1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，C 为随机事件，且 A 发生必导致 B 与 C 最多有一个发生，则有（ ）2 设 A，B 为随机事件，P（B ）0，则（ ）（A）P（AB）P（A）+P（B）（B） P（AB）P（A）P（B）（C） P（AB）P（A）P（B）（D）P（A|B）3 设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P（A），P （B），P（C）（0，1），则必有（ ）（A）C 与 AB 独立（B） C 与 AB 不独立（C） AC 与 B 独立（D）AC 与 B 不独立4 某人向同一目标独
2、立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p（0p1），则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为（ ）（A）3p（1p） 2（B） 6p（1p） 2（C） 3p2（1p） 2（D）6p2（1p） 25 设随机变量 X 在0，1 上服从均匀分布，记事件 A=则（ ）（A）A 与 B 互不相容（B） B 包含 A（C） A 与 B 对立（D）A 与 B 相互独立6 设二维随机变量（X 1，X 2）的密度函数为 f1（x 1，x 2），则随机变量（Y 1，Y 2）（其中 Y1=2X1，Y 2= X2）的概率密度 f2（y 1，y 2）等于（ ）7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 ，则与随
3、机变量Z=YX 同分布的随机变量是（ ）（A）XY（B） X+Y（C） X2Y（D）Y2X8 对任意两个随机变量 X 和 Y，若 E（XY）=E （ Y）E （Y ），则（ ）（A）D（XY）=D（X）D （Y）（B） D（X+Y）=D （X）+D（Y）（C） X 与 Y 独立（D）X 与 Y 不独立9 随机变量 XN（0，1），YN（1，4），且相关系数 XY=1，则（ ）（A）PY= 2X1=1（B） PY=2X1=1（C） PY=2X+1=1（D）PY=2X+1=110 设随机变量 X1，X n，相互独立，记 Yn=X2nX2n1（n1），根据大数定律，当 n时 依概率收敛到零，只要X
4、n：n1（ ）（A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布11 设总体 XN（， 2），X 1，X 2，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，X 为样本均值，S 2 为样本方差，则（ ）12 设 X1，X 2，X m 是取自正态总体 N（， 2）的简单随机样本，其均值和方差分别为 ，S 2，则可以作出服从自由度为 n 的 2 分布的随机变量是（ ）二、填空题13 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是_。14 设每次射击命中概率为 03，连续进行
5、4 次射击，如果 4 次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中 1 次、2 次，则目标被摧毁的概率分别为 04 与 06；如果击中 2 次以上，则目标一定被摧毁。那么目标被摧毁的概率 p=_。15 设随机变量 X 的概率分布 P（X=k）= ，k=1，2，其中 a 为常数。X 的分布函数为 F（x），已知 F（b）= 则 b 的取值应为 _。16 设 X 服从参数为 的泊松分布， PX=1=PX=2，则概率 P0X 23=_。17 设随机变量 X 服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在（0，4）内的概率密度 fY（ y）=_。18 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量
6、 X 的分布函数 F（x）为_。19 已知（X，Y）在以点（0，0），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对（X，Y）作 4 次独立重复观察，观察值 X+Y 不超过 1 出现的次数为 Z，则 E（Z 2）=_。20 设随机变量 X 与 Y 的相关系数为 05，E（X）=E（Y ）=0 ，E （X 2）=E（Y 2）=2 ，则 E（X+Y ） 2=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 （）设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，证明：对任意非负实数 s 及t，有 PXs+t|Xs=PXt。（）设电视机的使用年数 X 服从参数为 01 的指数分布，某人买了
7、一台旧电视机，求还能使用 5 年以上的概率。22 设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P=i= i=1，2，30 又设 X =max（ ， ），Y=min （， ）。（）写出二维随机变量的分布律：（）求随机变量 X 的数学期望 E（X）。23 设随机变量 E（i=1，2，3）相互独立，并且都服从参数 p 的 01 分布，令求随机变量（X 1，X 2）的联合分布。24 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为（）试求 X 的概率密度f（x）；（ ）试求事件“X 大于 P”的概率 PXY；（）求条件概率PY1|X05。25 设总体 X 的概率密度为 =minX1，X 2，
8、X n。（）求总体 X 的分布函数 F（x）；（）求统计量 的分布函数26 设二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布为：（）求P（X=2Y ）；（）求 Cov（XY，Y）。27 设总体 XN（0， 2），参数 0 未知，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本（n1），令估计量28 设总体 X 的概率密度为 为样本均值。（）求参数 的矩估计量；（）求参数 的最大似然估计量。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 B 与 C 最多有一个发生（即 B 与 C 同时发生的反面
