1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 22及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知随机向量(X 1 ，X 2 )的概率密度为 f 1 (x 1 ，x 2 )，设 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = X 2 ，则随机向量(Y 1 ，Y 2 )的概率密度为 f 2 (y 1 ，y 2 )= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（分数：2.00）A.(X，Y)是服从均匀分布的二维随机
2、变量B.Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C.Z=XY 是服从均匀分布的随机变量D.Z=X 2 是服从均匀分布的随机变量4.设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，则随机变量 Z=YX 的概率密度 f z (z)= ( )（分数：2.00）A. f(x，zx)dxB. f(x，xz)dxC. f(x，z+x)dxD. f(x，z+x)dx5.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0， 1 2 )，YN(0， 2 2 )，则概率 PXY1( )（分数：2.00）A.随 1 与 2 的减少而减少B.随 1 与 2 的增加而增加C.随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加D.随
3、 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少6.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0，1)，YB(n，p)(0p1)，则 X+Y的分布函数( )（分数：2.00）A.为连续函数B.恰有 n+1个间断点C.恰有 1个间断点D.有无穷多个间断点二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.设随机变量 x与 y相互独立，且都服从参数为 1的指数分布，则随机变量 Z= （分数：2.00）填空项 1:_8.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X表示同时需要调整的部件数，则 X的方差 DX为 1（分数：2.00）填空项 1:_
4、9.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 y服从参数为 1的指数分布，记 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，即 Px=k= （分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 100 独立同分布，且 EX i =0，DX i =10，i=1，2，100，令 = （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X和 Y均服从 B(1， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_
5、15.设随机变量 X的概率密度为 已知 EX=2，P(1X3)= （分数：2.00）_16.设(X，Y)的概率密度为 求 Z= （分数：2.00）_17.在长为 L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差（分数：2.00）_18.设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N(0， （分数：2.00）_19.设随机变量 X与 Y独立同分布，均服从正态分布 N(， 2 )，求： (1)maxX，Y的数学期望； (2)minX，Y的数学期望（分数：2.00）_20.设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k)=q k1 p，k=1，2，求 E(maxX，Y)（分数：2.00）_21.设连
6、续型随机变量 X的所有可能值在区间a，b之内，证明：(1)aEXb；(2)DX （分数：2.00）_22.对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，求产生故障仪器的台数 X的数学期望和方差（分数：2.00）_23.一商店经销某种商品，每周进货量 X与顾客对该种商品的需求量 Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1 000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_24.袋中有 n张卡片，分别记有号码 1，
7、2，n，从中有放回地抽取 k张，以 X表示所得号码之和，求EX，DX（分数：2.00）_25.设 X与 Y为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=Ey(a+bX) 2 ，求 a，b 使 Q(a，b)达到最小值 Q min ，并证明： （分数：2.00）_26.设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求 XY 和 YZ 的相关系数（分数：2.00）_27.将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X表示经重排后还在原位置上的数字的个数(1)求 X的分布律；(2)计算 EX和 DX（分数：2.00）_28.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.0
8、0）_29.设随机变量 U在2，2上服从均匀分布，记随机变量 （分数：2.00）_30.设随机变量 X在(0，3)内随机取值，而随机变量 y在(X，3)内随机取值，求协方差 Cov(X，Y)（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 22答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知随机向量(X 1 ，X 2 )的概率密度为 f 1 (x 1 ，x 2 )，设 Y 1 =2X 1 ，Y 2 = X 2 ，则随机向量(Y 1 ，Y 2 )的概
9、率密度为 f 2 (y 1 ，y 2 )= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设(X 1 ，X 2 )的分布函数为 F 1 (x 1 ，x 2 )，(Y 1 ，Y 2 )的分布函数为 F 2 (y 1 ，y 2 )，则 F 2 (y 1 ，y 2 )=PY 1 y 1 ，Y 2 y 2 =P2X 1 y 1 ， X 2 y 2 = 所以 3.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，则 ( )（分数：2.00）A.(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量 B.Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C.Z=XY 是服从均匀分布的随机变量D.Z=X 2 是服从均匀分
