1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题不正确的是( )（A）若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立（B）常数与任何随机变量独立（C）若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立（D）若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容2 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有 ( )（A）F(a)=1 0af(x)dx（B） F(a)= 0af(x)dx（C） F(a)=F(a)（D）F(a)=2F(a)13
2、若(X，Y) 服从二维正态分布，则 X，Y 一定相互独立； 若 XY=0，则X，Y 一定相互独立； X 和 Y 都服从一维正态分布； X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（A）（B） （C） （D）4 设 Xt(n) ，则下列结论正确的是( ) （A）X 2F(1，n)（B） 1X 2F(1，n)（C） X2 2(n)（D）X 2 2(n1)二、填空题5 设 P(A)=06，P(A )=02，P( B)=03，则 P(A+ )=_6 设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为_7 设随机变量(X，Y) 的
3、联合密度为 f(x，y)= ，则 P(X5|Y3)=_8 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，则 E(X)=_，D(X)=_9 设随机变量 X，Y 不相关，XU(3，3)，Y 的密度为 fY(y)=根据切比雪夫不等式，有 P|XY|3_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率11 有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取 4 个球，设 4 个球中的黑球
4、数用 X 表示，求 X 的分布律11 设随机变量 X 满足|X|1 ，且 P(x=1)=1 8，P(X1)=14，在1X1发生的情况下，X 在(1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比12 求 X 的分布函数；13 求 P(X0)14 设 求矩阵 A 可对角化的概率15 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，Y P(2)，求 P(maxX，Y0)及P(minX，Y0)15 n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：16 试开过的钥匙除去；17 试开过的钥匙重新放回18 设一部机器一天内发生故障的概率为
5、15，机器发生故障时全天停止工作若一周 5 个工作日无故障，则可获利 10 万元；发生一次故障获利 5 万元；发生两次故障获利 0 元；发生三次及以上的故障亏损 2 万元，求一周内利润的期望值19 电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于 095?20 设总体 XN(0，1) ，(X 1，X 2，X m，X m+1， ，X mn )为来自总体 X 的简单随机样本，求统计量 所服从的分布21 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 为来自总体
6、X 的简单随机样本，Xi，S 2= 所服从的分布21 设 X1，X 2，X n(n2)是来自总体 XN(0 ，1)的简单随机样本，记 Yi=Xi(i=1，2，n)求：22 D(Yi)；23 Cov(Y1，Y n)24 设总体 XN(， 12)， YN( ， 22)，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 ，样本方差为 S12，S 22记 a= ，求统计量U=a 的数学期望25 设总体 XU0， ，其中 0，求 的极大似然估计量，判断其是否是 的无偏估计量26 某生产线生产白糖，设白糖重量 XN(，15 2)，现从生产线上任取 10 袋，s=3023，在显著性水平 =005 下，问
7、机器生产是否正常 ?考研数学一（概率统计）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 P(A)=0 时，因为 AB A，所以 P(AB)=0，于是 P(AB)=P(A)P(B)，即 A，B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)=1，则 P( ，B 独立，则A，B 也独立；因为 P(A+B)=P(A)+P(B)，得 P(AB)=0，但 AB 不一定是不可能事件，故选(D) 【知识模块】 概率统计2 【正确答案】 B【试题解析】 F( a)= a f(x)dx a+rf(t)dt= a+f(t)dt=1 af(t)
8、dt=1( a f(t)dt+a af(t)dt)=1F(a) 2 0af(t)dt 则 F(a)= 0af(x)dx，选(B)【知识模块】 概率统计3 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选(B)【知识模块】 概率统计4 【正确答案】 A【试题解析】 由 Xt(n)，得 X= ，其中 UN(0 ，1)，V 2(n)，且 U，V 相互独立，于是 X2= F(1，n)，选(A)【知识模块】 概率统计二、填空题5 【正确答案】 14【试题解析】 由 P(A )=P(AB)=P
9、(A)P(AB)=02 及 P(A)=06 得 P(AB)=0 4，再由 P( B)=P(BA)=P(B)P(AB)=03 得 P(B)=07，【知识模块】 概率统计6 【正确答案】 15【试题解析】 令 A=第一件产品合格，B=第二件产品合格，则所求概率为【知识模块】 概率统计7 【正确答案】 【试题解析】 P(X 5|Y3)【知识模块】 概率统计8 【正确答案】 12【试题解析】 因为 f(x) 所以 XN(1 ，12)，于是 E(X)=1，D(X)=12【知识模块】 概率统计9 【正确答案】 25【试题解析】 E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0，D(Y)=125，则 E(XY)=0
