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[考研类试卷]考研数学三(概率统计)模拟试卷22及答案与解析.doc

1、考研数学三(概率统计)模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 F1(x)与 F2(x)为两个分布函数,其相应的概率密度 f1(x)与 f2(x)是连续函数,则必为概率密度的是(A)f 1(x)f2(x)(B) 2f2(x)F1(x)(C) f1(x)F2(x)(D)f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)2 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则PX2+Y21)=3 设 X1,X 2,X 3 是随机变量,且 X1N(0,1),X 2N(0,2 2),X 3N(5,3 2),pi=P一 2Xi2)(i

2、=1,2, 3),则(A)p 1p 2p 3(B) p2p 1p 3(C) p3p 1p 2(D)p 1p 3p 24 设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X 和 Y 的概率分布分别为则 PX+Y=2)=5 设 X 与 Y 独立且 XN(0,1),yN(1 ,1),则6 对任意两个随机变量 X 和 y,若 E(XY)=E(X)E(Y),则(A)D(XY)=D(X).D(Y)(B) D(X+Y)=D(X)+D(Y)(C) X 与 Y 独立(D)X 与 Y 不独立二、填空题7 随机变量 X 的密度为 f(x)= ,一 x,则 A=_。8 在一长为 l 的线段上的随机掷两点,使这个线段分成三段,则

3、这三段能构成三角形的概率为_。9 设 x 的密度为 ,一x+ ,则 X 的分布函数F(x)=_。10 设 X 与 Y 独立,右表列出(X,Y)的联合分布列和关于 X、Y 的边缘分布列中的部分数值,请填上空白处,并填空求 P(X+Y1)=_。PX+Y1|X0)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设二维随机变量(X,Y)服从区域 G 上的均匀分布,其中 G 是由 xy=0,x+y=2与 y=0 所围成的三角形区域。11 求 X 的概率密度 fX(x);12 求条件概率密度 fX|Y(x|y)。13 设(X,Y)是二维随机变量,X 的边缘概率密度为 ,在给定X=x(0x1)

4、的条件下 Y 的条件概率密度为 ()求(X , Y)的概率密度 f(x, y);()求 Y 的边缘概率密度 fY(x);()求 PX2Y) 。14 设 X 和 Y 独立同分布,且均服从区间(0,1)上的均匀分布,求 的分布函数 F(u)。15 设区域 D1 为以(0,0) , (1,1) , 为顶点的四边形,D 2 为以为顶点的三角形,而 D 由 D,与 D:合并而成。随机变量(X, Y)在 D 上服从均匀分布,求关于 X、Y 的边缘密度 fX(x)、f Y(y)。16 设 X 与 Y 独立同分布,P(X=1)=p (0,1),P(X=0)=1 一 p,令问 p 取何值时,X 与 Z 独立?(

5、约定:0 为偶数)17 设随机变量 X,Y,Z 相互独立,都服从指数分布,参数分别为 1, 2, 3(均为正),求 PX=min(X,Y, Z)。18 设随机变量(X,Y) 的概率密度为 问 X与 Y 是否独立?|X|与|Y|是否独立 ?19 函数 是否是某个二维随机变量(X,Y) 的分布函数?20 设 xN(0,1) ,当给定 X=x 时,YN(x ,1 一 2),(01)求(X,Y) 的分布以及给定 Y=y 时,X 的条件分布。21 证明:(1)若随机变量 X 只取一个值 a,则 X 与任一随机变量 Y 独立;(2)若随机变量 X 与自己独立,则存在 C,使得 P(X=C)=122 设(X

6、,Y)的分布函数为:求:(1)常数A,B,C ;(2)(X,Y) 的密度; (3)关于 X、Y 的边缘密度。23 设 X 的密度为 求:(1)常数 C 和 X 的分布函数F(x);(2)P(0X1)及 Y=e-|X|的密度 fY(y)。24 某种产品的次品率为 01,检验员每天独立地检验 6 次,每次有放回地取 10件产品进行检验,若发现其中有次品,则作一次记录(否则不记录)。设 X 为一天中作记录的次数,写出 X 的分布列。25 设 X 与 Y 独立且 XN(, 2),Y 服从区间 一 ,上的均匀分布,求 Z=X+Y的密度 fZ(z)。26 设在时间 t(分钟) 内,通过某路口的汽车数服从参

7、数为 t的泊松分布。已知 1 分钟内没有汽车通过的概率为 02,求在 2 分钟内有至少 1 辆汽车通过的概率。27 甲袋中有 2 个白球,乙袋中有 2 个黑球,每次从各袋中分别任取一球交换放入对方袋中,共交换 3 次。记 X 为经过 3 次交换后甲袋中的白球数,求 X 的分布列。28 设 X 服从参数为 1 的指数分布,求 Y=eX 的密度 fY(y)。29 已知随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 的数学期望 E(Y)。考研数学三(概率统计)模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 F1(x)=f1(

