1、考研数学三（概率统计）-试卷 22 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若二事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0，则（分数：2.00）A.A 和 B 不相容(互斥)B.AB 是不可能事件C.AB 未必是不可能事件D.P(A)=0 或 P(B)=03.以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 A 为：（分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙
2、种产品畅销”4.设 A、B 为二随机事件，且 B （分数：2.00）A.P(A+B)=P(A)B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(BA)=P(B)一 P(A)5.设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（分数：2.00）A.B.C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A)6.设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则（分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(B)一 1B.P(C)P(A)+P(B)一 1C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)7.设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ （分数：
3、2.00）A.互不相容B.互相对立C.不独立D.独立8.已知 0P(B)1， 且 P(A 1 +A 2 )|B=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则下列选项成立的是（分数：2.00）A.B.P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B)C.P(A 1 +A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)D.P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 1 )P(B|A 2 )9.在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电。以 E 表示事件“电炉断电”，而 T (1) T (2
4、) T (3) T (4) 为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于（分数：2.00）A.T (1) t 0 B.T (2) t 0 )C.T (3) t 0 )D.T (4) t 0 10.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2次命中目标的概率为（分数：2.00）A.3p(1 一 p) 2B.6p(1 一 p) 2C.3p 2 (1p) 2D.6p 2 (1 一 p) 211.设事件 A 与事件 B 互不相容，则（分数：2.00）A.B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=1 一 P(B)D.12.设随机事
5、件 A 与 B 相互独立。且 P(B)=05，P(AB)=03，则 P(BA)=（分数：2.00）A.01B.02C.03D.0413.若 A，B 为任意两个随机事件，则（分数：2.00）A.P(AB)P(A)P(B)B.P(AB)P(A)P(B)C.D.二、填空题(总题数：5，分数：12.00)设 P(A)=04，P(AB)=07，那么（分数：4.00）(1).若 A 与 B 互不相容，则 P(B)= 1；（分数：2.00）填空项 1:_(2).若 A 与 B 相互独立，则 P(B)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率为
6、（分数：2.00）填空项 1:_15.将 C，C，E，E，I，N，S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成 SCIENCE 的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A，B，C 是随机事件，A 与 C 互不相容， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该
7、箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)。试求(1)先取出的零件是一等品的概率 p；(2)在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。（分数：2.00）_20.若事件 A，B，C 满足等式 AC=BC，则_。（分数：2.00）_21.玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 08，01 和 01一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 4 只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买此箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。（分数：2.00）_22.从 0，1，2，
8、9 等 10 个数字中任意选出 3 个不同的数字，求下列事件的概率： A 1 =三个数字中不含 0 和 5；A 2 =三个数字中不含 0 或 5。（分数：2.00）_某厂家生产的每台仪器，以概率 07 可以直接出厂，以概率 03 需进一步调试，经调试后以概率 08可以出厂，以概率 02 定为不合格产品不能出厂，现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求（分数：6.00）(1).全部能出厂的概率 ；（分数：2.00）_(2).恰有两台不能出厂的概率 ；（分数：2.00）_(3).至少有两台不能出厂的概率 （分数：2.00）_23.考虑一元二次方程 x 2 +Bx+C=
