ImageVerifierCode 换一换
格式:DOC , 页数:14 ,大小:280KB ,
资源ID:852560      下载积分:2000 积分
快捷下载
登录下载
邮箱/手机:
温馨提示:
如需开发票,请勿充值!快捷下载时,用户名和密码都是您填写的邮箱或者手机号,方便查询和重复下载(系统自动生成)。
如填写123,账号就是123,密码也是123。
特别说明:
请自助下载,系统不会自动发送文件的哦; 如果您已付费,想二次下载,请登录后访问:我的下载记录
支付方式: 支付宝扫码支付 微信扫码支付   
注意:如需开发票,请勿充值!
验证码:   换一换

加入VIP,免费下载
 

温馨提示:由于个人手机设置不同,如果发现不能下载,请复制以下地址【http://www.mydoc123.com/d-852560.html】到电脑端继续下载(重复下载不扣费)。

已注册用户请登录:
账号:
密码:
验证码:   换一换
  忘记密码?
三方登录: 微信登录  

下载须知

1: 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。
2: 试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓。
3: 文件的所有权益归上传用户所有。
4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
5. 本站仅提供交流平台,并不能对任何下载内容负责。
6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

版权提示 | 免责声明

本文([考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷8及答案与解析.doc)为本站会员(fatcommittee260)主动上传,麦多课文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知麦多课文库(发送邮件至master@mydoc123.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

[考研类试卷]考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷8及答案与解析.doc

1、考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续,且满足 f(x)=02x dt+ln2,则 f(x)= ( )(A)e xln2(B) e2xln2(C) ex+ln2(D)e 2x+ln22 设 f(x),f(x)为已知的连续函数,则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是 ( )(A)y=f(x)+Ce f(x)(B) y=f(x)+1+Cef(x)(C) y=f(x) C+Cef(x)(D)y=f(x)1+Ce f(x)3 方程 y(4)23y=e 3x2e x +x 的特解形式(其中

2、a,b,c ,d 为常数)是 ( )(A)axe 3x +bxex +cx3(B) ae3x +bxex +cx+d(C) ae3x +bxex +cx3+dx2(D)axe 3x +bex +cx3+dx4 已知 y1=xex+e2x 和 y2=xex+ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )(A)y2y+y=e 2x(B) yy2y=xe x(C) yy2y=e x2xe x(D)yy=e 2x5 微分方程 yy=e x+1 的一个特解应具有形式(式中 a,b 为常数) ( )(A)ae x+b(B) axex+b(C) aex+bx(D)axe x+bx二、填空题

3、6 微分方程(1x 2)yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是_7 微分方程 y= 的通解为 _8 微分方程 y2y=x 2+e2x+1 由待定系数法确定的特解形式 (不必求出系数) 是_9 特征根为 r1=0,r 2,3= i 的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_10 满足 f(x)+xf(x)=x 的函数 f(x)=_11 已知 01f(tx)dt= f(x)+1,则 f(x)=_12 微分方程 xdyydx=ydy 的通解是_13 微分方程 =0 的通解是_14 以 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程

4、或演算步骤。15 设函数 f(u)有连续的一阶导数,f(2)=1,且函数 z= 满足求 z 的表达式16 设 z=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且 z=z(x2y,z+3y)满足求 z=z(u,v)的一般表达式17 利用变换 y=f(ex)求微分方程 y(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解18 求二阶常系数线性微分方程 y+y=2x+1 的通解,其中 为常数19 (1)用 x=et 化简微分方程(2)求解20 设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 P(x,y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距,且 L 经过点( ,0) (1)试求曲线 L 的方程;(2) 求

5、 L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小21 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0,y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1,区间 0,x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2,并设 2S1S 2 恒为 1,求此曲线 y=y(x)的方程22 已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =3p 3,而市场对该商品的最大需求量为 1 万件,求需求函数23 已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数;D=D(p)= ,S=S(p)

6、=bp,其中 a0 和 b0 为常数;价格 p 是时间 t 的函数且满足方程 =kD(p)S(p)(k 为正的常数 )假设当 t=0 时价格为 1,试求 (1)需求量等于供给量时的均衡价格 pe;(2)价格函数 p(t);(3)24 求差分方程 yt+1+3yt=3t+1(2t+1)的通解25 求差分方程 yt+1ay t=2t+1 的通解26 某商品市场价格 p=p(t)随时间变化,p(0)=p 0而需求函数QA=bap(a,b0)供给函数 QB=d+cp(c,d 0),且 p 随时间变化率与超额需求(Q AQ B)成正比求价格函数 p=p(t)27 设 Yt,C t,I t 分别是 t 期

