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[考研类试卷]考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷19及答案与解析.doc

1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A,B,C 为随机事件,且 A 发生必导致 B 与 C 最多有一个发生,则有( )2 设 A,B 为随机事件,P(B )0,则( )(A)P(AB)P(A)+P(B)(B) P(AB)P(A)P(B)(C) P(AB)P(A)P(B)(D)P(A|B)3 设随机事件 A,B,C 两两独立,且 P(A),P (B),P(C)(0,1),则必有( )(A)C 与 AB 独立(B) C 与 AB 不独立(C) AC 与 B 独立(D)AC 与 B 不独立4 某人向同一目标独

2、立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )(A)3p(1p) 2(B) 6p(1p) 2(C) 3p2(1p) 2(D)6p2(1p) 25 设随机变量 X 在0,1 上服从均匀分布,记事件 A=则( )(A)A 与 B 互不相容(B) B 包含 A(C) A 与 B 对立(D)A 与 B 相互独立6 设二维随机变量(X 1,X 2)的密度函数为 f1(x 1,x 2),则随机变量(Y 1,Y 2)(其中 Y1=2X1,Y 2= X2)的概率密度 f2(y 1,y 2)等于( )7 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 ,则与随

3、机变量Z=YX 同分布的随机变量是( )(A)XY(B) X+Y(C) X2Y(D)Y2X8 对任意两个随机变量 X 和 Y,若 E(XY)=E ( Y)E (Y ),则( )(A)D(XY)=D(X)D (Y)(B) D(X+Y)=D (X)+D(Y)(C) X 与 Y 独立(D)X 与 Y 不独立9 随机变量 XN(0,1),YN(1,4),且相关系数 XY=1,则( )(A)PY= 2X1=1(B) PY=2X1=1(C) PY=2X+1=1(D)PY=2X+1=110 设随机变量 X1,X n,相互独立,记 Yn=X2nX2n1(n1),根据大数定律,当 n时 依概率收敛到零,只要X

4、n:n1( )(A)数学期望存在(B)有相同的数学期望与方差(C)服从同一离散型分布(D)服从同一连续型分布11 设总体 XN(, 2),X 1,X 2,X n 为取自总体 X 的简单随机样本,X 为样本均值,S 2 为样本方差,则( )12 设 X1,X 2,X m 是取自正态总体 N(, 2)的简单随机样本,其均值和方差分别为 ,S 2,则可以作出服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是( )二、填空题13 袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_。14 设每次射击命中概率为 03,连续进行

5、4 次射击,如果 4 次均未击中,则目标不会被摧毁;如果击中 1 次、2 次,则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06;如果击中 2 次以上,则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p=_。15 设随机变量 X 的概率分布 P(X=k)= ,k=1,2,其中 a 为常数。X 的分布函数为 F(x),已知 F(b)= 则 b 的取值应为 _。16 设 X 服从参数为 的泊松分布, PX=1=PX=2,则概率 P0X 23=_。17 设随机变量 X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量 Y=X2 在(0,4)内的概率密度 fY( y)=_。18 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量

6、 X 的分布函数 F(x)为_。19 已知(X,Y)在以点(0,0),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,对(X,Y)作 4 次独立重复观察,观察值 X+Y 不超过 1 出现的次数为 Z,则 E(Z 2)=_。20 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 05,E(X)=E(Y )=0 ,E (X 2)=E(Y 2)=2 ,则 E(X+Y ) 2=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 ()设随机变量 X 服从参数为 的指数分布,证明:对任意非负实数 s 及t,有 PXs+t|Xs=PXt。()设电视机的使用年数 X 服从参数为 01 的指数分布,某人买了

7、一台旧电视机,求还能使用 5 年以上的概率。22 设 , 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量,已知 的分布率为 P=i= i=1,2,30 又设 X =max( , ),Y=min (, )。()写出二维随机变量的分布律:()求随机变量 X 的数学期望 E(X)。23 设随机变量 E(i=1,2,3)相互独立,并且都服从参数 p 的 01 分布,令求随机变量(X 1,X 2)的联合分布。24 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为()试求 X 的概率密度f(x);( )试求事件“X 大于 P”的概率 PXY;()求条件概率PY1|X05。25 设总体 X 的概率密度为 =minX1,X 2,

