1、考研数学三（微积分）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在(0，0)处( )（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不连续（C）可微（D）一阶连续可偏导2 对二元函数 z=f(x，y)，下列结论正确的是( )（A）z=f(x，y)可微的充分必要条件是 z=f(x，y)有一阶连续的偏导数（B）若 z=f(x，y)可微，则 z=f(x，y)的偏导数连续（C）若 z=f(x，y)偏导数连续，则 z=f(x，y)一定可微（D）若 z=f(x，y)的偏导数不连续，则 z=f(x，y)一定不可微3 设 f(x，y)在有
2、界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件=0，则( ) （A）f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题4 设 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，其中 f，g 分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_5 设 f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx ，ty)=t 3f(x，y) ，且 fx(1，2)=1，f y(1，2)=4，则f(1，2)=_6 设 z=f(x，y)二阶可
3、偏导， =2，且 f(x，0)=1 ， f(x，0)=x ，则 f(x，y)=_7 设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 ，若 u(x，3x)=x ，u x(x，3x)=x ，则u“xy(x， 3x)=_8 设(ay 一 2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则a=_，b=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 u=f(x，y ，xyz)，函数 z=z(x，y)由 exyz=xyzh(xy+zt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 10 11 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 xy)在由 x 轴、 y 轴及 x+y
4、=6 所围成的闭区域D 上的最小值和最大值12 设 f(x，y)= 证明：f(x ，y)在点(0，0)处可微，但 在点(0，0)处不连续13 设 f(x，y)= (1)f(x，y)在点(0，0)处是否连续? (2)f(x，y)在点(0，0)处是否可微?14 设 z=15 设 u=16 设函数 f(x，y，z) 一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)证明：17 设18 设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 确定，其中f，g， h 连续可偏导且19 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)dt
5、确定 u 为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1，求 20 设 z=z(x，y)满足21 求 z=x2+12xy+2y2 在区域 4x2+y225 上的最值22 某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p1，p 2，销售量分别为 q1，q 2，需求函数分别为 q1=2402p 1，q 2=10005p 2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?23 设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0) 处的某邻域内连续证明：函数 f(x，
6、y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 24 已知二元函数 f(x，y)满足=u2+v2，求 a，b考研数学三（微积分）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 因为若函数 f(x，y)一阶连续可偏导，则 f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数 f(x，y) 偏导数不连续不一定不可微，选 C【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有，因为 M0 为最大值点，所以 ACB
7、2 非负，而在 D 内有，即 ACB20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，正确答案为 B【知识模块】 微积分二、填空题4 【正确答案】 f+xf“+x y-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg“11+2y2xy-1g“12+2xy+1lnxg“21+4xyg“22【试题解析】 由 z=xf(x+y)+g(xy，x 2+y2)，得 =f(x+y)+xf(x+y)+yxy-1g1(xy，x 2+y2)+2xg2(xy，x 2+y2) =f+xf“+xy-1g1+yxy-1lnxg1+yx2y-1lnxg“11+2y2xy-1g“12+2xy+1lnxg“
8、21+4xyg“22【知识模块】 微积分5 【正确答案】 3【试题解析】 f(tx，ty)=t 3f(x，y)两边对 t 求导数得 xf x(tx，ty)+yf y(tx，ty)=3t2f(x，y)， 取 t=1，x=1，y=2 得 fx(1，2)+2f y(1，2)=3f(1，2)，故 f(1，2)=3【知识模块】 微积分6 【正确答案】 y 2+xy+1【试题解析】 由 =2y+(x)，因为 f(x，0)=x ，所以 (x)=x，即=2y+x，z=y 2+xy+C，因为 f(x，0)=1，所以 C=1，于是 z=y2+xy+1【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 u(x，3x
9、)=x 两边对 x 求导，得 ux(x，3x)+3u y(x，3x)=1， 再对 x 求导，得 u“xx(x，3x)+6u“ xy(x，3x)+9u“ yy(x，3x)=0 由 ，得10u“xx(x，3x)+6u“ xy(x，3x)=0， u x(x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 u“xx(x，3x)+3u“xy(x，3x)=3x 2， 解得 u“xy(x，3x)= 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 4，-2【试题解析】 令 P(x，y)=ay 一 2xy2，Q(x，y)=bx 2y+4x+3， 因为(ay 一 2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，
10、所以 =a 一4xy，于是 a=4，b=一 2 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 e xyz=xyzh(xy+z 一 t)dt=一 xyzh(xy+z 一 t)d(xy+z 一 t)=xyzh(u)du，【知识模块】 微积分10 【正确答案】 故u 仅是 r 的函数，即 u 不含 与 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 (1)求 f(x，y)在区域 D 的边界上的最值， 在 L1：y=0(0x6) 上，z=0； 在 L2： x=0(0y6)上，z=0；在 L3：y=6 一 x(0x6)上，z=一 2x2(6 一 x)=2x3 一 12x
11、2，由 =6x224x=0 得 x=4，因为 f(0，0)=0，f(6，0)=0，f(4 ，2)=一64，所以 f(x，y)在 L3 上最小值为一 64，最大值为 0因为ACB20 且 A0，所以(2，1)为 f(x，y)的极大点，极大值为 f(2，1)=4 ，故z=f(x，y)在 D 上的最小值为 m=f(4，2)一 64，最大值为 M=f(2，1)=4【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 f(x，y)在点(0，0)处不可微【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 u=
12、tx， u=ty，w=tz ，f(tx ，ty，tz)=t kf(x，y，z)，两边对 t 求导得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 ，得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】 p 1=1205q1，p 220020q2，收入函数为 R=p1q1+p2q2， 总利润函数为 L=RC=(1205q1)q1+(20020q2)q2 一35+40(q 1+q2)，由得 q1=8，q 2=4，从而 p1=80，p 2=120，L(8 ，4)=605 ， 由实际问题的意义知，当 p1=80，p 2=120 时，厂家获得的利润最大，最大利润为605【知识模块】 微积分23 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)，f y(0，0)存在【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分
