1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A 与 B 互不相容，则( )2 某射手的命中率为 p(0P1)，该射手连续射击 n 次才命中 k 次(kn)的概率为( )（A）p k(1 一 p)n 一 k（B） CnkPk(1 一 p)n 一 kP（C） Cn 一 1k 一 1PpkP(1 一 p)n 一 kP（D）C n 一 1k 一 1p 一 k 一 1P(1 一 P)n 一 kP3 设两两独立且概率相等的三事件 A，B，C 满足条件则 P(A)的值为( )4 对于任意两事件 A 和 B，与 AB=B
2、 不等价的是( )5 假设 X 为随机变量，则对任意实数 a，概率 PX=a=0 的充分必要条件是( )（A）X 是离散型随机变量（B） X 不是离散型随机变量（C） X 的分布函数是连续函数（D）X 的概率密度是连续函数6 设相互独立的两随机变量 X 与 Y 均服从分布 B(1， )，则 PX2Y=( )7 设相互独立的两随机变量 X，Y 均服从 E(1)分布，则 Plmin(X ，Y)2的值为( )（A）e 一 1（B） 1 一 e 一 1（C） 1 一 e 一 2（D）e 一 2 一 e 一 48 对于任意两随机变量 X 和 Y，与命题“X 和 Y 不相关” 不等价的是( )（A）E(X
3、Y)=E(x)E(Y) （B） Cov(X，Y)=0（C） D(XY)=D(X)D(Y)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)9 已知随机变量 X 与 y 的相关系数大于零，则( )（A）D(X+Y)D(X)+D(Y)（B） D(X+Y)D(X)+D(Y) （C） D(XY)D(X)+D(Y)（D）D(XY) D(X)+D(Y) 10 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 是样本均值，记 则可以作出服从自由度为 n 一 1 的 t 分布统计量( )11 设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，其中 已知， 未知，X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的简单
4、随机样本，则不能作出统计量( )二、填空题12 每箱产品有 10 件，其中次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p=_13 袋中有 8 个球，其中 3 个白球、5 个黑球，现随意从中取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球、2 个黑球，试验停止否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球、2 个黑球为止，用 X 表示抽取次数，则 P(X=k)=_(后=1，2， )14 设 X 服从参数为
5、 的泊松分布， Px=1=PX=2，则概率 P0X 23=_15 若 为随机变量 X 的概率密度函数，则 a=_16 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2)，则 Pmax(X，Y) 一Pmin(X，Y)=_17 设(X，Y)N(，； 2， 2；0) ，则 PXy=_18 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 04，则 X2 的数学期望 E(X2)=_19 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 09，若 Z=2X1，则 Y 与 Z 的相关系数为_20 已知总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X 2， ，X 2n 是取自总体 X 容量为 2
6、n的简单随机样本，当 2 未知时，Y= (X2iX2i 一 1)2 为 2 的无偏估计，则C=_， D(Y)=_21 设 X1，X 2，X n 为来自区间一 a，a 上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，则参数 a 的矩估计量为 _22 设总体 XN( 1， 12)，总体 YN( 2， 22)，其中 12， 22；未知，设x1，x 2，x n1 是来自总体 X 的样本，y 1，y 2， ，y n2 是来自总体 Y 的样本，两样本独立，则对于假设检验 H0： 2=2H 1： 12，使用的统计量为_，它服从的分布为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 为了减少比赛场次，把 20
7、 个球队任意分成两组(每组 10 队)进行比赛，求最强的两队被分在不同组内的概率24 电话总机为 300 个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于 001，求在一小时内有 4 个用户使用电话的概率(先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差)25 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 Px=i= (i=一 1，0，1)，Y 的概率密度为 记 Z=X+Y ()求 Z的概率密度 fZ(z)26 设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，当 X 取到 x(0x1)时，随机变量 Y 等可能地在(x，1) 上取值试求：()(X，Y) 的联合概率密度；()关于
