1、考研数学三（概率统计）-试卷 14 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X) 2B.E(XC) 2 E(X 一 ) 2C.E(X 一 C) 2 =E(X 2 )一 C 2D.E(XC) 2 E(X) 2 3.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(
2、X+y)=D(X)+D(Y)C.X，Y 独立D.X，Y 不独立4.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关C.X，Y 独立D.X，Y 不独立5.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)一 E(X)E(y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关6.若 E(XY)一 E(X)E(y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y)
3、D.D(X+Y)=D(X)+D(Y)7.设随机变量 XNU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X 一 Y|= 1，D|X 一 Y|= 2（分数：2.00）填空项 1:_9.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =一 03，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X 一 E(X)|2) 1（分数：2.00）填空项 1:_
4、11.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 P| （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_14.设随机变量 X 服从参数为 （分数：2.00）_设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x)= 设 A=Xa)与 B=Ya)相互独立，且 P(A+B)=
5、 （分数：4.00）a；_(2). （分数：2.00）_15.某流水线上产品不合格的概率为 p= （分数：2.00）_16.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_17.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_18.设 Xf(x)= 对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 （分数：2.00）_19.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10 件中长度在 1622
6、之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差（分数：2.00）_20.一民航班车上有 20 名旅客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_设某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记 X i = （分数：4.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布；（分数：2.00）_(2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：2.00）_21.在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差（分数：2
7、.00）_22.设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2 )，yN(0， 2 )，令 Z= （分数：2.00）_设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX 一 bY，其中 a，b 为不相等的常数求：（分数：4.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ；（分数：2.00）_(2).设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：2.00）_23.设 XU(一 1，1)，Y=X 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 14 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、
8、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =E(X) 2B.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 C.E(X 一 C) 2 =E(X 2 )一 C 2D.E(XC) 2 E(X) 2 解析：解析：E(X 一 C) 2 一 E(X) 2 =E(X 2 )一 2CE(X)+C 2 一E(X 2 )一 2E(X)+ 2 =C 2 +2E(X)E(X)一 C一E(X) 2 =CE(X) 2 0，选(B)3
9、.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+y)=D(X)+D(Y) C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=0，又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)4.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关 C.X，Y 独立D.X，Y 不
10、独立解析：解析：D(aX+bY)=a 2 D(X)+b 2 D(Y)+2abCov(X，Y)， D(aX 一 bY)=a 2 D(X)+b 2 D(Y)一2abCov(X，Y)， 因为 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，所以 Cov(X，Y)=0，即 X，Y 不相关，选(B)5.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)一 E(X)E(y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关 解析：解析：因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是X，Y 不相关，选(
11、D)6.若 E(XY)一 E(X)E(y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y) 解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E(Y)，所以 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正确答案为(D)7.设随机变量 XNU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立 解析：解析：由 XNU
12、0，2得 f X (x)= E(X)=1，E(y)=E(X 2 )= 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|X 一 Y|= 1，D|X 一 Y|= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 一 ）解析：解析：令 Z=X 一 Y，则 ZN(0，2)，f Z (z)= (一z+) EX 一 Y|=E|Z|= 一 + |Z|f Z (z)dz= 因为 E|Z| 2 =E(Z 2 )=D(Z)+E(Z) 2 =2， 所以 D|Z|=E|Z| 2 一(E|Z|) 2 =2 一 9.设 D(X)=1，D(Y)=9， XY =一 0