9、0，其中 B、C 分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q。（分数：2.00）_24.设有来自三个地区的各 10 各、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份(1)求先抽到的一份是女生表的概率 p；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q。（分数：2.00）_25.设 A，B，C 为事件，用它们来表示下列事件：(1)仅 A 发生；(2)A，B，C 不都发生；(3)A，B，C 都不发生；(4)A，B，C 恰一个发生。（分数：2.00）_考研数学三
10、（概率统计）-试卷 22 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若二事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0，则（分数：2.00）A.A 和 B 不相容(互斥)B.AB 是不可能事件C.AB 未必是不可能事件 D.P(A)=0 或 P(B)=0解析：解析：由 P(AB)=0 不能推出 AB=3.以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 A 为：（分数：2.00）A.“甲种产品滞销，乙种产品畅销”B.“甲、乙两种产品均畅销
11、”C.“甲种产品滞销”D.“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 解析：解析：若记 B=甲种产品畅销，C=(乙种产品滞销，则有 A=BC。4.设 A、B 为二随机事件，且 B （分数：2.00）A.P(A+B)=P(A) B.P(AB)=P(A)C.P(B|A)=P(B)D.P(BA)=P(B)一 P(A)解析：解析：A5.设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（分数：2.00）A.B.C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)=P(A) 解析：解析：AB=6.设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则（分数：2.00）A.P(C)P(A)+P(
12、B)一 1B.P(C)P(A)+P(B)一 1 C.P(C)=P(AB)D.P(C)=P(AB)解析：解析：由已知 AB7.设 0P(A)1，0P(B)1，P(A|B)+ （分数：2.00）A.互不相容B.互相对立C.不独立D.独立 解析：解析：8.已知 0P(B)1， 且 P(A 1 +A 2 )|B=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)，则下列选项成立的是（分数：2.00）A.B.P(A 1 B+A 2 B)=P(A 1 B)+P(A 2 B) C.P(A 1 +A 2 )=P(A 1 |B)+P(A 2 |B)D.P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 1 )P(B|A 2
13、 )解析：解析：由已知得9.在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t 0 ，电炉就断电。以 E 表示事件“电炉断电”，而 T (1) T (2) T (3) T (4) 为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于（分数：2.00）A.T (1) t 0 B.T (2) t 0 )C.T (3) t 0 ) D.T (4) t 0 解析：解析：10.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2次命中目标的概率为（分数：2.00）A.3p(1 一 p)
14、2B.6p(1 一 p) 2C.3p 2 (1p) 2 D.6p 2 (1 一 p) 2解析：解析：P第 4 次射击恰好第 2 次命中目标)=P前 3 次射击恰中 1 枪，第 4 次射击命中目标 =P前3 次射击恰中 1 枪)P第 4 次射击命中目标)=C 3 1 p(1-p) 2 p=3p 2 (1-p) 211.设事件 A 与事件 B 互不相容，则（分数：2.00）A.B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A)=1 一 P(B)D. 解析：解析：由已知知12.设随机事件 A 与 B 相互独立。且 P(B)=05，P(AB)=03，则 P(BA)=（分数：2.00）A.01B.02 C.0
15、3D.04解析：解析：A 与 B 独立，P(AB)=P(A)P(B)。 故 03=P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)一 P(A)P(1B) =P(A)1 一 P(B)=P(A)(105)=05(P(A) 得13.若 A，B 为任意两个随机事件，则（分数：2.00）A.P(AB)P(A)P(B)B.P(AB)P(A)P(B)C. D.解析：解析： 得 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)，两式相加即得：二、填空题(总题数：5，分数：12.00)设 P(A)=04，P(AB)=07，那么（分数：4.00）(1).若 A 与 B 互不相容，则 P(B)= 1；（分数：2.00）填空项 1
16、:_ （正确答案：正确答案：03）解析：解析：由 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB) 若 A、B 互不相容，则 AB=(2).若 A 与 B 相互独立，则 P(B)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：05）解析：解析：若 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)，代入得 07=04+P(B)一 04P(B)，故 P(B)=05。14.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设该射手的命中率为 p，则 4 次射击(独立重复)中命中 k 次的概率为 C 4
17、 4 p k (1 一 p) 4-k 。 由题意 =P(他至少命中一次)=1 一 P(他命中 0 次)=1 一 C 4 0 p 4-0 (1 一 p) 4-0 =1 一(1 一 p) 4 解得 15.将 C，C，E，E，I，N，S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成 SCIENCE 的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这 7 个字母排一行共有 7!种排法(第 1 位置有 7 种放法，第 2 位置有 6 种放法，余类推，用乘法原则)，这是总样本点个数。而在有利场合下，第 1 位置有 1 种放法(1 个 S)，第 2 位置有 2 种放法(2个 C
