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[考研类试卷]考研数学三(微积分)模拟试卷94及答案与解析.doc

1、考研数学三(微积分)模拟试卷 94 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f( x)在点 x0 的某邻域内有定义,且 f(x)在点 x0 处间断,则在点 x0 处必定间断的函数是( )(A)f(x)sinx(B) f(x)+sinx(C) f2(x)(D)|f(x) |2 设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x )=af(x),且有 f(0)=b,其中a,6 为非零常数,则( )(A)f(x)在 x=1 处不可导(B) f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=a(C) f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=b(D)f(x)在 x=

2、1 处可导,且 f(1)=ab3 设在0 ,1上 f“(x)0,则 f(0),f(1),f(1)f(0)或 f(0)f(1)的大小顺序是( )(A)f(1)f(0)f(1)一 f(0)(B) f(1)f(1 )一 f(0)f(0)(C) f(1)一 f(0)f(1) f(0)(D)f(1)f(0)一 f(1) f(0)4 设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x)2=X,且 f(0)=0,则( )(A)f(0)是 f(x)的极大值(B) f(0)是 f(x)的极小值(C)( 0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点(D)f(0)不是 f(x)的极值,( 0,f(0)也不是曲线 y=f(x)

3、的拐点5 曲线 y=exsinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )(A) 03exsinxdx(B) 03exsinxdx(C) 0exsinxdx2exsinxdx+23exsinxdx(D) 02exsinxdx 一 23exsinxdx6 二元函数 f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是( )7 设函数 f(u)连续,区域 D=(x,y)|x 2+y22y,则 等于( )(A)(B)(C) 0d02sinf(r 2sincos)dr(D) 0d02sinf(r 2sincos)rdr8 设 (a 2n1+a2n)收敛,则( )9 设线性无关的函数 y1,y 2,

4、y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q (x)y=f(x)的解,C 1,C 2 是任意常数,则该非齐次方程的通解是( )(A)C 1y1+C2y2+y3(B) C1y1+C2y2(C 1+C2)y 3(C) C1y1+C2y2(1C 1C2)y 3(D)C 1y1+C2y2+(1C 1C2)y 3二、填空题10 11 设函数 y=f(x)由方程 yx=ex(1y) 确定,则12 设 y=y(x )是由方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数,则13 设 f(x)=3x 2+Ax3(x0),A 为正常数,则 A 至少为_时,有f(x) 20(x0)。14 15 设位于曲线 y= (e

5、x +)下方,x 轴上方的无界区域为 G,则G 绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_ 。16 设 f(x,y)= 在点(0,0)处连续,则a=_。17 设 +y(x+y), 具有二阶连续导数,则18 设函数 z=f(x,y)(xy0)满足 =y2(x 21),则 dz=_。19 已知幂级数 an(x+2) n 在 x=0 处收敛,在 x=4 处发散,则幂级数an(x3) n 的收敛域为 _。20 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解 y=_。21 微分方程 y“4y=e2x 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 23 设函数 f(x)在 x=0 的

6、某邻域内具有一阶连续导数,且 f(0)f(0)0,当h0 时,若 af(h)+bf(2h)一 f(0)=o(h),试求 a,b 的值。24 设某商品的需求函数为 Q=1005P,其中价格 P(0,20),Q 为需求量。()求需求量对价格的弹性 Ed(E d0);()推导 =Q(1 一 Ed)(共中R 为收益),并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加。25 设 y=f(x)是区间0, 1上的任一非负连续函数。( )试证存在 x0(0,1),使得在区间0,x 0上以 f(x 0)为高的矩形面积,等于在区间x 0,1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积。()又设 f(x)在区

7、间(0,1)内可导,且 f(x)证明()中的 x0 是唯一的。26 设函数 f(u)具有二阶连续导数,而 z=f(e xsin y)满足方程 =e2x求f(u)。27 计算二重积分28 设函数 f(x)在区间o,1上连续,且 01f(x)dx=A,求 01dxx1f(x)f(y)dy。29 求幂级数 的收敛域及和函数。考研数学三(微积分)模拟试卷 94 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x)+sinx 在 x=x0 处连续,则 f(x)=f(x)+sinxsinx 在x=x0 处连续,与已知矛盾。因此 f(x)+s

8、inx 在点 x0 必间断。故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 由导数的定义【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f“(x)0,x 0,1,所以函数 f(x)在该区间内单调增加,又由拉格朗日中值定理,可得f(1)一 f( 0)=f (), (0,1)。于是有f(0)f ()f (1),即f(0)f( 1)一 f(0) f(1)。故选 B。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 在题设等式两端对 x 求导,得 f“(x)+2f(x)f“(x)=1。令x=0 可得 f“(0)=1(因由上式可推得 f“(x)连续)。又 f“(0)=0

9、,由拐点的充分条件可知,(0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。故选 C。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时,y0;当 x2 时,y0 所以 y=exsinx(0x3 )与 x 轴所围成的面积为 0esinxdx2exsinxdx+23exsinxdx。 故选 C。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 按可微性定义,f(x,y)在(0,0)处可微其中 A,B 是与x,y 无关的常数。题中的 C 项即 A=B=0 的情形。故选 C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域 D=(x,y)|x 2+y22y(如图

