1、考研数学三(无穷级数)模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 级数 (a0)( )(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与 a 有关2 设常数 k0,则级数 ( )(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)敛散性与 k 有关3 设 收敛,则下列级数必收敛的是( )4 设级数 都发散,则( )5 下列叙述正确的是( ) 6 设幂级数 的收敛半径分别为 R1,R 2,且 R1R 2,设(an+bn)xn 的收敛半径为 R0,则有( )(A)R 0=R2(B) R0=R1(C) R0R 2(D)R 0R 2二、填空题7 设 f(x)
2、= ,则 f(n)(0)=_8 幂级数 的收敛半径为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 判断级数 的敛散性10 判断级数 的敛散性11 判断级数 的敛散性12 判断级数 的敛散性13 设级数 收敛,又 anbncn(n=1,2,)证明:级数 收敛13 设 a1=2,a n+1= (n=1,2,)证明:14 存在;15 级数 收敛16 设 un0(n=1,2,), Sn=u1+u2+un证明: 收敛17 求幂级数 的收敛域18 求幂级数 的收敛域19 求幂级数 的和函数20 求幂级数 的和函数21 求级数 的收敛域与和函数22 求级数 y=x+ 的和函数23 将 f(x)=1
3、nx 展开成 x 一 2 的幂级数考研数学三(无穷级数)模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 收敛,所以收敛,即原级数绝对收敛,选(C)【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为绝对收敛,条件收敛,所以 条件收敛,选(C)【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 D【试题解析】 (un+un+1)收敛,因为 Sn=2(u1+u2+un)一 u1+un+1,而级数 un收敛,所以 (u1+u2+un)存在且 存在,由级数收敛的定义, (un+un+1)收敛,选(D)【知识模块】 无穷级数4
4、【正确答案】 D【试题解析】 选(D) 因为 (|un|+|n|)为正项级数,若 (|un|+|n|)收敛,因为0|un|un|+|n|,0| n|un|+|n|,根据正项级数的比较审敛法知,|n|都收敛,即 n 都绝对收敛,n 都收敛,矛盾【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不对,如 un=(一 3)n 一 1,显然发散;(B)不对,如 un=(一 1)nun 发散;(C)正确,因为=0,存在 N0,当 nN 时,0u n1,从而0unun1,由比较审敛法得 收敛;(D)不对,如 un=发散【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【知识模块】 无穷级数二、填空题
5、7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 【试题解析】 得 R=【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 令 因为根据比值审敛法,级数 收敛【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 由收敛【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 因为收敛,所以级数 收敛【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 由 anbncn,得 0bn 一 ancn 一 an,因为 (cn 一an)收敛,根据正项级数的比较审敛法得 (bn 一 an)收敛,又 bn=(bn 一 an)+an,则bn 收敛【
6、知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 因为 an+1= 1,又 an+1 一 an=0,所以a nn=1单调减少,而 an0,即a nn=1是单调减少有下界的数列,根据极限存在准则, an 存在【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 由(1)得 0 an 一 an+1,对级数 (an 一an+1),S n=(a1 一 a2)+(a2 一 a3)+(an 一 an+1)=2 一 an+1,因为存在,所以级数 (an 一 an+1)收敛,根据比较审敛法,级数 收敛【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 又S n)n=1单调增加,所以 存在,于是 收敛【知识模块】 无穷级
7、数17 【正确答案】 由 =1 得收敛半径为 R=1,当 x=一 1 时,发散;当 x=1 时, 收敛,故幂级数 的收敛域为(一 1,1【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 由 =3 得收敛半径为发散,所以级数的收敛域为【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 幂级数 nxn+1 的收敛半径为 R=1,收敛区间为(一 1,1)【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 令 x+1=t, =1 得收敛半径为 R=1,当 t=1 时,因为0,所以收敛区间为一 1t 1,从而一 2x0【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 令 x2+x+1=t,则级数化为的收敛半径为R=1,注意到 t=x2+x+1= ,又 t=1 时,级数由x2+x+11 得一 1z0,故级数 的收敛域为一 1,0令S(x)= ,x= 一 1,0 时,S(一 1)=S(0)=1,x(一 1,0)时【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数
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