1、考研数学三（微积分）模拟试卷 94 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f（ x）在点 x0 的某邻域内有定义，且 f（x）在点 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数是（ ）（A）f（x）sinx（B） f（x）+sinx（C） f2（x）（D）|f（x） |2 设函数 f（x）对任意的 x 均满足等式 f（1+x ）=af（x），且有 f（0）=b，其中a，6 为非零常数，则（ ）（A）f（x）在 x=1 处不可导（B） f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=a（C） f（x）在 x=1 处可导，且 f（1）=b（D）f（x）在 x=
2、1 处可导，且 f（1）=ab3 设在0 ，1上 f“（x）0，则 f（0），f（1），f（1）f（0）或 f（0）f（1）的大小顺序是（ ）（A）f(1)f(0)f(1)一 f(0）（B） f(1)f(1 ）一 f(0)f(0)（C） f(1)一 f(0）f(1) f(0)（D）f(1)f(0）一 f(1) f(0)4 设函数 f（x）满足关系式 f“（x）+f（x）2=X，且 f（0）=0，则（ ）（A）f（0）是 f（x）的极大值（B） f（0）是 f（x）的极小值（C）（ 0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点（D）f（0）不是 f（x）的极值，（ 0，f（0）也不是曲线 y=f（x）
3、的拐点5 曲线 y=exsinx（0x3）与 x 轴所围成图形的面积可表示为（ ）（A） 03exsinxdx（B） 03exsinxdx（C） 0exsinxdx2exsinxdx+23exsinxdx（D） 02exsinxdx 一 23exsinxdx6 二元函数 f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ）7 设函数 f（u）连续，区域 D=（x，y）|x 2+y22y，则 等于（ ）（A）（B）（C） 0d02sinf（r 2sincos）dr（D） 0d02sinf（r 2sincos）rdr8 设 （a 2n1+a2n）收敛，则（ ）9 设线性无关的函数 y1，y 2，
4、y 3 都是二阶非齐次线性方程 y“+p（x）y+q （x）y=f（x）的解，C 1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（ ）（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2（C 1+C2）y 3（C） C1y1+C2y2（1C 1C2）y 3（D）C 1y1+C2y2+（1C 1C2）y 3二、填空题10 11 设函数 y=f（x）由方程 yx=ex（1y） 确定，则12 设 y=y（x ）是由方程 xy+ey=x+1 确定的隐函数，则13 设 f（x）=3x 2+Ax3（x0），A 为正常数，则 A 至少为_时，有f（x） 20（x0）。14 15 设位于曲线 y= （e
5、x +）下方，x 轴上方的无界区域为 G，则G 绕 x 轴旋转一周所得空间区域的体积为_ 。16 设 f（x，y）= 在点（0，0）处连续，则a=_。17 设 +y（x+y）， 具有二阶连续导数，则18 设函数 z=f（x，y）（xy0）满足 =y2（x 21），则 dz=_。19 已知幂级数 an（x+2） n 在 x=0 处收敛，在 x=4 处发散，则幂级数an（x3） n 的收敛域为 _。20 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解 y=_。21 微分方程 y“4y=e2x 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 23 设函数 f（x）在 x=0 的
6、某邻域内具有一阶连续导数，且 f（0）f（0）0，当h0 时，若 af（h）+bf（2h）一 f（0）=o（h），试求 a，b 的值。24 设某商品的需求函数为 Q=1005P，其中价格 P（0，20），Q 为需求量。（）求需求量对价格的弹性 Ed（E d0）；（）推导 =Q（1 一 Ed）（共中R 为收益），并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。25 设 y=f（x）是区间0， 1上的任一非负连续函数。（ ）试证存在 x0（0，1），使得在区间0，x 0上以 f（x 0）为高的矩形面积，等于在区间x 0，1上以 y=f（x）为曲边的梯形面积。（）又设 f（x）在区
7、间（0，1）内可导，且 f（x）证明（）中的 x0 是唯一的。26 设函数 f（u）具有二阶连续导数，而 z=f（e xsin y）满足方程 =e2x求f（u）。27 计算二重积分28 设函数 f（x）在区间o，1上连续，且 01f（x）dx=A，求 01dxx1f（x）f（y）dy。29 求幂级数 的收敛域及和函数。考研数学三（微积分）模拟试卷 94 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 f（x）+sinx 在 x=x0 处连续，则 f（x）=f（x）+sinxsinx 在x=x0 处连续，与已知矛盾。因此 f（x）+s
8、inx 在点 x0 必间断。故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 由导数的定义【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 由已知 f“（x）0，x 0，1，所以函数 f（x）在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得f（1）一 f（ 0）=f （）， （0，1）。于是有f（0）f （）f （1），即f（0）f（ 1）一 f（0） f（1）。故选 B。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 在题设等式两端对 x 求导，得 f“（x）+2f（x）f“（x）=1。令x=0 可得 f“（0）=1（因由上式可推得 f“（x）连续）。又 f“（0）=0
9、，由拐点的充分条件可知，（0，f（0）是曲线 y=f（x）的拐点。故选 C。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时，y0；当 x2 时，y0 所以 y=exsinx（0x3 ）与 x 轴所围成的面积为 0esinxdx2exsinxdx+23exsinxdx。 故选 C。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 按可微性定义，f（x，y）在（0，0）处可微其中 A，B 是与x，y 无关的常数。题中的 C 项即 A=B=0 的情形。故选 C。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域 D=（x，y）|x 2+y22y（如图
