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[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷41及答案与解析.doc

1、考研数学三(微积分)模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x,y)= 则 f(x,y)在(0,0)处( )(A)连续但不可偏导(B)可偏导但不连续(C)可微(D)一阶连续可偏导2 对二元函数 z=f(x,y),下列结论正确的是( )(A)z=f(x,y)可微的充分必要条件是 z=f(x,y)有一阶连续的偏导数(B)若 z=f(x,y)可微,则 z=f(x,y)的偏导数连续(C)若 z=f(x,y)偏导数连续,则 z=f(x,y)一定可微(D)若 z=f(x,y)的偏导数不连续,则 z=f(x,y)一定不可微3 设 f(x,y)在有

2、界闭区域 D 上二阶连续可偏导,且在区域 D 内恒有条件=0,则( ) (A)f(x,y)的最大值点和最小值点都在 D 内(B) f(x,y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上(C) f(x,y)的最小值点在 D 内,最大值点在 D 的边界上(D)f(x,y)的最大值点在 D 内,最小值点在 D 的边界上二、填空题4 设 z=xf(x+y)+g(xy,x 2+y2),其中 f,g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导,则=_5 设 f(u,v)一阶连续可偏导,f(tx ,ty)=t 3f(x,y) ,且 fx(1,2)=1,f y(1,2)=4,则f(1,2)=_6 设 z=f(x,y)二阶可

3、偏导, =2,且 f(x,0)=1 , f(x,0)=x ,则 f(x,y)=_7 设 u=u(x,y)二阶连续可偏导,且 ,若 u(x,3x)=x ,u x(x,3x)=x ,则u“xy(x, 3x)=_8 设(ay 一 2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分,则a=_,b=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 u=f(x,y ,xyz),函数 z=z(x,y)由 exyz=xyzh(xy+zt)dt 确定,其中 f 连续可偏导,h 连续,求 10 11 求二元函数 z=f(x,y)=x 2y(4 一 xy)在由 x 轴、 y 轴及 x+y

4、=6 所围成的闭区域D 上的最小值和最大值12 设 f(x,y)= 证明:f(x ,y)在点(0,0)处可微,但 在点(0,0)处不连续13 设 f(x,y)= (1)f(x,y)在点(0,0)处是否连续? (2)f(x,y)在点(0,0)处是否可微?14 设 z=15 设 u=16 设函数 f(x,y,z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx,ty,tz)=t kf(x,y,z)证明:17 设18 设 u=u(x,y)由方程组 u=f(x,y,z ,t),g(y,z,t)=0 ,h(z,t)=0 确定,其中f,g, h 连续可偏导且19 设函数 z=f(u),方程 u=(u)+yxP(t)dt

5、确定 u 为 x,y 的函数,其中 f(u),(u)可微,P(t),(u)连续,且 (u)1,求 20 设 z=z(x,y)满足21 求 z=x2+12xy+2y2 在区域 4x2+y225 上的最值22 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售,售价分别为 p1,p 2,销售量分别为 q1,q 2,需求函数分别为 q1=2402p 1,q 2=10005p 2,总成本函数为C=35+40(q1+q2),问厂家如何确定两个市场的销售价格,能使其获得总利润最大?最大利润为多少?23 设二元函数 f(x,y)=x-y(x,y),其中 (x,y)在点(0,0) 处的某邻域内连续证明:函数 f(x,

6、y)在点(0,0)处可微的充分必要条件是 (0,0)=0 24 已知二元函数 f(x,y)满足=u2+v2,求 a,b考研数学三(微积分)模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x,y)一阶连续可偏导,则 f(x,y)一定可微,反之则不对,所以若函数 f(x,y) 偏导数不连续不一定不可微,选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x,y)的最大点在 D 内,不妨设其为 M0,则有,因为 M0 为最大值点,所以 ACB

7、2 非负,而在 D 内有,即 ACB20,所以最大值点不可能在 D 内,同理最小值点也不可能在 D 内,正确答案为 B【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 f+xf“+x y-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg“11+2y2xy-1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy,x 2+y2),得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy-1g1(xy,x 2+y2)+2xg2(xy,x 2+y2) =f+xf“+xy-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg“11+2y2xy-1g“12+2xy+1lnxg“

8、21+4xyg“22【知识模块】 微积分5 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx,ty)=t 3f(x,y)两边对 t 求导数得 xf x(tx,ty)+yf y(tx,ty)=3t2f(x,y), 取 t=1,x=1,y=2 得 fx(1,2)+2f y(1,2)=3f(1,2),故 f(1,2)=3【知识模块】 微积分6 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由 =2y+(x),因为 f(x,0)=x ,所以 (x)=x,即=2y+x,z=y 2+xy+C,因为 f(x,0)=1,所以 C=1,于是 z=y2+xy+1【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 u(x,3x

9、)=x 两边对 x 求导,得 ux(x,3x)+3u y(x,3x)=1, 再对 x 求导,得 u“xx(x,3x)+6u“ xy(x,3x)+9u“ yy(x,3x)=0 由 ,得10u“xx(x,3x)+6u“ xy(x,3x)=0, u x(x,3x)=x 3 两边对 x 求导,得 u“xx(x,3x)+3u“xy(x,3x)=3x 2, 解得 u“xy(x,3x)= 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 4,-2【试题解析】 令 P(x,y)=ay 一 2xy2,Q(x,y)=bx 2y+4x+3, 因为(ay 一 2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分,

10、所以 =a 一4xy,于是 a=4,b=一 2 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 e xyz=xyzh(xy+z 一 t)dt=一 xyzh(xy+z 一 t)d(xy+z 一 t)=xyzh(u)du,【知识模块】 微积分10 【正确答案】 故u 仅是 r 的函数,即 u 不含 与 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 (1)求 f(x,y)在区域 D 的边界上的最值, 在 L1:y=0(0x6) 上,z=0; 在 L2: x=0(0y6)上,z=0;在 L3:y=6 一 x(0x6)上,z=一 2x2(6 一 x)=2x3 一 12x

11、2,由 =6x224x=0 得 x=4,因为 f(0,0)=0,f(6,0)=0,f(4 ,2)=一64,所以 f(x,y)在 L3 上最小值为一 64,最大值为 0因为ACB20 且 A0,所以(2,1)为 f(x,y)的极大点,极大值为 f(2,1)=4 ,故z=f(x,y)在 D 上的最小值为 m=f(4,2)一 64,最大值为 M=f(2,1)=4【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 f(x,y)在点(0,0)处不可微【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 u=

12、tx, u=ty,w=tz ,f(tx ,ty,tz)=t kf(x,y,z),两边对 t 求导得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成,故确定了三个二元函数,其中x,y 为自变量,由 u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0 ,得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 p 1=1205q1,p 220020q2,收入函数为 R=p1q1+p2q2, 总利润函数为 L=RC=(1205q1)q1+(20020q2)q2 一35+40(q 1+q2),由得 q1=8,q 2=4,从而 p1=80,p 2=120,L(8 ,4)=605 , 由实际问题的意义知,当 p1=80,p 2=120 时,厂家获得的利润最大,最大利润为605【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (必要性)设 f(x,y)在点(0,0)处可微,则 fx(0,0),f y(0,0)存在【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分

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