10、143)。在直角坐标系下,因此正确答案为 D。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 当 an0 时,级数 (a 2n1+a2n)为正项级数,由于该级数收敛,则其部分和数列 an 的部分和数列 Sn=a1+a2+an 有上界,则级数 an 必收敛,故选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y1,y 2,y 3 是二阶非齐次线性微分方程)y“+p(x)y+q (x)y=f(x)线性无关的解,所以(y 1y3),(y 2y3)都是齐次线性微分方程y“+p(x)y+q (x)y=0 的解,且(y 1y3)与(y 2y3)线性无关,因此该齐次线性微分方程的通解

11、为 y=C1(y 1y3)+C 2 (y 2y2)。比较四个选项,且由线性微分方程解的结构性质可知,选 D。【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 时,y=1。对方程两边求导得 y1=ex(1y) (1yxy),将 x=0,y=1 代入上式,可得 y(0)=1 。所以【知识模块】 微积分12 【正确答案】 3【试题解析】 在方程 xy+ey=x+1 两边对 x 求导,有 y+xy+yey=1,得 y= 对y+xy+yey=1 再次求导,可得 2y+xy“+y“ey+(y) 2ey=0,得当 x=0 时,

12、y=0 ,y(0)=1,代入(*)得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 64【试题解析】 要使 f(x)20,只需 3x5+A20x3,即 20x33x5A(x0)。设g(x)=20x 33x5,则 A 至少是 g(x)在(0,+)内的最大值。由于 g(x)=60x215x4=15x2(4 一 x2) 所以 x=2 是 g(x)在(0,+)的最大值点,故 A 至少为 g(2)=64。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 0【试题解析】 因为 利用夹逼定理知 =0。又知 f(0,0)

13、=a,则 a=0。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 yf“ (xy )+(x+y)+y“(x+y)【试题解析】 由题干可得:【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (2xy)dxxdy【试题解析】 利用变量替换,设 xy=u, =,则有即 f(x,y)=x 2 一 xy,因此dz=(2x y)dx xdy。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 (1,5【试题解析】 由题意可知, an(x+2) n 的收敛域为(4,0,则 anxn 的收敛域为(2,2。所以 an(x3) n 的收敛域为( 1,5。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 (x+C )cosx,C 是任意常数【试题解析】

14、直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知 y=etanxdxcosxe tanxdxdx+C=(x+C)cosx ,其中 C 是任意常数。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 y=C 1e2x+(C 2+ )e 2x,其中 C1,C 2 为任意常数【试题解析】 对应齐次微分方程的特征方程为 r24=0,解得 r1=2,r 2=2。故y“4y=0 的通解为 y1=C1e2x+C2e2x,其中 C1,C 2 为任意常数。由于非齐次项为f(x) =e2x,=2 为特征方程的单根,因此原方程的特解可设为 y*=Axe2x,代入原方程可求出 A= 故所求通解为 y=C1e2x+(C 2+ )e 2x,其

15、中 C1,C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由题设条件知 af(h)+bf(2h)f(0)=(a+b1)f(0)。由于 f( 0)0,故必有 a+b1=0。又由洛必达法则因 f(0)0 ,则有 a+2b=0。综上,得 a=2,b= 1。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 又令 Ed=1,得 P=10。当 10P20 时,E d1,于是 0,故当 10P 20 时,降低价格反而使收益增加。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 ()本题可转化为证明 x0f(x 0)= x0af

16、(x)dx 0 令 (x)=xx1f(t)dt,则 (x)在闭区间0,1上是连续的,在开区间( 0,1)上是可导的,又因为 (0) =(1)=0 ,根据罗尔定理可知,存在 x0(0,1),使得 (x 0)=0,即 x0f(x 0)= ()令 F(x)=xf(x)一 x1f(t)dt ,且由 f(x) 有 F(x)=xf(x)+f(x)+f (x)=2f ( x)+xf (x)0,即 F(x)在(0,1)内是严格单调递增的,从而 F(x)=0 的点 x=x0 一定唯一,因此()中的点是唯一的。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由题意f(u)=C1eu+C2eu,其中 C1,C 2 为任意常

17、数。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 将极坐标转化为直角坐标,可得积分区域如图 1417 所示。D=(x,y)|0x1,0yx,【知识模块】 微积分28 【正确答案】 应用分部积分法。 01dxx1f(x)f(y)dy= 01( x1f(y)dy)f(x)dx= 01( x1f(y)dy)d( 1xf(t)dt)=A 201( x1f(t )dt )d( x1f(y)dy )【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为 所以当 x21,即1 x 1 时,原幂级数绝对收敛。当 x=+1 时,级数为 显然收敛,故原幂级数的收敛域为1,l。因为又f(0) =0,所以 f(x)= 0f(t)dt+f (0)=arctanx。从而 S(x)=xarctanx,x1,1。即收敛域为 1,1,和函数 S(x)=xarctanx。【知识模块】 微积分

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