1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A) n，r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n（C） AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)（D）AB 的充分必要条件是 EAE 一 B2 设 A 为 N 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为( )（A）（B）（C） A（D）A n13 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是(
2、 ) （A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值一 1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量4 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1， 2，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1+3（B） 33 一 1（C） 1+22+33（D）2 1 一 32 二、填空题5 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，1，则 4A*+3E=_6 设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0，则(A *)2+3A*+2E 有特征值_7 设 A 为三阶矩阵，A 的各行
3、元素之和为 4，则 A 有特征值_，对应的特征向量为_8 设 A 为三阶实对称矩阵，且 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求矩阵 A= 的特征值与特征向量10 设 A= 为 A 的特征向量(I)求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量 ()A 可否对角化 ?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P1AP 为对危矩阵11 设 A= ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化12 设 A= ，B A *，求 B+2E 的特征值13 设 ATA=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 114 设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T
4、与 A 特征值相等； (2)求 A2，A 2+2A+3E 的特征值； (3)若A0 ，求 A1，A *，E 一 A1 的特征值15 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1+X2 不是A 的特征向量16 ，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化17 设向量 =(a1，a 2，a n)T，其中 a10，A= T (1)求方程组 AX=0 的通解； (2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量18 设 = ，A= T，求6EA n19 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，求 An
5、20 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由21 设 A，B 为 n 阶矩阵(1)是否有 ABBA；(2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA 22 设 为 n 维非零列向量，A=E 一 (1)证明：A 可逆并求 A1； (2)证明： 为矩阵 A 的特征向量23 设矩阵 A= 有一个特征值为 3(1)求 y；(2)求可逆矩阵 P，使得(AP)T(AP)为对角矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每
6、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B， 于是 P1 (EA)P=EP1AP=E 一 B，即 E 一 AE 一 B； 反之，若 E 一 AE 一 B，即存在可逆矩阵 P，使得 P1 (E 一 A)P=E 一 B， 整理得 E 一 P1AP=EB，即 P1AP=B，即 AB，应选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A*AX=A*X，从而有 A1X= 。选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=一 1， 2=0，
7、 3=1 得A=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C) 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵 A 的特征值，1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若1+3 为属
8、于特征值 0 的特征向量，则有 A(1+3)=0(1+3)，注意到 A( 1+3)=0123=一 23，故一 23=0(1+3)或 01+(0+2)3=0， 因为 1， 3 线性无关，所以有 0=0， 0+2=0，矛盾，故 1+3 不是特征向量，同理可证 331 及1+22+33 也不是特征向量，显然 21 一 32 为特征值 0 对应的特征向量，选 D【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 10【试题解析】 A= ，4A *+3E 的特征值为5，1，2，于是4A *+3E=10【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 可逆，所以 00，A *对应的特征值为 ，
9、于是(A *)2+3A*+2E 对应的特征值为 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 的各行元素之和为 4，所以【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+36a=0，a=3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 由E A=(1) 2(4)=0 得 1=2=1， 3=4当 =1 时，由(E一 A)X=得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 ，全部特征向量为 k11+k22(k1，k 2 不同时为 0)；当 =4 时，由(4E 一 A)X=0 得
10、属于特征值 =4 的线性无关的特征向量为 3= 全部特征向量为 k3(k0)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由E 一 A= =( 一 2)3=0 得 =2(三重)，因为 r(2EA)=1，所以 =2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 即 1=1， 2=3=7 因为 BA *，所以 B 的特征值也为 =1， 2=3=7，从而 B+2E的特征值为 3，9，9【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设 AX=E，则 XTAT=XT，从而有 XTATAX=XTAX=2XTX，因为 ATA=E，
11、所以( 2 一 1)XTX=0，而 XTX=X 20，所以 2=1，于是=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)因为EA T=(EA) T= TEA，所以 AT 与 A 的特征值相等 (2)因为 A=0(a0)， 所以 A2=0A=02，(A 2+2A+3E)=(02+20+3)， 于是 A2，A 2+2A+3E 的特征值分别为 02， 02+20+3 (3)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有A(X1+X2)=(X1+X2)， 因为 AX1=1X1，AX 2=2X2，所以( 1)X1+(2 一 )X2=0，
12、而 X1，X 2 线性无关，于是 1=2=，矛盾，故 X1+X2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 令 T=k，则 A2=kA， 设 AX=X，则 A2X=2X=kX，即 a(ak)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1+ n=tr(A)且 tr(A)=k得 1= n1=0， n=k 因为 r(A)=1，所以方程组(OEA)X=0 的基础解系含有n 一 1 个线性无关的解向量， 即 =0 有 n 一 1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)因为 r(A)=1，所以 AX=0 的基础解
13、系含有 n 一 1 个线性无关的特征向量，其基础解系为则方程组 AX=0 的通解为 k11+k22+kn1n1(k1，k 2，k n1 为任意常数)(2)因为 A2=kA，其中 k=(，)= 0，所以 A 的非零特征值为 k，因为A=T=k，所以非零特征值 k 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 An=(T)( T)= ，得6EA n=6 2(62n)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 AX=X 得 A2X=A(AX)=A(AX)=AX=2X 可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2X=X，其
14、中 A=，显然 A2X=0X，但 AX=，即 X 不是 A 的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)一般情况下，AB 与 BA 不等价，如 因为 r(AB)r(BA)，所以 AB 与 BA 不等价 (2)因为A=n!0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有P1ABP=BA，故 ABBA【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)因为 A2=所以 A 可逆且 A1=A(2)因为 A= = 一 2=一 ，所以 是矩阵 A 的特征向量，其对应的特征值为一 1【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)因为 3 为 A 的特征值，所以 3EA=0，解得 y=2(2)(AP)T(AP)=P2A2AP=P2A2P，【知识模块】 线性代数