10、布的随机变量解析：解析：当 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布时，(X，Y)的概率密度为4.设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)，则随机变量 Z=YX 的概率密度 f z (z)= ( )（分数：2.00）A. f(x，zx)dxB. f(x，xz)dxC. f(x，z+x)dx D. f(x，z+x)dx解析：解析：记 Z的分布函数为 F Z (z)，则 F Z (z)=PZz=PYXz= (x，y)dxdy = dx x+z f(x，y)dy， 其中 D z =(x，y)yxz如图 3-1的阴影部分所示， x+z f(x，y)dy z f(x，u+x)du 将
11、代入得 F Z (z)= dx z f(x，u+x)du= z du f(x，u+x)dx： 于是 f Z (z)= = f(x，z+x)dx 因此本题选(C) 5.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0， 1 2 )，YN(0， 2 2 )，则概率 PXY1( )（分数：2.00）A.随 1 与 2 的减少而减少B.随 1 与 2 的增加而增加C.随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加 D.随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少解析：解析：由 XN(0， 1 2 )，YN(0， 2 2 )且独立知 XYN(0， 1 2 + 2 2 )，从而 PXY1=P1XY1= 由于 (x)是
12、 x的单调增加函数，因此当 1 增加时，2( )1 减少； 当 2 减少时 2( 6.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XN(0，1)，YB(n，p)(0p1)，则 X+Y的分布函数( )（分数：2.00）A.为连续函数 B.恰有 n+1个间断点C.恰有 1个间断点D.有无穷多个间断点解析：解析：记 Z=X+Y，则 Z的分布函数二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.设随机变量 x与 y相互独立，且都服从参数为 1的指数分布，则随机变量 Z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f Z (z)= ）解析：解析：X 的概率密度为 f(x)= f Z (z)= xf(x)
13、f(xz)dx， 其中xf(x)f(xz)=所以 f Z (z)= 8.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 010，020，030，设备部件状态相互独立，以 X表示同时需要调整的部件数，则 X的方差 DX为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：046）解析：解析：X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且 PX=0=(1010)(1020)(1030)=0504， PX=1=(1010)(1020)030+(1010)(1030)020+(1020)(1030)010=0398， PX=2=(1010)020030+(1020)010030+(1
14、030)010020=0092 PX=3=010020030=0006 所以EX=00504+10398+20092+30006=06， E(X 2 )=0 2 0504+1 2 0398+2 2 0092+3 2 0006=082 DX=E(X 2 )(EX) 2 =082(06) 2 =0469.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设随机变量 y服从参数为 1的指数分布，记 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：EX 1 =PY1= 1 + e y dy=e 1 ，EX 2 =PY2=
15、2 + e y dy=e 2 ，所以 E(X 1 +X 2 )=EX 1 +EX 2 =e 1 +e 2 = 11.已知离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，即 Px=k= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：EZ=3EX2=412.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 100 独立同分布，且 EX i =0，DX i =10，i=1，2，100，令 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：990）解析：解析：E(X i )=EX i E =0， 故 13.设随机变量 X和 Y均服从 B(1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
16、答案：正确答案：1）解析：解析：由题设 DX=DY= ， D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X，Y)= +2Cov(X，Y)=1， 于是有 Cov(X，Y)= ，=三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设随机变量 X的概率密度为 已知 EX=2，P(1X3)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 解方程组 得 (2) )解析：16.设(X，Y)的概率密度为 求 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.在长为 L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差（分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案：以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为 X，Y，则它们均在0，L上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立 E(XY)= xyf(x，y)dxdy E(XY) 2 所以 D(XY)= )解析：18.设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Z=XY，则 ZN(0，1)故 E(XY)=E(Z)= = E(XY) 2 =E(Z 2 )=DZ=1， 所以 D(XY)=E(XY 2 )(EXY 2 )=1 )解析：19.设随机变量 X与 Y独立同分布，均服从正态分布 N(， 2 )，求： (1)maxX，Y的数