8、Y 的边缘概率密度函数；()PX+Y127 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布( )求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)；()求边缘密度函数 fX(x),FY(y)及条件密度函数 fX|Y(x|y)，f Y|X(y|x)；并问 X 与 Y 是否独立；()计算概率PX0，Y0，28 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现随机地取 16 只，设它们的寿命是相互独立的求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率29 设总体 X 的概率密度为 其中 0，如果取得样本观测值为 x1，x 2，x n，求
9、参数 的矩估计值与最大似然估计值30 设随机变量 X 与 Y 相互独立且分别服从正态分布 N(， 2)与 N(，2 2)，其中 是未知参数且 0，设 Z=XY，()求 Z 的概率密度 f(z， 2)；()设z1，z 2，z n 为来自总体 Z 的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 已知 因此选项 A、B 不能选由于 故选 D【知识模块】 概率与数理统计2 【正确答案】 C【试题解析】 n 次射击视为 n 次重复独立试验，每次射击命中概率为 p
10、，没有命中的概率为 1 一 p，设事件 A=“射击 n 次命中 k 次”=“前 n 一 1 次有 k 一 1 次击中，且第 n 次也击中 ”，则 P(A)=Cn 一 1k 一 1pk 一 1n(1 一 p)n 一 1 一(k 一 1)p=C n 一 1k 一 1pk(1一 p)n 一 k应选 C【知识模块】 概率与数理统计3 【正确答案】 A【试题解析】 设 P(A)=x，则 P(A)=P(B)=P(C)=x，且 P(AB)=P(BC)=P(AC)=x2，由公式 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(BC)一 P(AC)+P(ABC)【知识模块】 概率与数理统计4 【
11、正确答案】 D【试题解析】 选项 A、B、C 均与 AB=B 等价，当 AB 时，由 AB=B 不能推得选项 D这表明 AB=B 与 不等价，故选 D【知识模块】 概率与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 对任意实数 a 有 PX=a=0 是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项 B、D 不能选，又离散型随机变量必有 a 使 PX=a0，选项 A 不能选，故正确选项是 C事实上，PX=a=0 F(a)一 F(a0)=0 对任意实数a，F(a)=F(a 一 0) F(x)是 x 的连续函数【知识模块】 概率与数理统计6 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计7
12、【正确答案】 D【试题解析】 P1min(X，Y)2=Pmin(X，Y) 1一 Pmin(X，Y)2 =PX1，Y1一 PX2，Y2 =PX1PY1一 Px2PY2 =e 一1e 一 1e 一 2e 一 2=ee 一 4 故选项 D 正确【知识模块】 概率与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0 是“X 和 Y 不相关”的充分必要条件，所以 A 与 B 等价，由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项 B 与 D 等价于是，“X 和 Y 不相关”与选项 A，B 和 D等价，故应选 C【知识模块
13、】 概率与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 根据公式 D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X，Y) 确定正确选项由于 X与 Y 的相关系数 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) D(X)+D(Y)D(XY)=D(X)+D(Y)一 2Cov(X，Y)D(X)+D(Y)应选 D【知识模块】 概率与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 2 未知，故选 C【知识模块】 概率与数理统计二、填空题12 【正确答案】 0892【试题解析】 设事件 A=“一箱产品能够通过验收”，则 P(A)=p事件 B=“
