1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A 与 B 满足条件 AB= ，则（ ）（A）AB=（B） AB=（C） AB=A（D）AB=B2 设 A 和 B 为任意两不相容事件，且 P（A）P （B ）0，则必有（ ）3 将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件 A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”； C=“反面最多出现一次 ”，则下列结论中不正确的是（ ）（A）A 与 B 独立（B） B 与 C 独立（C） A 与 C 独立（D）B C 与 A 独立4 设 F1（x）， F2（x）为两个分布函数
2、，其相应的概率密度 f1（x）与 f2（x）是连续函数，则必为概率密度的是（ ）（A）f 1（x）f 2（x）（B） 2f2（x）F 1（x）（C） f1（x）F 2（x）（D）f 1（x）F 2（x）+f 2（x）F 1（x）5 设随机变量 X 服从正态分布 N（ 1， 12），y 服从正态分布 N（ 2， 2），且P|X1| 1 P|Y 2| 1。（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 26 设随机变量 X 与 y 相互独立，且都服从区间（0 ，1）上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（ ）（A）X 2（B） XY（C） X+Y（D）（X，Y）7 已知随机变量
3、 X1 与 X2 相互独立且有相同的分布：PX i=一 1=PXi=1= （i=1，2 ），则（ ）（A）X 1 与 X1X2 独立且有相同的分布（B） X1 与 X1X2 独立且有不同的分布（C） X1 与 X1X2 不独立且有相同的分布（D）X 2 与 X1X2 不独立且有不同的分布8 已知随机变量 X 与 Y 均服从 01 分布，且 E（XY）= ，则 PX+Y1=（ ）9 设随机事件 A 与 B 互不相容，0P（A）1，0P （B）1，记X 与 Y 的相关系数为 ，则（ ）（A）p=0（B） p=1（C） p0（D）p010 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N（0， 2），已知 X
4、1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别取自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量Y= 服从 t（n）分布，则 等于（ ）二、填空题11 设 A、B 是两个随机事件，且 P（A）=_。12 如果用 X，Y 分别表示将一枚硬币连掷 8 次正反面出现的次数，则 t 的一元二次方程 t2 +Xt+Y=0 有重根的概率是 _。13 设随机变量 X 的分布函数为 已知 P一1x1= ，则 a=_，b=_。14 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=E（X 2）=_。15 随机变量 X 在 上服从均匀分布，令 Y=sinX，则随机变量 Y 的概率密度函数 fY（y
5、 ）=_。16 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且都服从 p= 的 01 分布，则随机变量Z=maxX，Y的分布律为_。17 已知随机变量 X 的概率密度为 f（x）= e|x| ，一 x+，则 D（X 2）=_。18 设随机变量 X 概率分布为 PX=k= （k=0 ，1 ，2），则 E（X 2）=_。19 假设随机变量 X 服从1，1上的均匀分布， a 是区间1，1上的一个定点，Y 为点 X 到 a 的距离，当 a=_时，随机变量 X 与 Y 不相关。20 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB（5，08），Y N （1，1），则根据切比雪夫不等式有 P0 X+Y10_。21 设总
6、体 X 的密度函数 f（x）= S2 分别为取自总体 X 容量为 n 的样本的均值和方差，则 =_;E（S 2）=_。22 设总体 X 的概率密度函数为 f（x；）= 其中 001是位置参数，c 是常数， X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则c=_； 的矩估计量 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 袋中有口个白球与 6 个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。24 设离散型随机变量 X 服从参数 p（0p1）的 01 分布。（）求 X 的分布函数 F（x）；（）令 Y=F（X），求 Y 的分
7、布律及分布函数 G（y）。25 已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 PX=一 1=并且 PX+Y=1=1，求：（）（X，Y）的联合分布；（）X 与 Y 是否独立？为什么？26 设随机变量 X 与 y 独立，X 在区间0，2上服从均匀分布，Y 服从参数为 2 的指数分布，求：（）二维随机变量（X，y）的联合概率密度；（）概率 PXY。27 设随机变量 X 的概率密度为 令y=X2，F （x，y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数。（）求 Y 的概率密度fY（ Y）；28 设随机变量 U 服从二项分布 B（2， ），随机变量求随机变量 XY 与 X+Y 的方差和 X 与 Y 的协方差。29 设
