[考研类试卷]考研数学三（微积分）模拟试卷60及答案与解析.doc

1、考研数学三（微积分）模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二元函数 其中 m，n 为正整数，函数在(0， 0)处不连续，但偏导数存在，则 m，n 需满足 ( )（A）m2，722（B） m2， n2（C） m2，n2（D）m2，n22 函数 z=f(x，y)= 在(0 ，0)点 ( )（A）连续，但偏导数不存在（B）偏导数存在，但不可微（C）可微（D）偏导数存在且连续3 函数 z=x3+y3 一 3x2 一 3y2 的极小值点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)4 函数 y=f(x， y)在点

2、(x 0，y 0)处连续是它在该点偏导数存在的 ( )（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件5 函数 ( )（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在6 设函数 ，则点(0，0)是函数 z 的 ( )（A）极小值点且是最小值点（B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点（D）极大值点但非最大值点二、填空题7 设 =_8 设 =_9 设 f 可微，则由方程 f(cx 一 ax，cybz)=0 确定的函数 z=z(x，y)满足azx+bzy=_10 设函数 z=z(x，y)由方程 sin x+2yz=ez 所确定，则 =_11

3、函数 f(x， y，z)=-2x 2 在 x2 一 y2 一 2z2=2 条件下的极大值是_12 函数 的定义域为 _ 13 设 z=esin xy，则 dz= _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)可导，F(x，y)= ，一 x+ ，y0求(1)(2) (3)15 试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的充分条件还是必要条件(1)二元函数的极限 存在；(2)二元函数 z=f(x，y)在点(x0，y 0)的某个邻域内有界；(3)(4)F(x)=f(x，y 0)在点 x0 处可微，G(y)=f(x 0，y)在点 y0 处可微；

4、(5)(6)16 设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 其中a，b，c 为常数(1)讨论 f(x，y)在点(0，0) 处是否可微，若可微则求出 df(x，y)|(0，0) ；(2)讨论 f(x，y)在点 (0，0)处是否取极值，说明理由17 设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0 ，f x(0，0)=a ，f y(0，0)=b，且 (t)=t，f(t，t 2)，求 (0)18 设19 已知 ，其中 a0，a1，求 dz20 设21 设 ，其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求22 设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，)具有二阶连续偏导数，求2

5、3 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)d确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，(u)连续，且 (u)1求24 设 f(x，y)=I 0xye-t2dt，求25 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 和 ex-xz=0所确定，求25 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且26 验证27 若 f(1)=0，f(1)=1 ，求函数 f(u)的表达式28 设 z=u(x，y)e ax+y，29 已知函数 u=u(x，y)满足方程 =0试选择参数 a，b，利用变换 u(x，y)=(x ，

6、y)e ax+by 将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项30 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值30 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 1+32x28x1x22x12 一 10x2231 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；32 若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略考研数学三（微积分）模拟试卷 60 答案与解析一、选择

7、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当(x，y) 沿 y=kx(k0)趋向点(0，0)时，当 m2，n2 时，k 取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续 又因为同理可得 fy(0，0)=0 ，故偏导数存在 当 n2 时，有 n=1，因而，函数f(x，y)在(0，0)处连续同理，当 m2 时，函数 f(c，y)在(0，0)处连续综上，应选(B) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 =3y2 一 6y=

8、0，可得到 4 个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0) 在(0，2)点和(2，0)点，均有 ACB20，因而这两个点不是极值点在(0，0)点，ACB2=36 0，且 A=一 60，所以(0，0)点是极大值点在 (2，2)点，ACB2=360，且 A=120，所以 (2，2)点是极小值点，故选(B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 在多元函数中，一点连续与一点可偏导无必然联系【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时， |x|+|y|，当(x，y)(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为 0【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解

9、析】 由极值点的判别条件可知【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 一 sin 【试题解析】 由 x=rcos，y=rsin ，得 u=cos，【知识模块】 微积分8 【正确答案】 1【试题解析】 f x(0，1)=【知识模块】 微积分9 【正确答案】 c【试题解析】 本题考查多元微分法，是一道基础计算题方程两边求全微分，得f1.(cdxadz)+f2.(cdybdz)=0，即【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 方程两端对 x 求偏导数【知识模块】 微积分11 【正确答案】 一 4【试题解析】 由拉格朗日乘数法即得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】

10、【知识模块】 微积分13 【正确答案】 esinxycos xy(ydx+xdy)【试题解析】 z x=esinxycos xy.y，z y=esinxycos xy.x，则 dz=eesinxycos xy(ydx+xdy)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【试题解析】 本题形式上的研究对象是多元函数，事实上，问题的主体知识是一元函数的极限、导数问题，需要考生在计算的全过程中把握住“谁是变量”【知识模块】 微积分15 【正确答案】 结论(1)(4) 中每一个分别都是 z=f(x，y)在点 P(x0，y 0)处可微的必要条件，而非充分条件