10、143）。在直角坐标系下，因此正确答案为 D。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 当 an0 时，级数 （a 2n1+a2n）为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列 an 的部分和数列 Sn=a1+a2+an 有上界，则级数 an 必收敛，故选 D。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y1，y 2，y 3 是二阶非齐次线性微分方程）y“+p（x）y+q （x）y=f（x）线性无关的解，所以（y 1y3），（y 2y3）都是齐次线性微分方程y“+p（x）y+q （x）y=0 的解，且（y 1y3）与（y 2y3）线性无关，因此该齐次线性微分方程的通解
11、为 y=C1（y 1y3）+C 2 （y 2y2）。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，选 D。【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 1【试题解析】 当 x=0 时，y=1。对方程两边求导得 y1=ex（1y） （1yxy），将 x=0，y=1 代入上式，可得 y（0）=1 。所以【知识模块】 微积分12 【正确答案】 3【试题解析】 在方程 xy+ey=x+1 两边对 x 求导，有 y+xy+yey=1，得 y= 对y+xy+yey=1 再次求导，可得 2y+xy“+y“ey+（y） 2ey=0，得当 x=0 时，
12、y=0 ，y（0）=1，代入（*）得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 64【试题解析】 要使 f（x）20，只需 3x5+A20x3，即 20x33x5A（x0）。设g（x）=20x 33x5，则 A 至少是 g（x）在（0，+）内的最大值。由于 g（x）=60x215x4=15x2（4 一 x2） 所以 x=2 是 g（x）在（0，+）的最大值点，故 A 至少为 g（2）=64。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 0【试题解析】 因为 利用夹逼定理知 =0。又知 f（0，0）
13、=a，则 a=0。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 yf“ （xy ）+（x+y）+y“（x+y）【试题解析】 由题干可得：【知识模块】 微积分18 【正确答案】 （2xy）dxxdy【试题解析】 利用变量替换，设 xy=u， =，则有即 f（x，y）=x 2 一 xy，因此dz=（2x y）dx xdy。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 （1，5【试题解析】 由题意可知， an（x+2） n 的收敛域为（4，0，则 anxn 的收敛域为（2，2。所以 an（x3） n 的收敛域为（ 1，5。【知识模块】 微积分20 【正确答案】 （x+C ）cosx，C 是任意常数【试题解析】
14、直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知 y=etanxdxcosxe tanxdxdx+C=（x+C）cosx ，其中 C 是任意常数。【知识模块】 微积分21 【正确答案】 y=C 1e2x+（C 2+ ）e 2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 对应齐次微分方程的特征方程为 r24=0，解得 r1=2，r 2=2。故y“4y=0 的通解为 y1=C1e2x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数。由于非齐次项为f（x） =e2x，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y*=Axe2x，代入原方程可求出 A= 故所求通解为 y=C1e2x+（C 2+ ）e 2x，其
15、中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由题设条件知 af（h）+bf（2h）f（0）=（a+b1）f（0）。由于 f（ 0）0，故必有 a+b1=0。又由洛必达法则因 f（0）0 ，则有 a+2b=0。综上，得 a=2，b= 1。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 又令 Ed=1，得 P=10。当 10P20 时，E d1，于是 0，故当 10P 20 时，降低价格反而使收益增加。【知识模块】 微积分25 【正确答案】 （）本题可转化为证明 x0f（x 0）= x0af
16、（x）dx 0 令 （x）=xx1f（t）dt，则 （x）在闭区间0，1上是连续的，在开区间（ 0，1）上是可导的，又因为 （0） =（1）=0 ，根据罗尔定理可知，存在 x0（0，1），使得 （x 0）=0，即 x0f（x 0）= （）令 F（x）=xf（x）一 x1f（t）dt ，且由 f（x） 有 F（x）=xf（x）+f（x）+f （x）=2f （ x）+xf （x）0，即 F（x）在（0，1）内是严格单调递增的，从而 F（x）=0 的点 x=x0 一定唯一，因此（）中的点是唯一的。【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由题意f（u）=C1eu+C2eu，其中 C1，C 2 为任意常
17、数。【知识模块】 微积分27 【正确答案】 将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图 1417 所示。D=（x，y）|0x1，0yx，【知识模块】 微积分28 【正确答案】 应用分部积分法。 01dxx1f（x）f（y）dy= 01（ x1f（y）dy）f（x）dx= 01（ x1f（y）dy）d（ 1xf（t）dt）=A 201（ x1f（t ）dt ）d（ x1f（y）dy ）【知识模块】 微积分29 【正确答案】 因为 所以当 x21，即1 x 1 时，原幂级数绝对收敛。当 x=+1 时，级数为 显然收敛，故原幂级数的收敛域为1，l。因为又f（0） =0，所以 f（x）= 0f（t）dt+f （0）=arctanx。从而 S（x）=xarctanx，x1，1。即收敛域为 1，1，和函数 S（x）=xarctanx。【知识模块】 微积分