7、的国民收入、消费和投资三者之间有如下关系求 Yt考研数学三(常微分方程与差分方程)模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x),即 =2,积分得 f(x)=Ce2x,又 f(0)=ln2,故 C=ln2,从而 f(x)=e2xln2【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2(r22r3)=0,特征根为 r1=3,r 2=1,r 3=r4=0,对f1=e3

8、x ; 1=3 非特征根,y 1*=ae3x ;对 f2=2e x , 2=1 是特征根,y2*=bxex ;对 f3=x, 3=0 是二重特征根,y 3*=x2(cx+d),所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae3x +bxex +cx3+dx2【知识模块】 常微分方程与差分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解,由y1y 2=e2xe x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C1e2x+C2ex ,故特征根r1=2,r 2=1对应齐次线性方程为 yy 2y=0 再由特解 y*=xex 知非齐次项 f(x)=y*y *2y *=ex2xe x

9、, 于是所求方程为 yy2y=e x2xe x【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 B【试题解析】 根据非齐次方程 yy=e x+1 可得出对应的齐次方程 yy=0,特征根为 1=1, 2=1,非齐次部分分成两部分 f1(x)=ex,f 2(x)=1,可知 yy=e x+1 的特解可设为 axex+b【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题6 【正确答案】 y=【试题解析】 原方程化为 积分得通解 lny=lnCx x2,即 y=Cx由初值 y(1)=1 解出 C= 得特解【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 y=xln(x+ +C1x+C2,其中 C1,C 2

10、 为任意常数【试题解析】 由 y= 积分一次得 y=ln(x+ )+C1,再积分得【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x【试题解析】 特征方程为 r22r=0,特征根 r1=0,r 2=2 对 f1=x2+1, 1=0 是特征根,所以 y1*=x(Ax2+Bx+C) 对 f2=e2x, 2=2 也是特征根,故有 y2*=Dxe2x从而 y*如上【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 yy+ y=0【试题解析】 特征方程为即 r3r 2+ r=0其相应的微分方程即所答方程【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 ln

11、(1+x2)+xarctanx+C,其中 C 为任意常数【试题解析】 在原方程中以(x)代替 x 得 f(x) xf(x)=x与原方程联立消去f( x)项得 f(x)+x2f(x)=x+x2,所以 f(x)= 积分得 f(x)= ln(1+x2)+xarctanx+C ,其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 Cx+2 ,其中 C 为任意常数【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x,得 01f(tx)d(tx)= xf(x)+x令 u=tx,则上式变为 0xf(u)du= xf(x)+x两边对 x 求导得 f(x)= xf(x)+1,即 f(x)用线性方程通解公

12、式计算即得 f(x)=Cx+2,其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 =C,其中 C 为任意常数原方程化为(1 dx,是齐次型令 y=xu,则 dy=xdu+udx,方程再化为 ,积分得lnu=1nx lnC 或 xu =C代入 y=xu 即得通解 =C,其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 y=C 1x5+C2x3+C3x2+C4x+C5,C 1,C 2,C 3,C 4,C 5 为任意常数【试题解析】 令 U= ,则方程降阶为 u 的一阶方程 =0其通解为u=Cx,从而 =Cx,积分四次即得上述通解【知识模块】 常微分方

13、程与差分方程14 【正确答案】 y3=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3, r2=r3=0(二重根)特征方程为r33r 2=0,相应齐次线性方程即 y3=0【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将 z= 代入式,注意到 f 中的变元实际是一元u= ,所以最终有可能化为含有关于 f(u)的常微分方程代入式,得 f(u)(1u 2)+2f(u)=uu 3, 其中 u= 且 u0由式有 f(u)+ f(u)=u,当 u1 初值条件是 u=2时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数,由于初值条件给在 u

14、=2 处,所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间解式得通解再以f(2)=1 代入,得 C=3,从而得【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 以 z=z(u,v),u=x 2y,v=x+3y 代入式,得到 z(u,v)应该满足的微分方程,也许这个方程能用常微分方程的办法解之代入式,化为它可以看成一个常微分方程(其中视 v 为常数) ,解得 w=(v) ,其中 (v)为具有连续导数的 v 的任意函数再由 所以 z= (x)dv+(u),或写成 z=(v) +(u),其中(u)为具有连续导数的 u 的任意函数,(v) 为具有二阶连续导数的 v 的任意函数,其中 u=x2