11、而结论(5)是其既非充分也非必要条件，结论()是其充分非必要条件 因 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微，故 z=f(x，y) 在点 P0(x0，y 0)处连续，即 =f(x0，y 0)，则极限 必存在，于是z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)某邻域内有界 结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x，y 0)在 x0处连续，G(y)=f(x 0，y)在 y0 处连续，它是二元函数 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续的必要条件，而非充分条件而 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件 只要在 z=f(x，y)在 P0(x0

12、，y 0)的全微分定义 z=Ax+By+()，= 中取特殊情况，分别令y=0 与 x=0 即证得结论(4)结论(5)的 fx(x，y 0)一 fx(x0，y 0)=0 表示偏导函数 fx(x，y)在 y=y0 时的一元函数fx(x，y 0)在 x0 处连续，它仅是二元偏导函数 fx(x， y)在 P0(x0，y 0)处连续的一个必要条件，对 fy(x0，y)一 fy(x0，y 0)=0 有类似的结果而 z=f(x，y)在 P0(x0，y 0)处可微又是 fx(x，y)， f y(x，y)在 P0(x0，y 0)处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件也不是必要条件 结论(6) 的等

13、价形式是z=f(x，y)一 f(x0，y 0)=()， 它是相应全微分定义中 A=0，B=0 的情形，则结论(6)是其可微的充分非必要条件【知识模块】 微积分16 【正确答案】 (1)当(x，y)(0 ，0)时，ln(1+x 2+y2)x 2+y2，由 f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得f(0，0)= 再由极限与无穷小的关系可知，因此 f(x，y)在点(0，0)处取极小值【知识模块】 微积分17 【正确答案】 在 (t)=ft，f(t，t 2)中令 u=t，=f(t，t 2)，得 (t)=f(u，) ，(t)=f1(u，). =f1(u，).1+f 2(u，).f 1(t，t 2).1+

14、f2(t，t 2).2t =f1t，f(t，t 2)+f2t，f(t ， t2).f1(t，t 2)+f2(t，t 2).2t，所以 (0)=f 1(0，0)+f 2(0，0).f1(0，0)+f 2(0，0).2.0 =a+b(a+0)=a(1+b)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 u=xy，=x+y ，则 由于 f 及 二阶可微，而 u=xy，=x+y 均为初等函数，故满足 这里先求 较为简便一些。由复合函数的求导法则，得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】

15、【知识模块】 微积分23 【正确答案】 在方程 u=(u)+yx(t)dt 两边分别对 x，y 求偏导数，得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 方程 exy 一 y=0 两边关于 x 求导，有方程 ex 一 xz=0 两边关于 x 求导，有【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解【知识模块】 微积分28 【正确答案】 所以 a=1【知识模块】 微积分29 【正确答案】 等式 u(x，y)=(x，y)e ax+by 两边同时求偏导数，由题意可知，应令 2a

16、+k=0，一 26+k=0，解得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由方程组 得x=0(0y6)及点(4，0)， (2，1)而点(4，0)及线段 x=0(0y6)在 D 的边界上，只有点(2 ，1)在 D 内部，可能是极值点 f“xx=8y-6xy-2y2，f“ xy-8x-3x2-4xy，f“ yy=一 2x2 在点(2，1) 处， 且 A0，因此点(2，1) 是 z=f(x，y)的极大值点，极大值 f(2，1)=4 在 D 的边界x=0(0y6)及 y=0(0x6)上，f(x，y)=0在边界 x+y=6 上，y=6 一 x。代入 f(x，y)中得，z=2x 3 一 12x2(0x6)

17、由 z=6x224x 一 0 得 x=0，x=4 在边界 x+y=6 上对应 x=0，4， 6 处 x 的值分别为： z| x=0 =2x312x2|x=0 =0，z| x=4 =2x312x2|x=4 =一64，z| x=6 一 2x3 一 12x2|x=6 =0 因此知 z=f(x，y)在边界上的最大值为 0，最小值为f(4，2)=一 64 将边界上最大值和最小值与驻点(2 ，1) 处的值比较得，x=f(x，y)在闭区域 D 上的最大值为 f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=一 64【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分31 【正确答案】 利润函数为 z=f(x1，x 2)一 15

18、+14x1+32x2 一 8x1x2 一 2x12 一 10x22 一(x1+x2) =15+13x1+31x28x1 x22x12 一 10x22函数 z=f(x1，x 2)在(075 ，125)的二阶导数为 一20由于 B2 一 AC=6480=一 160 ，A= 一 40 ，所以函数 z=f(x1，x 2)在(075 ，125)处达到极大值，也即最大值所以投入电台广告费 075 万元，报纸广告费 125 万元时，利润最大【知识模块】 微积分32 【正确答案】 若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z=f(x1，x 2)在x1+x2=15 时的条件极值 构造拉格朗日函数 F(x 1，x 2，)=15+13x 1+31x28x1x22x1x2 一 10x2x2+(x1+x215) ，由方程组得 x1=0，x 2=15即将广告费 15 万元全部用于报纸广告，可使利润最大【知识模块】 微积分