1、考研数学三(微积分)模拟试卷 60 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 二元函数 其中 m,n 为正整数,函数在(0, 0)处不连续,但偏导数存在,则 m,n 需满足 ( )(A)m2,722(B) m2, n2(C) m2,n2(D)m2,n22 函数 z=f(x,y)= 在(0 ,0)点 ( )(A)连续,但偏导数不存在(B)偏导数存在,但不可微(C)可微(D)偏导数存在且连续3 函数 z=x3+y3 一 3x2 一 3y2 的极小值点是 ( )(A)(0 ,0)(B) (2,2)(C) (0,2)(D)(2 ,0)4 函数 y=f(x, y)在点
2、(x 0,y 0)处连续是它在该点偏导数存在的 ( )(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件5 函数 ( )(A)等于 1(B)等于 2(C)等于 0(D)不存在6 设函数 ,则点(0,0)是函数 z 的 ( )(A)极小值点且是最小值点(B)极大值点且是最大值点(C)极小值点但非最小值点(D)极大值点但非最大值点二、填空题7 设 =_8 设 =_9 设 f 可微,则由方程 f(cx 一 ax,cybz)=0 确定的函数 z=z(x,y)满足azx+bzy=_10 设函数 z=z(x,y)由方程 sin x+2yz=ez 所确定,则 =_11
3、函数 f(x, y,z)=-2x 2 在 x2 一 y2 一 2z2=2 条件下的极大值是_12 函数 的定义域为 _ 13 设 z=esin xy,则 dz= _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 f(x)可导,F(x,y)= ,一 x+ ,y0求(1)(2) (3)15 试分析下列各个结论是函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y 0)处可微的充分条件还是必要条件(1)二元函数的极限 存在;(2)二元函数 z=f(x,y)在点(x0,y 0)的某个邻域内有界;(3)(4)F(x)=f(x,y 0)在点 x0 处可微,G(y)=f(x 0,y)在点 y0 处可微;
4、(5)(6)16 设 f(x,y)在点(0,0)处连续,且 其中a,b,c 为常数(1)讨论 f(x,y)在点(0,0) 处是否可微,若可微则求出 df(x,y)|(0,0) ;(2)讨论 f(x,y)在点 (0,0)处是否取极值,说明理由17 设函数 f(x,y)可微,又 f(0,0)=0 ,f x(0,0)=a ,f y(0,0)=b,且 (t)=t,f(t,t 2),求 (0)18 设19 已知 ,其中 a0,a1,求 dz20 设21 设 ,其中函数 f,g 具有二阶连续偏导数,求22 设 z=f(2xy)+g(x,xy),其中函数 f(t)二阶可导,g(u,)具有二阶连续偏导数,求2
5、3 设函数 z=f(u),方程 u=(u)+yxP(t)d确定 u 是 x,y 的函数,其中 f(u),(u)可微,P(t),(u)连续,且 (u)1求24 设 f(x,y)=I 0xye-t2dt,求25 设 u=f(x, y,z)有连续偏导数,y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 和 ex-xz=0所确定,求25 设函数 f(u)在(0,+)内具有二阶导数,且26 验证27 若 f(1)=0,f(1)=1 ,求函数 f(u)的表达式28 设 z=u(x,y)e ax+y,29 已知函数 u=u(x,y)满足方程 =0试选择参数 a,b,利用变换 u(x,y)=(x ,
6、y)e ax+by 将原方程变形,使新方程中不出现一阶偏导数项30 求二元函数 z=f(x,y)=x 2y(4 一 xy)在由直线 x+y=6,x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的极值、最大值与最小值30 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入 R(万元)与电台广告费 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式: R=15+14x 1+32x28x1x22x12 一 10x2231 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;32 若提供的广告费用为 15 万元,求相应的最优广告策略考研数学三(微积分)模拟试卷 60 答案与解析一、选择
