1 年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800 元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s 1，s 2，s 3)，并计算该策略的收益的标准差20 设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k)=(
6、1-p)k-1p，0p1，k=1，2，求 EX 与 DX20 设随机变量 X 的概率密度为21 a，b，c 的值；22 随机变量 Y=ex 的数学期望和方差23 设(X，Y)的概率密度为24 在长为 L 的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差25 设 X，y 是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，求 E|XY|与 D|XY|25 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，均服从正态分布 N(， 2)，求：26 maxX，Y)的数学期望；27 minX，Y) 的数学期望27 设连续型随机变量 X 的所有可能值在区间a，b之内，证明：28 aEXb；29 DX考研数学三（概率统计）模拟试卷 14
7、 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 但是，P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)，故选择(D)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 由密度函数的性质 与 无关，随 a 增大而增大【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 记奖金为 X，则 X 全部可能取的值为 6，9，12，并且【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 故选(B)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】
8、【试题解析】 设 A=“两数之和小于 65”，两数分别为 x，y，由几何概率如图32【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 PX1=PX=0+PX=1=e -+e-，PX=2= 由 PX1=4PX=2)知 e-+e-=22e-，即 22 一 A 一 1=0，解得 =1，故 PX=3)=【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 0.46【试题解析】 X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且 PX=0=(1010)(1 020)(1030)=0504， PX=1=(1010)(1 020)030+(1010)(1030)020+ (1020)(1030)010=0398
9、， PX=2=(1010) 020 030+(1020) 010 030+(10 30)010 020 =0 092， PX=3=010 0200 30=0 006 所以 EX=00504+10398+20092+3 0006=06， E(X 2)=02 0504+100 398+2 2 0092+3 2 0006=082 DX=E(X 2)-(EX)2=082=(0 6) 2=046【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 3【试题解析】 因为 X1，X 2，X 3 两两不相关，所以 Cov(Xi，X j)=0(ij)，于是 D(X1+X2+X3)=D(X1+X2)+X3 =D(X1+
10、X2)+DX3+2Cov(X1+X2，X 3) =D(X1)+D(X2)+D(X3)+2Cov(X1，X 2)+2Cov(X1，X 3)+2Cov(X2，X 3) =D(X1)+D(X2)+D(X3)=3【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 10【试题解析】 P|X 一 75|k)=P|XEX|k) =005，即 k=10【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 边缘密度为因为 f(x，y)=fX(x).fY(y)，所以 X，Y 独立【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 设 Z 的分布函数为 fZ(z)，则【知识
11、模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 PX 1=minX1，X 2，X=PX 1minX2，X 3，X n，记Y=minX2，X 3，X n，则有(X1，Y) 的概率密度为 f(x，y)=f1(x)fY(y) =0+ 1e-1xdxx+ (2+3+ n)e-(2+3+ n)ydy【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 (X，Y) 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 因为(X，Y)服从 G=(x，y)|x 2+y21)上的均匀分布，所以【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 见图 314，【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设 X
12、 表示所需试验次数，则 X 的可能取值为 2，3，于是【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 引入随机变量i=1，2，10则 X=X1+X2+X10，由【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 设投资策略为(s 1，s 2，s 3)，则该投资策略的收益为 平均收益及方差为： ES=s 17+s232+(10 00060s1 一 40s2)5， DS=50s12+25s22，问题为求 DS=50s12+25s22 的最小值 约束条件为：ES=s17+s232+(10 000 60s140s2)5800 用拉格朗日乘数法求解该问题，令 L=50s 12+25s22+(800 一
13、s17 一 s232 一(10 00060s 140s2)5)，其中 是待定系数，最优解应满足的一阶条件为：解此方程组得：s1=6356 元，s 2=3814 元，s 3=4 6608 元该投资策略的方差和标准差分别为：DS=506356 2+25 38 142238 360，= =48822【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 1= -+f(x)dx=02axdx+24(cx+b)dx【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率
14、论与数理统计24 【正确答案】 以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X，Y，则它们均在0，L上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设 Z=X-Y，则 ZN(0，1)故【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 则 U 和 V 独立同服从正态分布 N(0，1)，【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 因为 aXb，所以 EaEXEb，即 aEXb【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 因为对于任意的常数 C 有 DXE(XC) 2，【知识模块】 概率论与数理统计