10、，D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X ，Y)=27 5，所以 P(|XY|3)=P(|(XY)E(X Y)|3)1 =25【知识模块】 概率统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 设甲乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)，则两船不需要等待的充分必要条件是 令 D=(x，y)|0x24，0y24，则D1=(x，y)|yx1，xy2，(x，y) D，则两船不需要等待的概率为【知识模块】 概率统计11 【正确答案】 设 A=从甲袋中取出黑球 ，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i=Bi(i=0，1，2，3)，则 P(X=0)=P(B0)
11、=P(A)P(B0|A)+P(P(X=1)=P(B1)=P(A)P(B1|A)+P(P(X=2)=P(B2)=P(A)P(B2|A)+P(P(X=3)=P(B3)=P(A)P(B3|A)+P(所以 X 的分布律为【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计12 【正确答案】 当 x1 时，F(x)=0 ；当 x=1 时，F(1)=1 8；因为P(1X1)=1 =58，所以在 1X1( 1x1)发生下，P(1Xx|1X1)= ，于是当1x1 时，P(1Xx)=P(1Xx，1x1)=P( 1X1)P(1Xx|1x1)F(x)=P(Xx)=P(X1)+P(1Xx)当 x1 时，F(x)=1 ，【知识
12、模块】 概率统计13 【正确答案】 P(X0)=F(0)=7 16【知识模块】 概率统计14 【正确答案】 由|EA| =(1)(2)(Y)=0 得矩阵A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=Y若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化；当Y=1 时， =1 为二重特征值，因为 r(EA)=2，所以 A 不可对角化；当 Y=2 时， =2 为二重特征值，因为 r(2EA)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)=23【知识模块】 概率统计15 【正确答案】 P(maxX，Y0)=1P(maxX，Y=0)=1P(X
13、=0，Y=0) =1P(X=0)P(Y=0)=1e 1 e2 =1e 3 。 P(minX，Y0)=1P(rainX ，Y=0)， 令 A=X=0，B=Y=0，则(minX，Y=0)=A+B， 于是 P(minX，Y=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) =e 1 +e2 e 1 e 2 =e1 +e2 e 3 ， 故 P(minX，Y0)=1e 1 e 2 +e3 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计16 【正确答案】 设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n且P(X=k)=1n ，k=1 ，2， ，n注意：设第 3 次才能打开门，则D(X)=E(X2)
14、E(X) 2=(n21) 12【知识模块】 概率统计17 【正确答案】 设 Y 为开门次数，Y 的可能取值为 1，2，n，且 P(Y=k)=(1 )k1 1n，k=1，2，【知识模块】 概率统计18 【正确答案】 用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 XB(5，15)，以 Y 表示获利，则 则 E(Y)=10P(X=0)+5P(X=1)2P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=100328+5041020 057=5216(万元)【知识模块】 概率统计19 【正确答案】 令 X 表示需要使用外线的分机数，则 Xi= E(X)=300006=18，D(X)=30000564=1692设至少
15、需要安装 n 条外线，由题意及中心极限定理得解得 1645，n248，所以至少要安装 25 条外线才能保证每台分机需要使用外线时不需要等待的概率不低于 095【知识模块】 概率统计20 【正确答案】 显然 U= XiN(0，m)，V= XiN(0，n)，且 U，V 相互独立，【知识模块】 概率统计21 【正确答案】 【知识模块】 概率统计【知识模块】 概率统计22 【正确答案】 由 Yi【知识模块】 概率统计23 【正确答案】 因为 X1，X 2，X n(n2)相互独立，所以 Cov(Y1，Y n)【知识模块】 概率统计24 【正确答案】 由 ，S 12，S 22 相互独立，可知 a，b 与
16、相互独立，显然 a+b=1E( E(U)=E(a)+E(b)+E(a+b)=E(1)=【知识模块】 概率统计25 【正确答案】 总体 X 的密度函数和分布函数分别为设 x1，x 2，x n 为总体 X 的样本观察值，似然函数为 L() (i=1，2，n)当0x i(i=1，2，n)时，L()=1 n0 且当 越小时 L()越大，所以 的最大似然估计值为 =max(x1，x 2，x n， 的最大似然估计量为=maxX1， X2，X n因为 =maxX1，X 2，X n的分布函数为 (x)=P(maxX1， ，X nx)=P(X1x)P(X nx)=Fn(x)=max(X1，X 2，X n不是 的无偏估计量【知识模块】 概率统计26 【正确答案】 令 H0： 2152，H 1： 215 2因为 2 已知，所以取统计量 2(n1)， 005 2(9)=16919，因为=3655416919，所以 H0： 2152 被拒绝，即机器不能正常工作【知识模块】 概率统计
