1、考研数学三（概率统计）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 F1(x)与 F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x)与 f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是（A）f 1(x)f2(x)（B） 2f2(x)F1(x)（C） f1(x)F2(x)（D）f 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)2 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则PX2+Y21)=3 设 X1，X 2，X 3 是随机变量，且 X1N(0，1)，X 2N(0，2 2)，X 3N(5，3 2)，pi=P一 2Xi2)(i
2、=1，2， 3)，则（A）p 1p 2p 3（B） p2p 1p 3（C） p3p 1p 2（D）p 1p 3p 24 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为则 PX+Y=2)=5 设 X 与 Y 独立且 XN(0，1)，yN(1 ，1)，则6 对任意两个随机变量 X 和 y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则（A）D(XY)=D(X).D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 与 Y 独立（D）X 与 Y 不独立二、填空题7 随机变量 X 的密度为 f(x)= ，一 x，则 A=_。8 在一长为 l 的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则
3、这三段能构成三角形的概率为_。9 设 x 的密度为 ，一x+ ，则 X 的分布函数F(x)=_。10 设 X 与 Y 独立，右表列出(X，Y)的联合分布列和关于 X、Y 的边缘分布列中的部分数值，请填上空白处，并填空求 P(X+Y1)=_。PX+Y1|X0)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设二维随机变量(X，Y)服从区域 G 上的均匀分布，其中 G 是由 xy=0，x+y=2与 y=0 所围成的三角形区域。11 求 X 的概率密度 fX(x)；12 求条件概率密度 fX|Y(x|y)。13 设(X，Y)是二维随机变量，X 的边缘概率密度为 ，在给定X=x(0x1)
4、的条件下 Y 的条件概率密度为 ()求(X ， Y)的概率密度 f(x， y)；()求 Y 的边缘概率密度 fY(x)；()求 PX2Y) 。14 设 X 和 Y 独立同分布，且均服从区间(0，1)上的均匀分布，求 的分布函数 F(u)。15 设区域 D1 为以(0，0) ， (1，1) ， 为顶点的四边形，D 2 为以为顶点的三角形，而 D 由 D，与 D：合并而成。随机变量(X， Y)在 D 上服从均匀分布，求关于 X、Y 的边缘密度 fX(x)、f Y(y)。16 设 X 与 Y 独立同分布，P(X=1)=p (0，1)，P(X=0)=1 一 p，令问 p 取何值时，X 与 Z 独立?(
5、约定：0 为偶数)17 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，都服从指数分布，参数分别为 1， 2， 3(均为正)，求 PX=min(X，Y， Z)。18 设随机变量(X，Y) 的概率密度为 问 X与 Y 是否独立?|X|与|Y|是否独立 ?19 函数 是否是某个二维随机变量(X，Y) 的分布函数?20 设 xN(0，1) ，当给定 X=x 时，YN(x ，1 一 2)，(01)求(X，Y) 的分布以及给定 Y=y 时，X 的条件分布。21 证明：(1)若随机变量 X 只取一个值 a，则 X 与任一随机变量 Y 独立；(2)若随机变量 X 与自己独立，则存在 C，使得 P(X=C)=122 设(X
6、，Y)的分布函数为：求：(1)常数A，B，C ；(2)(X，Y) 的密度； (3)关于 X、Y 的边缘密度。23 设 X 的密度为 求：(1)常数 C 和 X 的分布函数F(x)；(2)P(0X1)及 Y=e-|X|的密度 fY(y)。24 某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6 次，每次有放回地取 10件产品进行检验，若发现其中有次品，则作一次记录(否则不记录)。设 X 为一天中作记录的次数，写出 X 的分布列。25 设 X 与 Y 独立且 XN(， 2)，Y 服从区间 一 ，上的均匀分布，求 Z=X+Y的密度 fZ(z)。26 设在时间 t(分钟) 内，通过某路口的汽车数服从参
7、数为 t的泊松分布。已知 1 分钟内没有汽车通过的概率为 02，求在 2 分钟内有至少 1 辆汽车通过的概率。27 甲袋中有 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球，每次从各袋中分别任取一球交换放入对方袋中，共交换 3 次。记 X 为经过 3 次交换后甲袋中的白球数，求 X 的分布列。28 设 X 服从参数为 1 的指数分布，求 Y=eX 的密度 fY(y)。29 已知随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 的数学期望 E(Y)。考研数学三（概率统计）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 F1(x)=f1(
8、x)，F 2(x)=f2(x)。且 F1(x)F2(x)为分布函数，那么F1(x)F2(x)= f1(x)F1(x)+F1(x)f2(x)为概率密度，故选(D) 。【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知 X，Y 的概率密度分别为又由 X 与 Y 独立，知(X，Y)的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY
9、)一 E(X)E(Y)，可见(B)与 E(XY)=E(X)E(Y)是等价的。【知识模块】 概率与数理统计二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 与正态分布的概率密度相比较，可知【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 如图 1 建立坐标系，题目中的线段即线段 Ol(图中)，随机掷的两点坐标分别为 X 和 Y，由题意知 X 与 Y 独立同分布，均服从区间(0，1)上的均匀分布，(X，Y) 的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题解答应写出文字说明
10、、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 G 的面积 SG= 21=1，故(X，Y)的概率密度为：fX(x)=-+f(x，y)dyx0 或 x2时，f X(x)=0；0x1时，f X(x)=0xdy=x；1x 2 时，f X(x)=02-xdy=2 一 x【知识模块】 概率与数理统计12 【正确答案】 关于 Y 的边缘概率密度为：f Y(y)=-+f(x，y)dxy0 或 Y1时，fY(y)=0；0 y1 时，f Y(y)=y2-ydx=2(1 一 y)【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 ()f(x， y)=fX(x)fX|Y(y|x)()f Y(y)=
11、-+f(x，y)dxy0 或 y1时，fY(y)=0；【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 由题意，(X，Y)的概率密度为其中 D 见图 2 中阴影部分。【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 易算得 D1 的面积为 ，D 2 的面积为 ，故 D 的面积为(X，Y)的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 P(Z=0)=P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=2p(1 一 p)P(Z=1)=P(X+Y=0)+P(X+Y=1)=P(X=0，Y=0)+P(X=1 ，Y=1)=(1 一 p)2+p2 而 P(X=0，Z=0)=P(X=0，Y=
12、1)=P(X=0)P(Y=1)=p(1 一 p)如果 P(X=0，Z=0)=P(X=0)P(Z=0) ，则须p(1 一 p)=(1 一 p)2p(1 一 p)解得【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 关于 X 的边缘密度为 fX(x)=-+f(x，y)dy。【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 令 a=c=0，b=d ：2，则 ab，cd，但 F(b，d) 一 F(a，d)一F(b，c)+F(a ，c)=1 1 一 1+0=一 10，可见 F(x，y)不是随机变量的分布函数。【知识模块】
13、概率与数理统计20 【正确答案】 由题意，X 的概率密度为 ，而已知 Xz 条件下，Y 的条件概率密度为 fY|X(y|x) ，故(X，Y)的概率密度为可见(X，Y) 服从二维正态分布，且 EX=EY=0，DX=DY=1，(X，Y)的相关系数为 ，故 YN(0，1)，Y 的概率密度为 (y)，故 Y=y 的条件下 X 的条件概率密度为yR1，x R1。【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 证明：(1)xa 时，P(Xx)=0，故 P(Xx，Yy)=P(Xx)P(Yy)=0；xa 时，P(Xx)=1，故 P(Xx，Yy)=P(yy)=P(Xx)P(Yy)。 R2，有P(Xx，Yy)=P
14、(Xx)P(yy)，即 X 与 Y 独立；(2)由已知得： R2，有P(XX，Yy)=P(Xx)P(Yy)，记 X 的分布函数为 F(x)，则 F(x)=P(Xx)前式中令y=x 即得 F(x)=F(x)2，可见 F(x)只能取 0 或 1，又由 F(一)一 0，F(+)=1 ，知必存在 C(常数)，使得 故 PX=C=1【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计23 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 设检验员取出的 10 件产品中有 Y 件次品，则 YB(10，01)(即 Y 服从参数为(10 ，0 1)的二项分布) ，而 X B
15、(6，P) ，其中 p=PY1=1 一Py=0一 PY=1=1 一 C10001 009 10-0 一 C10101 109 10-1=02639，故P(X=k)一 C6k02639 k07361 6-k，k=0，1，2， ，6。【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 X 可能取的值是 0，1，2 这三个值。记 Ai=经过 2 次交换后，甲袋中有 i 个白球)，i=0，1，2则 P(A0)【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 X 的概率密度为 y 的分布函数为：F y(y)=P(Yy)=PeXy)。若 y0，则 FY(y)=0，则 fY(y)=FY(y)=0；若 y0，则 fY(y)=PXlny)=-lnyfx(x)dx，则 fY(y)=FY(y)=【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计