13、3，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 09）解析：解析：Cov(X，Y)=10.设随机变量 X 方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X 一 E(X)|2) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.若随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，则根据切比雪夫不等式得 P| （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布于 N(，2 2 )，所以 从而 三、解答题(总题数：15，分数：34.00)
14、12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =(第 i 个部件需要调整)(i=1，2，3)，X 的可能取值为 0，1，2，3， P(X=0)= =090807=0504， P(X=1)= =0398， P(X=3)=P(A 1 A 2 A 3 )=0006， P(X=2)=1 一 0504 一 0398 一 0006 一 0092， 所以 X 的分布律为
15、 X )解析：14.设随机变量 X 服从参数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 YB(4，p)，其中 p=P(X3)=1 一 P(X3)， 因为 X ，所以 F X (x)= )解析：设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x)= 设 A=Xa)与 B=Ya)相互独立，且 P(A+B)= （分数：4.00）a；_正确答案：(正确答案：因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p， 于是 2p 一 p 2 = 解得 P= ，即 P(A)=P(Xa)= ， 而 P(Xa)= a 2 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
16、 )解析：15.某流水线上产品不合格的概率为 p= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p) k 一 1 p(k=1，2，) )解析：16.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设试验的次数为 X，则 X 的分布律为 )解析：17.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X0，60，所以 X 的密度函数为 f(x)= 游客等电
17、梯时间设为 T，则 E(T)= 一 + T(x)f(x)dx = )解析：18.设 Xf(x)= 对 X 进行独立重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：YB(4，p)，其中 p= )解析：19.设某种零件的长度 LN(18，4)，从一大批这种零件中随机取出 10 件，求这 10 件中长度在 1622 之间的零件数 X 的概率分布、数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 XB(10，p)，其中 p=P(16L22)因为 LN(18，4)，所以 N(0，1)， 所以 p=P(16L22)= )解析：20.一民航班车上有 20 名旅
18、客，自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X 表示停车次数，求 E(X)(设每位旅客下车是等可能的)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X i = (i=1，2，10)，显然 X=X 1 +X 2 +X 10 因为任一旅客在第 i 个站不下车的概率为 09，所以 20 位旅客都不在第 i 个站下车的概率为 0920，从而第 i 个站有人下车的概率为 1 一 09 20 ，即 X i 的分布律为 X i (i=1，2，10) 于是 E(X i )=1 一 09 20 (i=1，2，10)，从而有 E(X)= )解析：设某箱装有 100 件产品
19、，其中一、二、三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，现从中随机抽取一件，记 X i = （分数：4.00）(1).求(X 1 ，X 2 )的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X 1 ，X 2 )的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(X i =0，X 2 =0)=P(X 3 =1)=01， P(X i =0，X 2 =1)=P(X 2 =1)=01， P(X 1 =1，X 2 =0)=P(X 1 =1)=08， P(X 1 =1，X 2 =1)=0 (X 1 ，X 2 )的联合分布律为 )解析：(2).求 X 1 ，X 2 的相关系数（分数：
20、2.00）_正确答案：(正确答案：X 1 ，X 2 ，X 1 X 2 E(X 1 )=E(X 1 2 )=08，E(X 2 )=E(X 2 2 )=01，E(X 1 X 2 )=0， 则 D(X 1 )=016，D(X 2 )=009Cov(X 1 X 2 )=一 008，于是 )解析：21.在长为 L 的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线段在数轴上的区间为0，L，设 X，y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 U=|X 一 Y|，X，Y 的边缘密度为 因为 X，Y 独立，所以(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= 于是 E(U)
21、=E|X 一 Y|= 一 + dx 一 + |x 一 y|f(x，y)dy E(U 2 )=E|X 一 Y| 2 = 一 + dx 一 + |x 一 y| 2 f(x，y)dy= 则 D(U)=E(U 2 )一E(U) 2 = )解析：22.设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2 )，yN(0， 2 )，令 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 与 y 相互独立，且 X，N(0， 2 )，yN(0， 2 )， 所以(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= )解析：设随机变量 X，Y 独立同分布，且 XN(0， 2 )，再设 U=aX+bY，V=aX 一 bY，其中
22、a，b 为不相等的常数求：（分数：4.00）(1).E(U)，E(V)，D(U)，D(V)， UV ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(U)=E(aX+bY)=0，E(V)=E(aX 一 bY)=0， D(U)=D(V)=(a 2 +b 2 ) 2 Cov(U，V)=Cov(aX+bY，aX 一 bY)=a 2 D(X)一 b 2 D(Y)=(a 2 b 2 ) 2 )解析：(2).设 U，V 不相关，求常数 a，b 之间的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：U，V 不相关 )解析：23.设 XU(一 1，1)，Y=X 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，E(X)=0，E(XY)=E(X 3 )= =0 因此Cov(X，Y)=0，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法 )解析：