8、总体 X 的概率密度 f（x）= 其中 a 是常数，0 是未知参数，从总体 X 中抽取样本 X1，X 2，X n。求：（）常数 a；（）求 的最大似然估计量 。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由对称性可知选项 C、D 都不成立（否则，一个成立另一个必成立），而若选项 A 成立这与已知AB=AB 相矛盾，所以正确选项是 B。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 因为故应选C。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 试验的样本空间
9、有 8 个样本点，即 =（正，正，正），（正，反，反），（反，反，反）。显然 B 与 C 为对立事件，且依古典型概率公式有即 P（AB）=P（A ）P（B）。因此 A 与 B 独立，类似地 A 与 C 也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此 BC 与 A 也独立，用排除法知，应选 B。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f1（x）与 f2（x）均为连续函数，故它们的分布函数 F1（x）与F2（x）也连续。根据概率密度的性质，应有 f（x）非负，且 f（x）dx=1 。在四个选项中，只有 D 项满足。 +（x）F 2（x）+f 2（x）F 1（x）dx =
10、+F1（x）F2（x）dx =F 1 （x） F 2（x）| +=10=1， 故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 A【试题解析】 根据题干可知 P|X1| 1= P| Y 2| 1= 那么 即 其中（x）是服从标准正态分布的分布函数。因为 （x）是单调不减函数，所以即 1 2。故选项 A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 根据 X，Y 的独立性可知，（X，Y）的联合密度 f（x，y）=因此（X，Y）服从区域 D=（x，y）10 x 1，0y1 上的二维均匀分布，故选项 D 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 A
11、【试题解析】 根据题设知 X1X2 可取1，1，且 PX1X2=1=PX1=1，X 2=1+PX1=1，X 2=1=PX1=1PX2=1+PX1=1PX2=1 又 PX1=1，X 1X2=1=PX1=1，X 2=1= 所以 X1 与 X1X2 的概率分布为从而 X1 与 X1X2 有相同的分布且相互独立，故选项A 正确。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 X 与 Y 均服从 01 分布，所以可以列出（X，Y）的联合分布如下： 又已知 E（XY）= ，即 P22= ，从而PX+Y1=P11+P12+P21=1P22=，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理
12、统计9 【正确答案】 C【试题解析】 选项 B 不能选，否则选项 D 必成立。因此仅能在选项 A、C、D 中考虑，即考虑 p 的符号，而相关系数符号取决于 Cov（X ，Y）=E（XY）E（X）E （ Y），根据题设知 E（X）=P（A），E（Y ）=P（B），XY （因为 P（AB）=0），所以 Cov（X，Y）=E（X ）E（Y）0，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 根据 t 分布典型模式来确定正确选项。由于N （0，1）且相互独立，所以V= 2（n ）， U 与 V 相互独立，根据 t 分布典型模式知，【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11
13、 【正确答案】 【试题解析】 根据乘法公式 根据减法公式，有【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可得，“方程 t2+Xt+y=0 有重根” “X24Y=0” “X2=4Y”，其中 XB（8， ），Y=8X，所求的概率为 PX2=4Y=PX2=4（8X）=PX2 +4X32=0=P（ X+8）（X 一 4）=0=Px=4=C 84【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 由于 F（x）在任何一点都是右连续的，于是有 F（1+0 ）=F（1），即a+b= 又因 PX=1=P1 X1P1 X1=F（1）F（1） 于是有 F（10）=F（1）一
14、 PX=1= 即 a+b= 。 联立与解得【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 因为 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E（X）=D（X ）=1 。从而由 D（X=E（ X2）E 2（X）得 E（X 2）=2 。故 PX=E（X 2）=PX=2=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 首先求出 Y 的分布函数 FY（y）。由于 X 在 上服从均匀分布，因此 X 的概率密度函数 fX（x）与分布函数 FX（x）分别为FY（y） =Pyy=PsinXy。当1 y1 时，F Y（y）=PXarcsiny=FX（arcsiny）= 当 y1 时，F