8、X n。()求总体 X 的分布函数 F(x);()求统计量 的分布函数26 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为:()求P(X=2Y );()求 Cov(XY,Y)。27 设总体 XN(0, 2),参数 0 未知,X 1,X 2,X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n1),令估计量28 设总体 X 的概率密度为 为样本均值。()求参数 的矩估计量;()求参数 的最大似然估计量。考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 B 与 C 最多有一个发生(即 B 与 C 同时发生的反面

9、)等价于事件。当 A 发生时必导致 B 与 C 最多有一个发生,说明 ,故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 根据概率运算性质可知,P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB )P(A)+P(B),选项 A 不成立。P(AB)=P(A )P (AB )P (A)P(B),故正确选项为 B。而 P(A|B)= B,则 P(A8)=P(A)P(A)P(B)。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A、B:P(C(AB)=P(A C)=P(AC)P(ABC)=P(A)P(C)P(ABC),P(C) P(AB)=P(C)P(A)一P

10、(AB)=P(A)P(C )一 P(A)P (B )P (C )。尽管 A,B,C 两两独立,但未知 A,B,C 是否相互独立,从而不能判定 P(ABC )=P(A)P(B )P(C)是否成立,故选项 A、B 均不正确。与题设 P(A),P (B ),P(C) (0,1)矛盾,所以排除 C 选项,故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标,第 4 次击中目标 =C31p(1p ) 2p=3p2(1p ) 2, 故正确答案为 C。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由图 321 可立即得到正确选项

11、为 D,事实上,根据题设可知【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1,X 2)的分布为 F1(x 1,x 2),(Y 1,Y 2)的分布为 F2 (Y 1,Y 2)。F 2(Y 1,Y 2)=P Y 1Y1, Y 2Y2=P2X1y1, X2y2P Y1所以 f2(Y 1,Y 2)= 故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知,ZN(1,1),而 X+YN (1,1),故 X+Y 和 Z 是同分布的随机变量。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2

12、E(XY)一 E(X)E(Y ),可见 D(X+Y)=D(X)+D(y) E(XY )=E(X)E(Y),故选项 B 正确。对于随机变量 X 与 Y,下面四个结论是等价的。Cov(X ,Y )=0 ; 与Y 不相关;E (XY)=E(X)E(Y);(X+Y )=D (X)+D(Y )。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 设 Y=aX+b,因为 XY=1,得 X,Y 正相关,得 a0,排除选项A、C。 由 XN(0,1),Y N(1,4),可得 E(X )=0,E(Y)=1 ,所以 E(Y)=E (aX +b)=aE(X) +b=a0+b=1, 所以 b=1。排除选项

13、 B。故选择D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 因为 Xn 相互独立,所以 Yn 相互独立。选项 A 缺少“同分布”条件;选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件,因此它们都不满足辛钦大数定律,所以选择 B。事实上,若 E(X n)=,D (X n)= 2 存在,则根据切比雪夫大数定理:对任意 0 有即依概率收敛到零。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(, 2),得 和 S2 相互独立。故 一 E(S 2)=2。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN(, 2),故各选项的第二项与

14、 S2 独立,根据 2 分布可加性,仅需确定服从2(1)分布的随机变量。因为 2(1)。故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=第一个人取出的球是黄色的,事件 B=第一个人取出的球是白色的 ,事件 C=第二个人取出的球是黄色的,则有根据全概率公式可得P(C) =P(A)P(C|A )+P(B )P (C|B )【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 04071【试题解析】 设事件 Ak=“射击 4 次命中 k 次”,k=0,1,2,3,4,B=“ 目标被摧毁”,则根据 4 重伯努利试验概型公式,可知 P( Ai)=C 4i03