7、题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当(x,y) 沿 y=kx(k0)趋向点(0,0)时,当 m2,n2 时,k 取不同值,上式结果不唯一,所以函数在(0,0)处极限不存在,故函数不连续 又因为同理可得 fy(0,0)=0 ,故偏导数存在 当 n2 时,有 n=1,因而,函数f(x,y)在(0,0)处连续同理,当 m2 时,函数 f(c,y)在(0,0)处连续综上,应选(B) 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由 =3y2 一 6y=
8、0,可得到 4 个驻点(0,0),(2,2),(0,2)和(2,0) 在(0,2)点和(2,0)点,均有 ACB20,因而这两个点不是极值点在(0,0)点,ACB2=36 0,且 A=一 60,所以(0,0)点是极大值点在 (2,2)点,ACB2=360,且 A=120,所以 (2,2)点是极小值点,故选(B)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 在多元函数中,一点连续与一点可偏导无必然联系【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时, |x|+|y|,当(x,y)(0,0)时,由夹逼准则,可得极限值为 0【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解
9、析】 由极值点的判别条件可知【知识模块】 微积分二、填空题7 【正确答案】 一 sin 【试题解析】 由 x=rcos,y=rsin ,得 u=cos,【知识模块】 微积分8 【正确答案】 1【试题解析】 f x(0,1)=【知识模块】 微积分9 【正确答案】 c【试题解析】 本题考查多元微分法,是一道基础计算题方程两边求全微分,得f1.(cdxadz)+f2.(cdybdz)=0,即【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 方程两端对 x 求偏导数【知识模块】 微积分11 【正确答案】 一 4【试题解析】 由拉格朗日乘数法即得【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】
10、【知识模块】 微积分13 【正确答案】 esinxycos xy(ydx+xdy)【试题解析】 z x=esinxycos xy.y,z y=esinxycos xy.x,则 dz=eesinxycos xy(ydx+xdy)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【试题解析】 本题形式上的研究对象是多元函数,事实上,问题的主体知识是一元函数的极限、导数问题,需要考生在计算的全过程中把握住“谁是变量”【知识模块】 微积分15 【正确答案】 结论(1)(4) 中每一个分别都是 z=f(x,y)在点 P(x0,y 0)处可微的必要条件,而非充分条件
11、而结论(5)是其既非充分也非必要条件,结论()是其充分非必要条件 因 z=f(x,y)在点 P0(x0,y 0)处可微,故 z=f(x,y) 在点 P0(x0,y 0)处连续,即 =f(x0,y 0),则极限 必存在,于是z=f(x,y)在点 P0(x0,y 0)某邻域内有界 结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x,y 0)在 x0处连续,G(y)=f(x 0,y)在 y0 处连续,它是二元函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y 0)处连续的必要条件,而非充分条件而 z=f(x,y)在点 P0(x0,y 0)处连续又是其可微的必要条件,且非充分条件 只要在 z=f(x,y)在 P0(x0
12、,y 0)的全微分定义 z=Ax+By+(),= 中取特殊情况,分别令y=0 与 x=0 即证得结论(4)结论(5)的 fx(x,y 0)一 fx(x0,y 0)=0 表示偏导函数 fx(x,y)在 y=y0 时的一元函数fx(x,y 0)在 x0 处连续,它仅是二元偏导函数 fx(x, y)在 P0(x0,y 0)处连续的一个必要条件,对 fy(x0,y)一 fy(x0,y 0)=0 有类似的结果而 z=f(x,y)在 P0(x0,y 0)处可微又是 fx(x,y), f y(x,y)在 P0(x0,y 0)处连续的另一个必要条件,所以结论(5)既不是充分条件也不是必要条件 结论(6) 的等