18、学期望； (2)minX，Y的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 ，则 U和 V独立同服从正态分布 N(0，1)， X=U+，Y=V+，maxX，Y=(maxU，V)+， 而 maxU，V= (U+V+UV)， 所以 E(maxU，V)= 又 UVN(0，2)，故 E(UV)= 所以 E(maxX，Y)=+ (2)由(1)得：minX，Y=(minU，V)+，而 minU，V= (U+V UV)则E(minU，V)= 所以 E(minX，Y)= )解析：20.设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k)=q k1 p，k=1，2，求 E(maxX，Y)（分数：
19、2.00）_正确答案：(正确答案：PmaxX，Y=n=PX=n，Yn)+PXn，Y=n =PX=nPYn+PXnPY=n E(maxX，Y) )解析：21.设连续型随机变量 X的所有可能值在区间a，b之内，证明：(1)aEXb；(2)DX （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 aXb，所以 EaEXEb，即 aEXb (2)因为对于任意的常数 C有 DXE(XC) 2 ， 取 C= ，则有 DX )解析：22.对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，求产生故障仪器的台数 X的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分
20、布为 由此计算 EX和 DX相当麻烦，我们利用期望的性质进行计算 设 X i = i=1，2，3 X i 的分布如下： 于是 EX i =P i ，DX i =p i (1p i )，i=1，2，3 故 EX= =p 1 +p 2 + p 3 ；DX= )解析：23.一商店经销某种商品，每周进货量 X与顾客对该种商品的需求量 Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1 000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设
21、T为一周内所得利润，则 ET=Eg(X，Y)= g(x，y)f(x，y)dxdy， 其中 所以 )解析：24.袋中有 n张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k张，以 X表示所得号码之和，求EX，DX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i 为“第 i张的号码”，i=1，2，k，则 X i 的分布为 则 所以 )解析：25.设 X与 Y为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=Ey(a+bX) 2 ，求 a，b 使 Q(a，b)达到最小值 Q min ，并证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Q(a，b)=Ey(a+bX) 2 =D(YabX)+E(Ya
22、bX) 2 =DY+b 2 DX2bCov(X，Y)+(EYbEXa) 2 ， =2(EYbEXa)=0， =2bDX2Cov(X，Y)2EX(EYbEXa)=0 解方程组 得 b= ，a=EYbEX 此时 Q min =EY(a+bX) 2 =DY+ =DY )解析：26.设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求 XY 和 YZ 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(XY，YZ)=Cov(X，Y)Cov(X，Z)Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=Dy=1， D(XY)=D(YZ)=2 所以 XY 与 YZ 的相关系数为 = )解析：
23、27.将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X表示经重排后还在原位置上的数字的个数(1)求 X的分布律；(2)计算 EX和 DX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)记 A i =数字 i在原位置上，i=1，2，n，则 A i 表示至少有一个数字在原位置上则 显然有 (2)令 X i = i=1，2，n， 则有 X= X i ，而 E(X i 2 )=EX i =PX i =1= E(X i X j )=PX i X j =1=PX i =1，X j =1= 最后得 EX= =1， DX= =1+n(n1)PX i X j =11=1+n(n1) )解析：28.设二维随机变量(
24、X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)D(XY)=E(X 2 Y 2 )E(XY) 2 ， 其中 E(XY)= E(X 2 Y 2 )= 所以，D(XY)= (2)Cov(3X+Y，X2y)=3DX5Cov(X，Y)2DY =3DX5E(XY)+5EXEY2DY =DX5 +5(EX) 2 (这里利用 EX=EY，DX=DY) =E(X 2 )+4(EX) 2 (X，Y)关于 X的边缘概率密度 由此得到 EX= 于是 Cov(3X+Y，X2y)= )解析：29.设随机变量 U在2，2上服从均匀分布，记随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X，
25、Y 的全部可能取值都为1，1，且 PX=1，Y=1=PU1，U1=PU1= ， PX=1，Y=1=PU1，U1=0， PX=1，Y=1=PU1，U1=P1U1= ， PX=1，Y=1=PU1，U1=PU1= ， 所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为 从而 E(XY)=(1)(1) +(1)10+1(1) =0 EX=(1) 故 Cov(X，Y)=E(XY)EX.EY=0 0所以 X与 Y不独立 (2)DX(1+Y)=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X，XY) =DX+D(XY)+2E(X 2 Y)2EXE(XY) 其中 EX= E(X 2 )=(1) 2 此外，由于 XY及 X 2
26、 Y的分布律分别为 将代入得 DX(1+Y)= )解析：30.设随机变量 X在(0，3)内随机取值，而随机变量 y在(X，3)内随机取值，求协方差 Cov(X，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度 f X (x)= 在 X=x(0，3)的条件下，f YX (yx)= 于是(X，Y)的概率密度为 f(x，y) 由此可得 其中 D如图 3-15所示 由于 f Y (y)= f(x，y)dx 所以 EY= 0 3 y ln3ln(3y)dy = 0 3 yln3dy+ 0 3 (3y)ln(3y)3 0 3 ln(3y)dy = 所以，Cov(X，Y)=E(XY)EXEY= )解析：