14、任取一件产品为正品”， =“任取一件产品为次品”，则 依题设可知【知识模块】 概率与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 若设事件 Ai=“第 i 次取出 4 个球为 2 个白球、2 个黑球”，由于是有放回取球，因此 Ai 相互独立，根据超几何分布知【知识模块】 概率与数理统计14 【正确答案】 2e 一 2【试题解析】 ，解得 A=2，所以 P0X 23=PX=1=2e 一 2【知识模块】 概率与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计16 【正确答案】 0【试题解析】 Pmax(X ， Y)一 Pmin(X，Y)=1 一 Pmax(X，Y)一1一 Pmin
15、(X，Y)=一 Pmax(X，Y)+Pmin(X，Y= 一 PX，Y+PX，Y=一 PX+PX，Y+PX，Y= 一 PX+PY，因为 X 与 Y 均服从正态分布 N(， 2)，所以【知识模块】 概率与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计18 【正确答案】 184【试题解析】 根据题意可知，X 服从 n=10，P=04 的二项分布，因此有 E(X)=np=4，D(X)=np(1 一 p)=24， 因此 E(X2)=D(X)+E2(X)=184【知识模块】 概率与数理统计19 【正确答案】 09【试题解析】 Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X 一 1)=2Cov(
16、X，Y) ，D(Z)=D(2X 一 1)=4D(X)Y 与 Z 的相关系数 YZ 为【知识模块】 概率与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 根据 E(Y)=2 求得 C，为此需要先求出 X2i 一 X2i 一 1 分布由于XiN(， 2)，且相互独立，故 X2iX2i 一 1N(0，2 2)，E(X 2iX2i1)2=D(X2iX2i1)+E(X2iX2i1)2=22【知识模块】 概率与数理统计21 【正确答案】 【试题解析】 因为 E(X)=0，不能用一阶矩来估计【知识模块】 概率与数理统计22 【正确答案】 u 统计量；N(0，1)【试题解析】 【知识模块】 概率与数理统计三、解答题
17、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 先考虑总的基本事件数是从 20 个球队里任意选取 10 个，再考虑有利事件的基本事件数，即从 2 个强队里任意选出一组，再从剩余的 18 个队中任意选出 9 组的选法数从 20 个球队里任意选出 10 个队分成一组，剩余的 10 个队为第二组的总的基本事件数为 N=C2010 用事件 A 表示两个强队不在同一组内，则可以先从这两个强队中任意选出一队，再从剩余的 18 个队中任意选出 9 组，则事件A 的基本事件数为 M=C21C189，则最强的两队被分在不同组内的概率为【知识模块】 概率与数理统计24 【正确答案】 一小时内使用电话的
18、用户数量作为随机变量 X，则XB(300，001)，概率函数为 p(x；300，001)=C 300x(001) x(099) 300 一 x一小时内有 4 个用户使用电话的概率为 p(4；300，001)=C 3004(001) 4(099)29601689，X 近似服从泊松分布，=np=300001=3，泊松分布的概率函数为一小时内有 4 个用户使用电话的概率为 P(X=4)=p(4；3)= 0 1680，二者的相对误差为 5【知识模块】 概率与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率与数理统计26 【正确答案】 () 根据题设 X 在(0，1) 上服从均匀分布，因此其概率密度函数为
19、 而变量 Y，在 X=x 的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度()根据求得的联合概率密度，不难求出关于 Y 的边缘概率密度【知识模块】 概率与数理统计27 【正确答案】 () 由于以(0，0) ，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形面积为 1，如图 42 所示，故【知识模块】 概率与数理统计28 【正确答案】 根据独立同分布中心极限定理，假设 X 表示电器元件的寿命，则X 的概率密度为 随机取出 16 只元件，其寿命分别用X1，X 2，X 16 表示，且它们相互独立，同服从均值为 100 的指数分布，则 16只元件的寿命的总和近似服从正态分布设寿命总和为 其中 E(Xi)=100， D(Xi)=1002，由此得由独立同分布中心极限定理可知，Y 近似服从正态分布 N(1600，16100 2)，于是【知识模块】 概率与数理统计29 【正确答案】 考虑总体 X 的一阶原点矩两边同时取对数，并对参数 求导，令导函数取值为 0，解上述含参数 的方程，得到 的最大似然估计值为【知识模块】 概率与数理统计30 【正确答案】 () 因为 XN(， 2)，YN( ， 22)，且 X 与 Y 相互独立，故Z=XYN(0，3 2)，【知识模块】 概率与数理统计