15、i07 4i,i=0,1,2 ,3,4,则 P(A 0) =07 4=0240 1,P (A 1) =0411 6,P(A 2) =0 2646, P(A 3)=0075 6,P(A 4)=00081 。由于 A0,A 1 ,A 2 ,A 3,A 4是一完备事件组,且根据题意得 P(B|A 0)=0,P(B|A 1)=0 4,P (B|A 2)=0 6, P(B|A 3)=P(B|A 4)=1。应用全概率公式,有 P(B)= P(A i)P(B|A i)=P (A 1)P(B| A 1)+P(A 2)P(B|A 2) +P(A 3)+P(A 4)=04071。【知识模块】 概率论与数理统计15

16、 【正确答案】 3b 4【试题解析】 首先确定 a,由当 ix i+1 时,F (x)=故 i=3,3 b4。【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 2e 2【试题解析】 已知 PX=k= (k=0 ,1,),由于 PX=1=PX=2,即,解得 =2,所以 P0X 23=PX=1=2e 2。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 首先求出在(0,4)上 Y 的分布函数 FY(y)。当 0y4 时,有FY(y) =PYy=PX2y=故 fY(y)=F Y(y)=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据题意分布函数 F(x)是 F(x,

17、y)的边缘分布函数,所以F(x)=F(x,+)=F( x,1),因此【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 5【试题解析】 根据题干可知(X,Y)的联合概率密度函数为令事件 A=“X+Y1”,则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数,故 ZB(4,p ),其中如图 341 所示 p=P(A )=PX+Y1 所以 E(Z 2)=D(Z) + E( Z) 2=4 =5。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 6【试题解析】 由已知条件得,D(X)=E(X 2)一 E2(X)=2 ,同理,D (Y)=2。则有 E(X+Y )=E(X)+E(Y)=0,E(X+Y) 2=D

18、(X+Y)+E 2(X+Y )=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2CoV(X,Y)=2 +2 +2=6。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 ()已知随机变量 X 服从指数分布,对于任意的非负实数,根据指数分布的分布函数 F(x)=1e x ,根据结论因为 X 是连续的随机变量,根据分布函数的定义,对任意实数 x,有PXx=PXx=F(x)。PXt=1PX t=1 PXt=1F(t)=1 (1e t)=et,因此可得 PXs+t|Xs=PXt成立。()已知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe (01),则其概率分布函数为 根据()

19、的结论,P (Xs+t|Xs)=P(Xt)=e t ,假设某人买回来的电视机已经用了 x 年,则它还可以使用五年以上的概率为 P(Xx+5|X5 )=P(X5 )=e 015 =e05/sup0606 5。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 ()根据 X=max(,),y=min(,)的定义可知,PXY=0,即 PX=1,Y=2=P(X=1,Y=3 )=P(X=2,Y=3)=0,同时有,【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 根据题意随机变量(X 1,X 2)是离散型的,它的全部可能取值为(0,0),(0,1),(1,0)。题目中是要计算出取各相应值的概率。注意事件Y1

20、,Y 2,Y 3 相互独立且服从同参数 p 的 01 分布,所以它们的和 Y1+ Y2+Y3 Y服从二项分布 B(3,p)。于是 PX1=0,X 2=0=P Y1+Y2+Y31,Y 1+Y2+Y32=PY=0+PY=3=(1 一 p) 3+p3,PX 1=0,X 2=1=P Y1+Y2+Y31,Y 1 +Y2 +Y3=2=PY=2=3p2(1p),PX 1=1,X 2=0=P Y1+Y2+Y3=1,Y 1+Y2+Y32=Py=1=3p(1 一 p) 2,PX 1=1,X 2=1=P Y1+Y2+Y3=1,Y 1+Y2+Y3=2=P =0。计算可得(X 1,X 2)的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 ()根据题意可得,当 x (0,1)时,f(x)=0;当0x1,有【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 ()因为 X1,X 2,X n 相互独立且与总体 X 同分布,所以E(X i)=0,D(X i)= 2,E(X i2)= 2,再由 2 分布随机变量的方差公式有:Y 2(n),则 D(Y )=2n。所以【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 ()因为 E(X)=为总体的矩估计量。()构造似然函数【知识模块】 概率论与数理统计

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