1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，且满足 f(x)=02x dt+ln2，则 f(x)= ( )（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln22 设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是 ( )（A）y=f(x)+Ce f(x)（B） y=f(x)+1+Cef(x)（C） y=f(x) C+Cef(x)（D）y=f(x)1+Ce f(x)3 方程 y(4)23y=e 3x2e x +x 的特解形式(其中
2、a，b，c ，d 为常数)是 ( )（A）axe 3x +bxex +cx3（B） ae3x +bxex +cx+d（C） ae3x +bxex +cx3+dx2（D）axe 3x +bex +cx3+dx4 已知 y1=xex+e2x 和 y2=xex+ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）y2y+y=e 2x（B） yy2y=xe x（C） yy2y=e x2xe x（D）yy=e 2x5 微分方程 yy=e x+1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx二、填空题
3、6 微分方程(1x 2)yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是_7 微分方程 y= 的通解为 _8 微分方程 y2y=x 2+e2x+1 由待定系数法确定的特解形式 (不必求出系数) 是_9 特征根为 r1=0，r 2,3= i 的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_10 满足 f(x)+xf(x)=x 的函数 f(x)=_11 已知 01f(tx)dt= f(x)+1，则 f(x)=_12 微分方程 xdyydx=ydy 的通解是_13 微分方程 =0 的通解是_14 以 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤。15 设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 z= 满足求 z 的表达式16 设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x2y，z+3y)满足求 z=z(u，v)的一般表达式17 利用变换 y=f(ex)求微分方程 y(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解18 求二阶常系数线性微分方程 y+y=2x+1 的通解，其中 为常数19 (1)用 x=et 化简微分方程(2)求解20 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点( ，0) (1)试求曲线 L 的方程；(2) 求
5、 L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小21 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程22 已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =3p 3，而市场对该商品的最大需求量为 1 万件，求需求函数23 已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数；D=D(p)= ，S=S(p)
6、=bp，其中 a0 和 b0 为常数；价格 p 是时间 t 的函数且满足方程 =kD(p)S(p)(k 为正的常数 )假设当 t=0 时价格为 1，试求 (1)需求量等于供给量时的均衡价格 pe；(2)价格函数 p(t)；(3)24 求差分方程 yt+1+3yt=3t+1(2t+1)的通解25 求差分方程 yt+1ay t=2t+1 的通解26 某商品市场价格 p=p(t)随时间变化，p(0)=p 0而需求函数QA=bap(a，b0)供给函数 QB=d+cp(c，d 0)，且 p 随时间变化率与超额需求(Q AQ B)成正比求价格函数 p=p(t)27 设 Yt，C t，I t 分别是 t 期
7、的国民收入、消费和投资三者之间有如下关系求 Yt考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x)，即 =2，积分得 f(x)=Ce2x，又 f(0)=ln2，故 C=ln2，从而 f(x)=e2xln2【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2(r22r3)=0，特征根为 r1=3，r 2=1，r 3=r4=0，对f1=e3
8、x ； 1=3 非特征根，y 1*=ae3x ；对 f2=2e x ， 2=1 是特征根，y2*=bxex ；对 f3=x， 3=0 是二重特征根，y 3*=x2(cx+d)，所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae3x +bxex +cx3+dx2【知识模块】 常微分方程与差分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由y1y 2=e2xe x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C1e2x+C2ex ，故特征根r1=2，r 2=1对应齐次线性方程为 yy 2y=0 再由特解 y*=xex 知非齐次项 f(x)=y*y *2y *=ex2xe x
9、， 于是所求方程为 yy2y=e x2xe x【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 B【试题解析】 根据非齐次方程 yy=e x+1 可得出对应的齐次方程 yy=0，特征根为 1=1， 2=1，非齐次部分分成两部分 f1(x)=ex，f 2(x)=1，可知 yy=e x+1 的特解可设为 axex+b【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题6 【正确答案】 y=【试题解析】 原方程化为 积分得通解 lny=lnCx x2，即 y=Cx由初值 y(1)=1 解出 C= 得特解【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 y=xln(x+ +C1x+C2，其中 C1，C 2
10、 为任意常数【试题解析】 由 y= 积分一次得 y=ln(x+ )+C1，再积分得【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x【试题解析】 特征方程为 r22r=0，特征根 r1=0，r 2=2 对 f1=x2+1， 1=0 是特征根，所以 y1*=x(Ax2+Bx+C) 对 f2=e2x， 2=2 也是特征根，故有 y2*=Dxe2x从而 y*如上【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 yy+ y=0【试题解析】 特征方程为即 r3r 2+ r=0其相应的微分方程即所答方程【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 ln
11、(1+x2)+xarctanx+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 在原方程中以(x)代替 x 得 f(x) xf(x)=x与原方程联立消去f( x)项得 f(x)+x2f(x)=x+x2，所以 f(x)= 积分得 f(x)= ln(1+x2)+xarctanx+C ，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 Cx+2 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x，得 01f(tx)d(tx)= xf(x)+x令 u=tx,则上式变为 0xf(u)du= xf(x)+x两边对 x 求导得 f(x)= xf(x)+1，即 f(x)用线性方程通解公
