1、考研数学三（无穷级数）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 级数 (a0)( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 a 有关2 设常数 k0，则级数 ( )（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性与 k 有关3 设 收敛，则下列级数必收敛的是( )4 设级数 都发散，则( )5 下列叙述正确的是( ) 6 设幂级数 的收敛半径分别为 R1，R 2，且 R1R 2，设(an+bn)xn 的收敛半径为 R0，则有( )（A）R 0=R2（B） R0=R1（C） R0R 2（D）R 0R 2二、填空题7 设 f(x)
2、 ，则 f(n)(0)=_8 幂级数 的收敛半径为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 判断级数 的敛散性10 判断级数 的敛散性11 判断级数 的敛散性12 判断级数 的敛散性13 设级数 收敛，又 anbncn(n=1，2，)证明：级数 收敛13 设 a1=2，a n+1= (n=1，2，)证明：14 存在；15 级数 收敛16 设 un0(n=1，2，)， Sn=u1+u2+un证明： 收敛17 求幂级数 的收敛域18 求幂级数 的收敛域19 求幂级数 的和函数20 求幂级数 的和函数21 求级数 的收敛域与和函数22 求级数 y=x+ 的和函数23 将 f(x)=1
3、nx 展开成 x 一 2 的幂级数考研数学三（无穷级数）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 收敛，所以收敛，即原级数绝对收敛，选(C)【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为绝对收敛，条件收敛，所以 条件收敛，选(C)【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 D【试题解析】 (un+un+1)收敛，因为 Sn=2(u1+u2+un)一 u1+un+1，而级数 un收敛，所以 (u1+u2+un)存在且 存在，由级数收敛的定义， (un+un+1)收敛，选(D)【知识模块】 无穷级数4
4、正确答案】 D【试题解析】 选(D) 因为 (|un|+|n|)为正项级数，若 (|un|+|n|)收敛，因为0|un|un|+|n|，0| n|un|+|n|，根据正项级数的比较审敛法知，|n|都收敛，即 n 都绝对收敛，n 都收敛，矛盾【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不对，如 un=(一 3)n 一 1，显然发散；(B)不对，如 un=(一 1)nun 发散；(C)正确，因为=0，存在 N0，当 nN 时，0u n1，从而0unun1，由比较审敛法得 收敛；(D)不对，如 un=发散【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【知识模块】 无穷级数二、填空题
5、7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 【试题解析】 得 R=【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 令 因为根据比值审敛法，级数 收敛【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 由收敛【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 因为收敛，所以级数 收敛【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 由 anbncn，得 0bn 一 ancn 一 an，因为 (cn 一an)收敛，根据正项级数的比较审敛法得 (bn 一 an)收敛，又 bn=(bn 一 an)+an，则bn 收敛【
6、知识模块】 无穷级数【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 因为 an+1= 1，又 an+1 一 an=0，所以a nn=1单调减少，而 an0，即a nn=1是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则， an 存在【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 由(1)得 0 an 一 an+1，对级数 (an 一an+1)，S n=(a1 一 a2)+(a2 一 a3)+(an 一 an+1)=2 一 an+1，因为存在，所以级数 (an 一 an+1)收敛，根据比较审敛法，级数 收敛【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 又S n)n=1单调增加，所以 存在，于是 收敛【知识模块】 无穷级
7、数17 【正确答案】 由 =1 得收敛半径为 R=1，当 x=一 1 时，发散；当 x=1 时， 收敛，故幂级数 的收敛域为(一 1，1【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 由 =3 得收敛半径为发散，所以级数的收敛域为【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 幂级数 nxn+1 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1)【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 令 x+1=t， =1 得收敛半径为 R=1，当 t=1 时，因为0，所以收敛区间为一 1t 1，从而一 2x0【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 令 x2+x+1=t，则级数化为的收敛半径为R=1，注意到 t=x2+x+1= ，又 t=1 时，级数由x2+x+11 得一 1z0，故级数 的收敛域为一 1，0令S(x)= ，x= 一 1，0 时，S(一 1)=S(0)=1，x(一 1，0)时【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数