15、y ,v=x+3y 【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 令 t=ex, y=f(t) =y=f(t).ex=tf(t),y=tf(t) x=exf(t)+tf(t).ex=tf(t)+t2f(t),代入方程得 t2f(t)+tf(t)(2t+1)tf(t)+t 2f(t)=t3,即 f(t)2f(t)+f(t)=t解得 f(t)=(C1+C2t)et+t+2,所以 y(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解为 y=(C1+C2ex)+ex+2,其中 C1,C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 对应齐次方程 y+y=0 的特征方程 r2+r

16、=0 的特征根为 r=0 或r=(1)当 0 时,y+y=0 的通解为 y=C1+C2ex 设原方程的特解形式为y*=x(Ax+B),代入原方程,比较同次幂项的系数,解得 A= ,B= ,故原方程的通解为 y=C1+C2ex +x( ),其中 C1,C 2 为任意常数(2) 当 =0 时,y=2x+1,积分两次得方程的通解为 y= +C1x+C2,其中 C1,C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 本题考查在已有提示下化简微分方程、二阶常系数线性微分方程的求解,是一道具有一定计算量的综合题(2)齐次方程 y+2y+5y=0,有 2+2+5=0,得 1,2 =12

17、i ,故 y 齐通 (t)=et (C1cos2t+C2sin2t)令 y*(t)=(at+b)et 代入得 a=2,b= 1,故 y 通 (t)=et (C1cos2t+C2sin2t)+(2t1)e t,其中 C1,C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 (1)设曲线 L 过点 P(x,y)的切线方程为 Yy=y(Xx)令X=0,则得该切线在 y 轴上的截距为 yxy 由题设知 ,则此方程可化为 ,解之得 y+ =C由 L 经过点于是 L 方程为 y+ (2)设第一象限内曲线 y= x 2 在点 P(x,y)处的切线方程为 Y( x 2)=2x(X x),即

18、Y=2xX+x 2+ 它与 x 轴及 y 轴的交点分别为,所求面积为 S(x)=【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x,y)处的切线方程为 Yy=y(x)(Xx),它与x 轴的交点为 N(x ,0)由于 y(x)0,y(0)=1,从而 y(x)0,于是又 S2=0xy(t)dt,由条件 2S1S 2=1,知 0xy(t)dt=1 两边对 x 求导得 y=0,即 yy=(y)2令 p=y,则上述方程可化为 解得 p=C1y,且 =C1y于是 y= 注意到y(0)=1,并由 式得 y(0)=1由此可得 C1=1,C 2=0,故所求曲线的方程是 y=ex

19、【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 根据弹性的定义,有 = =3p 2dp由此得 x=c,C 为待定常数由题设知 p=0 时,x=1 ,从而 C=1于是,所求的需求函数为x=【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 (1)当需求量等于供给量时,有 ,因此均衡价格为pe= (2)由条件知 因此有=kbdt在该式两边同时积分,得 p3=pe3+Ce3kbt 由条件 p(0)=1,可得 C=1p e3于是价格函数为 p(t)= (3)【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 对应齐次方程的通解为 Y=C(3) t, 由于这里 p(t)=3t(6t+3),=3

20、,b=3 , 所以可设 y*=3t(ut+v)代入原方程,解得 u=1,v=0,即 y*=t3t 故原方程通解为 yt=Y+y*=C(3) t+t3t,其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 题设方程对应的齐次差分方程 yt+1ay t=0 的特征根 =a,故其通解为 Yt=Cat,其中 C 为任意常数,下面就 a 的不同取值求原非齐次方程的特解与通解(1)当 a1,即 1 不是特征根时,令原非齐次方程的特解为 =At+B,代入原方程有 故此特解 因此原非齐次方程的通解为 y t=Cat+ ,其中 C 为任意常数 (2)当 a=1,即 1 是特征根时,令原非齐

21、次方程的特解为 =t(At+B),并把它代入原方程有 A=1,B=0故此特解为 =t2,此时对应的齐次方程的通解为 Yt=C因此,原非齐次方程的通解为 yt=t2+C,其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 由题设 =k(QAQ B),即 = k(a+c)p+k(b+d) +k(a+c)p=k(b+d),p(0)=p 0,故 p=ek(a+c)dt k(b+d)ek(a+c)dt+C=【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 由前面两个式子解出 It,代入第三式有 Yt+11+(1)Yt=特征方程为 =1+(1),设特解为 Yt*=A=A= 故 Yt 的通解为 Yt=+C1+r(1) t,其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程

copyright@ 2008-2019 麦多课文库(www.mydoc123.com)网站版权所有
备案/许可证编号:苏ICP备17064731号-1