12、式计算即得 f(x)=Cx+2，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 =C，其中 C 为任意常数原方程化为(1 dx，是齐次型令 y=xu，则 dy=xdu+udx，方程再化为 ，积分得lnu=1nx lnC 或 xu =C代入 y=xu 即得通解 =C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 y=C 1x5+C2x3+C3x2+C4x+C5，C 1，C 2，C 3，C 4，C 5 为任意常数【试题解析】 令 U= ，则方程降阶为 u 的一阶方程 =0其通解为u=Cx，从而 =Cx，积分四次即得上述通解【知识模块】 常微分方
13、程与差分方程14 【正确答案】 y3=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3， r2=r3=0(二重根)特征方程为r33r 2=0，相应齐次线性方程即 y3=0【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将 z= 代入式，注意到 f 中的变元实际是一元u= ，所以最终有可能化为含有关于 f(u)的常微分方程代入式，得 f(u)(1u 2)+2f(u)=uu 3， 其中 u= 且 u0由式有 f(u)+ f(u)=u，当 u1 初值条件是 u=2时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数，由于初值条件给在 u
14、=2 处，所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间解式得通解再以f(2)=1 代入，得 C=3，从而得【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 以 z=z(u，v)，u=x 2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应该满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之代入式，化为它可以看成一个常微分方程(其中视 v 为常数) ，解得 w=(v) ，其中 (v)为具有连续导数的 v 的任意函数再由 所以 z= (x)dv+(u)，或写成 z=(v) +(u)，其中(u)为具有连续导数的 u 的任意函数，(v) 为具有二阶连续导数的 v 的任意函数，其中 u=x2
15、y ，v=x+3y 【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 令 t=ex， y=f(t) =y=f(t).ex=tf(t)，y=tf(t) x=exf(t)+tf(t).ex=tf(t)+t2f(t)，代入方程得 t2f(t)+tf(t)(2t+1)tf(t)+t 2f(t)=t3，即 f(t)2f(t)+f(t)=t解得 f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以 y(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解为 y=(C1+C2ex)+ex+2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 对应齐次方程 y+y=0 的特征方程 r2+r
16、=0 的特征根为 r=0 或r=(1)当 0 时，y+y=0 的通解为 y=C1+C2ex 设原方程的特解形式为y*=x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得 A= ，B= ，故原方程的通解为 y=C1+C2ex +x( )，其中 C1，C 2 为任意常数(2) 当 =0 时，y=2x+1，积分两次得方程的通解为 y= +C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 本题考查在已有提示下化简微分方程、二阶常系数线性微分方程的求解，是一道具有一定计算量的综合题(2)齐次方程 y+2y+5y=0，有 2+2+5=0，得 1，2 =12
17、i ，故 y 齐通 (t)=et (C1cos2t+C2sin2t)令 y*(t)=(at+b)et 代入得 a=2，b= 1，故 y 通 (t)=et (C1cos2t+C2sin2t)+(2t1)e t，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 (1)设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)令X=0，则得该切线在 y 轴上的截距为 yxy 由题设知 ，则此方程可化为 ，解之得 y+ =C由 L 经过点于是 L 方程为 y+ (2)设第一象限内曲线 y= x 2 在点 P(x，y)处的切线方程为 Y( x 2)=2x(X x)，即
18、Y=2xX+x 2+ 它与 x 轴及 y 轴的交点分别为，所求面积为 S(x)=【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(x)(Xx)，它与x 轴的交点为 N(x ，0)由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是又 S2=0xy(t)dt，由条件 2S1S 2=1，知 0xy(t)dt=1 两边对 x 求导得 y=0，即 yy=(y)2令 p=y，则上述方程可化为 解得 p=C1y，且 =C1y于是 y= 注意到y(0)=1，并由 式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex
19、【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 根据弹性的定义，有 = =3p 2dp由此得 x=c，C 为待定常数由题设知 p=0 时，x=1 ，从而 C=1于是，所求的需求函数为x=【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 (1)当需求量等于供给量时，有 ，因此均衡价格为pe= (2)由条件知 因此有=kbdt在该式两边同时积分，得 p3=pe3+Ce3kbt 由条件 p(0)=1，可得 C=1p e3于是价格函数为 p(t)= (3)【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 对应齐次方程的通解为 Y=C(3) t， 由于这里 p(t)=3t(6t+3)，=3
20、，b=3 ， 所以可设 y*=3t(ut+v)代入原方程，解得 u=1，v=0，即 y*=t3t 故原方程通解为 yt=Y+y*=C(3) t+t3t，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 题设方程对应的齐次差分方程 yt+1ay t=0 的特征根 =a，故其通解为 Yt=Cat，其中 C 为任意常数，下面就 a 的不同取值求原非齐次方程的特解与通解(1)当 a1，即 1 不是特征根时，令原非齐次方程的特解为 =At+B，代入原方程有 故此特解 因此原非齐次方程的通解为 y t=Cat+ ，其中 C 为任意常数 (2)当 a=1，即 1 是特征根时，令原非齐
21、次方程的特解为 =t(At+B)，并把它代入原方程有 A=1，B=0故此特解为 =t2，此时对应的齐次方程的通解为 Yt=C因此，原非齐次方程的通解为 yt=t2+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 由题设 =k(QAQ B)，即 = k(a+c)p+k(b+d) +k(a+c)p=k(b+d)，p(0)=p 0，故 p=ek(a+c)dt k(b+d)ek(a+c)dt+C=【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 由前面两个式子解出 It，代入第三式有 Yt+11+(1)Yt=特征方程为 =1+(1)，设特解为 Yt*=A=A= 故 Yt 的通解为 Yt=+C1+r(1) t，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程