13、价形式是z=f(x,y)一 f(x0,y 0)=(), 它是相应全微分定义中 A=0,B=0 的情形,则结论(6)是其可微的充分非必要条件【知识模块】 微积分16 【正确答案】 (1)当(x,y)(0 ,0)时,ln(1+x 2+y2)x 2+y2,由 f(x,y)在点(0,0)处的连续性即得f(0,0)= 再由极限与无穷小的关系可知,因此 f(x,y)在点(0,0)处取极小值【知识模块】 微积分17 【正确答案】 在 (t)=ft,f(t,t 2)中令 u=t,=f(t,t 2),得 (t)=f(u,) ,(t)=f1(u,). =f1(u,).1+f 2(u,).f 1(t,t 2).1+
14、f2(t,t 2).2t =f1t,f(t,t 2)+f2t,f(t , t2).f1(t,t 2)+f2(t,t 2).2t,所以 (0)=f 1(0,0)+f 2(0,0).f1(0,0)+f 2(0,0).2.0 =a+b(a+0)=a(1+b)【知识模块】 微积分18 【正确答案】 令 u=xy,=x+y ,则 由于 f 及 二阶可微,而 u=xy,=x+y 均为初等函数,故满足 这里先求 较为简便一些。由复合函数的求导法则,得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【知识模块】 微积分22 【正确答案】
15、【知识模块】 微积分23 【正确答案】 在方程 u=(u)+yx(t)dt 两边分别对 x,y 求偏导数,得【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 方程 exy 一 y=0 两边关于 x 求导,有方程 ex 一 xz=0 两边关于 x 求导,有【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解【知识模块】 微积分28 【正确答案】 所以 a=1【知识模块】 微积分29 【正确答案】 等式 u(x,y)=(x,y)e ax+by 两边同时求偏导数,由题意可知,应令 2a
16、+k=0,一 26+k=0,解得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由方程组 得x=0(0y6)及点(4,0), (2,1)而点(4,0)及线段 x=0(0y6)在 D 的边界上,只有点(2 ,1)在 D 内部,可能是极值点 f“xx=8y-6xy-2y2,f“ xy-8x-3x2-4xy,f“ yy=一 2x2 在点(2,1) 处, 且 A0,因此点(2,1) 是 z=f(x,y)的极大值点,极大值 f(2,1)=4 在 D 的边界x=0(0y6)及 y=0(0x6)上,f(x,y)=0在边界 x+y=6 上,y=6 一 x。代入 f(x,y)中得,z=2x 3 一 12x2(0x6)
17、由 z=6x224x 一 0 得 x=0,x=4 在边界 x+y=6 上对应 x=0,4, 6 处 x 的值分别为: z| x=0 =2x312x2|x=0 =0,z| x=4 =2x312x2|x=4 =一64,z| x=6 一 2x3 一 12x2|x=6 =0 因此知 z=f(x,y)在边界上的最大值为 0,最小值为f(4,2)=一 64 将边界上最大值和最小值与驻点(2 ,1) 处的值比较得,x=f(x,y)在闭区域 D 上的最大值为 f(2,1)=4,最小值为 f(4,2)=一 64【知识模块】 微积分【知识模块】 微积分31 【正确答案】 利润函数为 z=f(x1,x 2)一 15
18、+14x1+32x2 一 8x1x2 一 2x12 一 10x22 一(x1+x2) =15+13x1+31x28x1 x22x12 一 10x22函数 z=f(x1,x 2)在(075 ,125)的二阶导数为 一20由于 B2 一 AC=6480=一 160 ,A= 一 40 ,所以函数 z=f(x1,x 2)在(075 ,125)处达到极大值,也即最大值所以投入电台广告费 075 万元,报纸广告费 125 万元时,利润最大【知识模块】 微积分32 【正确答案】 若广告费用为 15 万元,则需求利润函数 z=f(x1,x 2)在x1+x2=15 时的条件极值 构造拉格朗日函数 F(x 1,x 2,)=15+13x 1+31x28x1x22x1x2 一 10x2x2+(x1+x215) ,由方程组得 x1=0,x 2=15即将广告费 15 万元全部用于报纸广告,可使利润最大【知识模块】 微积分