18、 中选 1 个)，同理，第 3 位置有 1 种放法(1 个 I)，第 4 位置有 2 种放法(2 个 E 中选 1 个)，后边都是1 种选法(即使是 C 或 E，只剩 1 个了)，故有 1212111=4 种放法，这是有利样本点个数。故所求概率为16.在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设这两个数分别为 x，y，则二维点(x，y)可能取的点为图 43 中的正方形内部(面积为 1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值17.设 A，B，C 是随机事件，A 与 C 互不相容， （分数：2.00）填空项
19、 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：9，分数：20.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：19.设有两箱同种零件：第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)。试求(1)先取出的零件是一等品的概率 p；(2)在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=(取的是第 1 箱)，B 1 =从该箱中先取出的是一等品，B 2 =从该箱后取出的是一等品。
20、)解析：解析：本题主要考查全概率公式。引记号时，注意避免用诸如“A=取的是第 1 箱中的一等品”(2个事件用 1 个字母表示)、“B=取一个箱子”(不是随机事件)这类说法。解中 P(B 1 B 2 |A)= 20.若事件 A，B，C 满足等式 AC=BC，则_。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB)解析：解析：例如取 =1，2，3，A=1，2，B=2，3，C=。则 AC=BC=，但 AB。21.玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，设各箱含 0，1，2 只残次品的概率分别为 08，01 和 01一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 4 只：若无残次品，则买下该箱玻
21、璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买此箱玻璃杯的概率；(2)在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 B=(顾客买下此箱玻璃杯)，A i =售货员取的是含 i 只残次品的一箱玻璃杯)，i=0，1，2 由题意知：A 0 、A 1 、A 2 构成互不相容完备事件组，且 P(A 0 )=08，P(A 1 )=P(A 2 )=01，P(B|A 0 )=1 (1)由全概率公式得： )解析：解析：本题主要考查全概率公式(以及贝叶斯公式)的应用。应注意 分清 P(A 0 )、P(A 0 B)、P(A 0 |B)等的含义区别； 引记号时意思要明确； 贝叶斯公式可
22、由全概率公式、乘法公式推出，不一定要专门去记去套。22.从 0，1，2，9 等 10 个数字中任意选出 3 个不同的数字，求下列事件的概率： A 1 =三个数字中不含 0 和 5；A 2 =三个数字中不含 0 或 5。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 B=三个数字中不含 0，C=三个数字中不含 5。则 )解析：某厂家生产的每台仪器，以概率 07 可以直接出厂，以概率 03 需进一步调试，经调试后以概率 08可以出厂，以概率 02 定为不合格产品不能出厂，现该厂新生产了 n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求（分数：6.00）(1).全部能出厂的概率 ；（分数：2.0
23、0）_正确答案：(正确答案：设 A=(1 台仪器可直接出厂)，B=1 台仪器最终能出厂。则 A )解析：(2).恰有两台不能出厂的概率 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=P(恰有 n 一 2 台仪器能出厂)=C n n p n-2 (1 一 p) 2 = )解析：(3).至少有两台不能出厂的概率 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=1 一 P(n 台仪器全能出厂)一 P(恰 n 一 1 台仪器能出厂) =1 一 C n n p n n (1一 p) n-n C n n-1 p n-1 (1 一 p) n-(n-1) =1094 n-1 。094 n-1 006。)解析：23
24、.考虑一元二次方程 x 2 +Bx+C=0，其中 B、C 分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 x 2 +Bx+C=0 的判别式=B 2 一 4C 则 P(方程有实根)=P(A0)=P(B 2 4C) P(方程有重根)=P(=0)=P(B 2 =4C) 而(B，C)可能取的值为(1，1)，(1，2)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，6)，(6，1)，(6，2)，(6，6)共有 36 个基本结果(样本点)。 其中符合 B 2 4C 的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2
25、)，(4，3)，(4，4)，(5，i)，(6，i)(i=1，2，6)共 19 个结果；符合 B 2 =4C 的有(2，1)，(4，4)两个结果，故 P(方程有实根)= )解析：24.设有来自三个地区的各 10 各、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份(1)求先抽到的一份是女生表的概率 p；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =(取的是 i 区的报名表)。i=1，2，3 B 1 =(从中先抽到的是女生表)，B 2 =(从中后抽到的是女生表)。由题意，A 1 、A 2 、A 3 、为互不相容完备事件组，且 )解析：25.设 A，B，C 为事件，用它们来表示下列事件：(1)仅 A 发生；(2)A，B，C 不都发生；(3)A，B，C 都不发生；(4)A，B，C 恰一个发生。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (若只写个“A”表示“A 发生”，题目中的一个“仅”字含义为“B、C不发生”)。 )解析：