8、x),F 2(x)=f2(x)。且 F1(x)F2(x)为分布函数,那么F1(x)F2(x)= f1(x)F1(x)+F1(x)f2(x)为概率密度,故选(D) 。【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X,Y 的概率密度分别为又由 X 与 Y 独立,知(X,Y)的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY

9、)一 E(X)E(Y),可见(B)与 E(XY)=E(X)E(Y)是等价的。【知识模块】 概率与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 与正态分布的概率密度相比较,可知【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 如图 1 建立坐标系,题目中的线段即线段 Ol(图中),随机掷的两点坐标分别为 X 和 Y,由题意知 X 与 Y 独立同分布,均服从区间(0,1)上的均匀分布,(X,Y) 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明

10、、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 G 的面积 SG= 21=1,故(X,Y)的概率密度为:fX(x)=-+f(x,y)dyx0 或 x2时,f X(x)=0;0x1时,f X(x)=0xdy=x;1x 2 时,f X(x)=02-xdy=2 一 x【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 关于 Y 的边缘概率密度为:f Y(y)=-+f(x,y)dxy0 或 Y1时,fY(y)=0;0 y1 时,f Y(y)=y2-ydx=2(1 一 y)【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 ()f(x, y)=fX(x)fX|Y(y|x)()f Y(y)=

11、-+f(x,y)dxy0 或 y1时,fY(y)=0;【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 由题意,(X,Y)的概率密度为其中 D 见图 2 中阴影部分。【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 易算得 D1 的面积为 ,D 2 的面积为 ,故 D 的面积为(X,Y)的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 P(Z=0)=P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=2p(1 一 p)P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=1)=P(X=0,Y=0)+P(X=1 ,Y=1)=(1 一 p)2+p2 而 P(X=0,Z=0)=P(X=0,Y=

12、1)=P(X=0)P(Y=1)=p(1 一 p)如果 P(X=0,Z=0)=P(X=0)P(Z=0) ,则须p(1 一 p)=(1 一 p)2p(1 一 p)解得【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 由已知可得:(X,Y,Z)的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 关于 X 的边缘密度为 fX(x)=-+f(x,y)dy。【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 令 a=c=0,b=d :2,则 ab,cd,但 F(b,d) 一 F(a,d)一F(b,c)+F(a ,c)=1 1 一 1+0=一 10,可见 F(x,y)不是随机变量的分布函数。【知识模块】

13、概率与数理统计20 【正确答案】 由题意,X 的概率密度为 ,而已知 Xz 条件下,Y 的条件概率密度为 fY|X(y|x) ,故(X,Y)的概率密度为可见(X,Y) 服从二维正态分布,且 EX=EY=0,DX=DY=1,(X,Y)的相关系数为 ,故 YN(0,1),Y 的概率密度为 (y),故 Y=y 的条件下 X 的条件概率密度为yR1,x R1。【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 证明:(1)xa 时,P(Xx)=0,故 P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)=0;xa 时,P(Xx)=1,故 P(Xx,Yy)=P(yy)=P(Xx)P(Yy)。 R2,有P(Xx,Yy)=P

14、(Xx)P(yy),即 X 与 Y 独立;(2)由已知得: R2,有P(XX,Yy)=P(Xx)P(Yy),记 X 的分布函数为 F(x),则 F(x)=P(Xx)前式中令y=x 即得 F(x)=F(x)2,可见 F(x)只能取 0 或 1,又由 F(一)一 0,F(+)=1 ,知必存在 C(常数),使得 故 PX=C=1【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 设检验员取出的 10 件产品中有 Y 件次品,则 YB(10,01)(即 Y 服从参数为(10 ,0 1)的二项分布) ,而 X B

15、(6,P) ,其中 p=PY1=1 一Py=0一 PY=1=1 一 C10001 009 10-0 一 C10101 109 10-1=02639,故P(X=k)一 C6k02639 k07361 6-k,k=0,1,2, ,6。【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 X 可能取的值是 0,1,2 这三个值。记 Ai=经过 2 次交换后,甲袋中有 i 个白球),i=0,1,2则 P(A0)【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 X 的概率密度为 y 的分布函数为:F y(y)=P(Yy)=PeXy)。若 y0,则 FY(y)=0,则 fY(y)=FY(y)=0;若 y0,则 fY(y)=PXlny)=-lnyfx(x)dx,则 fY(y)=FY(y)=【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计

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