1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 22 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有( )（分数：2.00）A.P(AB)P(A)B.P(AB)P(B)C.P(AB)=P(A)D.P(AB)=P(B)3.抛 n 次硬币(该币每次出现正面的概率均为 p)，则共出现偶数次正面的概率为：( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）A.a=02，
2、b=03B.a=04，b=01C.a=03，b=02D.a=01，6=045.设 F 1 (x)与 F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.2f 2 (x)F 1 (x)C.f 1 (x)F 2 (x)D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x)6.设随机变量 X i （分数：2.00）A.0B.14C.12D.17.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 ：X-Y 不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(
3、X)=E(Y)B.E(X 2 )-E(X) 2 =E(Y 2 )-E(Y) 2C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E(X)=E(Y 2 )+E(Y) 2二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 06 和 05，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 X 和 y 为两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0=Py0= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知连续型随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设随机变量 X 服从(-a，a)上的均匀
4、分布(a0)，且已知 P(X1)=13，则 a= 1，D(x)= 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为7 的结果之前的概率。（分数：2.00）_14.函数 （分数：2.00）_15.设两个随机变量 X、Y 相互独立，且都服从均值为 0、方差为 12 的正态分布，求|X-Y|的方差（分数：2.00）_16.某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相互独立，当出现一
5、个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X，求 E(X)和 D(X)。（分数：2.00）_17.设随机变量 X 的密度为 （分数：2.00）_18.已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布，YN(2，16)求 cov(2X+XY，(Y-1) 2 )（分数：2.00）_19.对随机变量 X 和 Y，已知 EX=3，EY=-2，DX=9，DY=2，E(XY)=-5设 U=2X-Y-4，求 EU，DU（分数：2.00）_20.从正态总体 N(34，6 2 )中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(14，54)内的概率不小于 095，问样
6、本容量，n 至少应取多大? （分数：2.00）_21.设总体 XN(， 2 )，从 X 中抽得样本 X 1 ，X n ，X n+1 ，记 （分数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 N(， 2 )的简单随机样本，记 （分数：4.00）(1).证明 T 是 2 的无偏估计量；（分数：2.00）_(2).当 =0，=1 时，求 DT（分数：2.00）_22.设总体 X 在区间(-，+)上服从均匀分布，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X n ，求 和(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性（分数：2.00）_23.总体 XN(2， 2 )，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X
7、 n 试推导 2 的置信度为 1- 的置信区间，若样本值为：18，21，20，19，22，18求出 2 的置信度为 095 的置信区间，( 0975 2 (6)=14449， 0025 2 (6)=1237，下侧分位数)（分数：2.00）_24.用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16kgmm 2 为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52设零件强度服从正态分布，取显著性水平 =005，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?( 0975 2 (8)=17535， 0025 2 (8)=2180，下侧分位数)（分数：2
8、.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 22 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A|B)=1，则必有( )（分数：2.00）A.P(AB)P(A)B.P(AB)P(B)C.P(AB)=P(A) D.P(AB)=P(B)解析：解析：由 1=P(A|B)=3.抛 n 次硬币(该币每次出现正面的概率均为 p)，则共出现偶数次正面的概率为：( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： C n
9、k (-p) k (1-p) n-k =-P+(1-p) n =(1-2p) n ，二式相加得：2 4.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：2.00）A.a=02，b=03B.a=04，b=01 C.a=03，b=02D.a=01，6=04解析：解析：由题意知 04+a+b+01=1，a+b=05 而 P(X=0)=04+a，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b=05， P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=a P(X=0，X+Y=1=P(X=0)P(X+Y=1) a=(04+a)05，得 a=04，从而 b=01，故选(B)5.设 F 1
10、(x)与 F 2 (x)为两个分布函数，其相应的概率密度 f 1 (x)与 f 2 (x)是连续函数，则必为概率密度的是( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)B.2f 2 (x)F 1 (x)C.f 1 (x)F 2 (x)D.f 1 (x)F 2 (x)+f 2 (x)F 1 (x) 解析：解析：由题意知 F“ 1 (x)=f 1 (x)，F“ 2 (x)=f 2 (x)，且 F 1 (x)F 2 (x)为分布函数，那么F 1 (x)F 2 (x)“=f 1 (x)F 2 (x)+F 1 (x)f 2 (x)为概率密度。故选(D)6.设随机变量 X i （分数：2.00）A
11、.0 B.14C.12D.1解析：解析：由已知可得(X 1 ，X 2 )的联合及边缘分布列如下表，由 P(X 1 X 2 =0)=1 可推出其中的 4个 0(如：0P(X 1 =1，X 2 =1)P(X 1 X 2 =1)P(X 1 X 2 0)=1-P(X 1 X 2 =0)=0，P(X 1 =1，X 2 =1)=0)故 P(X 1 =X 2 )=0，应选(A) 7.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 ：X-Y 不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )-E(X) 2 =E(Y 2 )-E(Y) 2 C.E(X 2