15、 Y（y）=0；当 y1 时，F Y（y）=1。因此 Y 的概率密度函数 fY（y）为【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 根据题意显然 Z 也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且PZ=0=Pmax（X ，Y）=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1 一PZ=0= 所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 20【试题解析】 由于 D（X 2）=E（X 4）一 E2（X 2）。E（X 2）= +x2f（x）dx=20+x2 e|x|dx=0+x2exdx=2!，E （X 4） +x4f（x）dx=2 0+x4 e|x|
16、dx=0+x4exdx=4!，所以 D（X 2）=4!（2!） 2=244=20。【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 2【试题解析】 由概率密度的性质 即 PX=k= ， k=0，1，2，为参数为 1 的泊松分布，则有 E（X ）=1，D（X）=1，故E（X 2）=D （ X）+E 2（X ）=2。【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 0【试题解析】 已知 X 一 f（x）= E（X ）=0 ，依题意 Y=|Xa|，a 应使 E（XY ）=E（X）E（y）=0。其中【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 0928【试题解析】 因为 E（X）=4，D（X）=0
17、8，E（Y ）=1，DY=1 ，所以E（X+Y）=E（X）+E（Y）=5，D（X+Y）=D（ X）+D（Y ）=1 8。根据切比雪夫不等式，可得 P0 X+Y 10=P|X+Y5| 51 即 P0 X +Y 10 0928。【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 因为 E（S 2）=D（X ），则 E（X）=+xf（x）dx= 11x|x|dx=0，D（X）=E（X 2）E 2（X ）= +x2f（x）dx= 11x2|x| dx=201x3dx= ，【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【试题解析】 根据题意可知，【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解
18、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 设事件 A1 表示第一次取出的是白球，事件 A2 表示第二次取出的也是白球，事件 B1 表示第一次取出的是黑球，事件 B2 表示第二次取出的也是黑球。如果两次取出的球颜色相同，则用 A1A2+B1B2 表示。不放回抽取属于条件概率，即 P（A 1A2） =P （A 1）P （A 2|A1）=P（B 1）=即 P（B 1 B2）=P（B 2）P （B 2|B1）根据概率运算的加法原理，有P（A 1A2+B1B2）=P（A 1A2）+P（B 1B2）【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确
19、答案】 （）根据题设 PX+Y=1=1，即 PX=一 1，Y=2+JPX=0，Y=1+PX=1，Y=0=1，故其余分布值均为零，即 PX=一 1，Y=0=PX=一 1， Y=1=PX=0，Y=0=PX=0，Y=2=PX=1 ，Y=1=PX=1，Y=2=0，由此可求得联合分布为（）因为 PX=一 1， Y=0=0PX=一 1PY=0= 故 X 与 Y 不独立。【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 （）已知 X 在区间0，2上服从均匀分布， Y 服从指数分布e（2），因此可得 根据随机变量独立的性质，可得 （）当 x0 或者 x2 时，f（x，y）=0，因此区域 xy 为 y 轴和 x
20、=2 之间，且在直线y=x 上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 （）设 y 的分布函数为 FY（y），即 FY（y）=P （Yy）=P（X 2y），则（1）当 y0 时，F Y（y）=0；（2）当 0 y 1 时，F Y（y）=P（X 2 y）= （3）当 1 y 4 时，F Y（y）=P（X 2 y）=（4）当y4，F Y（y）=1。所以【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 先求出 X 与 Y 的概率分布及 XY 的概率分布。即其次计算 E（X），E （Y），D（X），D（Y）与 E（XY）。即E（XY）=PXY=1+PXY=1=0。最后应用公式可得D（X+Y） =D （X ）2Cov（X，Y ） +D（Y） =2 ，D（XY） =D（X）2Cov（X，Y） +D（Y ） =1。【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 （）由于（）设样本X1，X 2，X n 的一组取值为 x1，x 2，x n，则似然函数当xi0（i=1 ，2，n）时，取对数得【知识模块】 概率论与数理统计