12、)=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E(X)=E(Y 2 )+E(Y) 2解析：解析：cov(，)=cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=EX 2 -(EX) 2 -EEY 2 -(EY) 2 而“cov(，)=0”等价于“ 与 不相关”，故选(B)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 06 和 05，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.75）解析：解析：记 A=(甲命中目标)，B=(乙命中目标)，C=(目标被命中)，则由题意知： P(A)=06，P(B)=05，A 与
13、 B 独立，且 C=AB，AC=A 故 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B)=06+05-0605=08 所求概率为9.设 X 和 y 为两个随机变量，且 PX0，Y0= ，PX0=Py0= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Pmax(X，Y)0=P(X0)(y0)=PX0+PY0-PX0，Y010.已知连续型随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：11.设随机变量 X 服从(-a，a)上的均匀分布(a0)，且
14、已知 P(X1)=13，则 a= 1，D(x)= 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：三、解答题(总题数：14，分数：28.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为7 的结果之前的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i =第 i 次抛时点数之和为 5，B i =第 i 次抛时点数之和为 7，则 P(A i )= ，P(B i )= ，A i B i =，得 =1-P(A i B i
15、 )= ，i=1，2，又记 C 1 =A 1 ，C k =前 k-1 次抛掷时点数之和非 5 非 7，第 k 次抛掷时点数之和为 5)(即 C k = A k ，k=2，3，而 C 1 ，C 2 ，两两不相容， ，A k 相互独立P(C k )= ，P(A k )= ，k=1，2，所求概率为 )解析：14.函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a=c=0，b=d=2，则 ab，cd，但 F(b，d)-F(a，d)-F(b，c)+F(a，c)=1-1-1+0=-10， 可见 F(x，y)不是随机变量的分布函数。)解析：15.设两个随机变量 X、Y 相互独立，且都服从均值为 0、方差
16、为 12 的正态分布，求|X-Y|的方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 =X-Y 由 XN(0， )，及 E=0，D=DX+DY=1 知 N(0，1) E(|) 2 =E 2 =D+(E) 2 =1+0 2 =1 故 D(|X-Y|)=D|=E(|) 2 =E| 2 = )解析：16.某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X，求 E(X)和 D(X)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A k =生产的第 k 个产品是合格品)，k=1，2，而 X 可能取的值
17、为全体自然数 由题意得 P(X=k)=P(A 1 A 2 A k-1 ) =P(A 1 )P(A 2 )P(A k-1 ) =(1-p) k-1 p，k=1，2， (这里 A 1 ，A 2 ，都相互独立，且 P(A i )=1-p，i=1，2，) )解析：17.设随机变量 X 的密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布，YN(2，16)求 cov(2X+XY，(Y-1) 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：cov(2X+XY，(Y-1) 2 )=cov(2X+XY，Y 2 -2Y+1)=cov(
18、XY，Y 2 -2Y)=cov(XY，Y 2 )-2cov(XY，Y)=E(XY 3 )-E(XY)E(Y 2 )-2E(XY 2 )-E(XY)EY=EXEY 3 -EXEYEY 2 -2EXE(Y 2 )-EX(EY) 2 ，本题中 EX=3，EY=2，E(Y 2 )=DY+(EY) 2 =16+2 2 =20，而 = N(0，1)，所以 Y=4+2，注意 E=0，E( 2 )-D+(E) 2 =1，E( 3 )= - + x 3 )解析：19.对随机变量 X 和 Y，已知 EX=3，EY=-2，DX=9，DY=2，E(XY)=-5设 U=2X-Y-4，求 EU，DU（分数：2.00）_正
19、确答案：(正确答案：EU=2EX=EY-4=23+2-4=4，DU=D(2X-Y-4)=4DX+DY-4cov(X，Y)=49+2-4E(XY)-EXEY=36+2-4(-5+32)=34)解析：20.从正态总体 N(34，6 2 )中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间(14，54)内的概率不小于 095，问样本容量，n 至少应取多大? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设总体为 X，样本均值为 可见，n 至少应取 35 )解析：21.设总体 XN(， 2 )，从 X 中抽得样本 X 1 ，X n ，X n+1 ，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
20、设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 N(， 2 )的简单随机样本，记 （分数：4.00）(1).证明 T 是 2 的无偏估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).当 =0，=1 时，求 DT（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设总体 X 在区间(-，+)上服从均匀分布，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X n ，求 和(均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.总体 XN(2， 2 )，从 X 中抽得简单样本 X 1 ，X n 试推导 2 的置信度为 1- 的置信区间，若样本值为：1
21、8，21，20，19，22，18求出 2 的置信度为 095 的置信区间，( 0975 2 (6)=14449， 0025 2 (6)=1237，下侧分位数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16kgmm 2 为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52设零件强度服从正态分布，取显著性水平 =005，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?( 0975 2 (8)=17535， 0025 2 (8)=2180，下侧分位数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设零件强度为总体 X，则 XN(， 2 )，检验 H 0 ： 2 =16 2 拒绝域为 2 = (n，-1)并 2 (n-1)，这里 0 2 =16 2 ，n=9，算得 =390625，故 (n-1)=2180 2 17535= )解析：