9、）等价于事件。当 A 发生时必导致 B 与 C 最多有一个发生，说明 ，故选 C。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 根据概率运算性质可知，P（AB）=P（A）+P（B）一 P（AB ）P（A）+P（B），选项 A 不成立。P（AB）=P（A ）P （AB ）P （A）P（B），故正确选项为 B。而 P（A|B）= B，则 P（A8）=P（A）P（A）P（B）。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A、B：P（C（AB）=P（A C）=P（AC）P（ABC）=P（A）P（C）P（ABC），P（C） P（AB）=P（C）P（A）一P
10、（AB）=P（A）P（C ）一 P（A）P （B ）P （C ）。尽管 A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P（ABC ）=P（A）P（B ）P（C）是否成立，故选项 A、B 均不正确。与题设 P（A），P （B ），P（C） （0，1）矛盾，所以排除 C 选项，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 根据题干可知 p=前三次仅有一次击中目标，第 4 次击中目标 =C31p（1p ） 2p=3p2（1p ） 2， 故正确答案为 C。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 由图 321 可立即得到正确选项
11、为 D，事实上，根据题设可知【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 B【试题解析】 设（X 1，X 2）的分布为 F1（x 1，x 2），（Y 1，Y 2）的分布为 F2 （Y 1，Y 2）。F 2（Y 1，Y 2）=P Y 1Y1， Y 2Y2=P2X1y1， X2y2P Y1所以 f2（Y 1，Y 2）= 故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知，ZN（1，1），而 X+YN （1，1），故 X+Y 和 Z 是同分布的随机变量。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2
12、E（XY）一 E（X）E（Y ），可见 D（X+Y）=D（X）+D（y） E（XY ）=E（X）E（Y），故选项 B 正确。对于随机变量 X 与 Y，下面四个结论是等价的。Cov（X ，Y ）=0 ； 与Y 不相关；E （XY）=E（X）E（Y）；（X+Y ）=D （X）+D（Y ）。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 D【试题解析】 设 Y=aX+b，因为 XY=1，得 X，Y 正相关，得 a0，排除选项A、C。 由 XN（0，1），Y N（1，4），可得 E（X ）=0，E（Y）=1 ，所以 E（Y）=E （aX +b）=aE（X） +b=a0+b=1， 所以 b=1。排除选项
13、 B。故选择D。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 B【试题解析】 因为 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立。选项 A 缺少“同分布”条件；选项 C、D 缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以选择 B。事实上，若 E（X n）=，D （X n）= 2 存在，则根据切比雪夫大数定理：对任意 0 有即依概率收敛到零。【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN（， 2），得 和 S2 相互独立。故 一 E（S 2）=2。【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 D【试题解析】 由于总体 XN（， 2），故各选项的第二项与
14、 S2 独立，根据 2 分布可加性，仅需确定服从2（1）分布的随机变量。因为 2（1）。故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=第一个人取出的球是黄色的，事件 B=第一个人取出的球是白色的 ，事件 C=第二个人取出的球是黄色的，则有根据全概率公式可得P（C） =P（A）P（C|A ）+P（B ）P （C|B ）【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 04071【试题解析】 设事件 Ak=“射击 4 次命中 k 次”，k=0，1，2，3，4，B=“ 目标被摧毁”，则根据 4 重伯努利试验概型公式，可知 P（ Ai）=C 4i03
15、i07 4i，i=0，1，2 ，3，4，则 P（A 0） =07 4=0240 1，P （A 1） =0411 6，P（A 2） =0 2646， P（A 3）=0075 6，P（A 4）=00081 。由于 A0，A 1 ，A 2 ，A 3，A 4是一完备事件组，且根据题意得 P（B|A 0）=0，P（B|A 1）=0 4，P （B|A 2）=0 6， P（B|A 3）=P（B|A 4）=1。应用全概率公式，有 P（B）= P（A i）P（B|A i）=P （A 1）P（B| A 1）+P（A 2）P（B|A 2） +P（A 3）+P（A 4）=04071。【知识模块】 概率论与数理统计15
16、 【正确答案】 3b 4【试题解析】 首先确定 a，由当 ix i+1 时，F （x）=故 i=3，3 b4。【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 2e 2【试题解析】 已知 PX=k= （k=0 ，1，），由于 PX=1=PX=2，即，解得 =2，所以 P0X 23=PX=1=2e 2。【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 首先求出在（0，4）上 Y 的分布函数 FY（y）。当 0y4 时，有FY（y） =PYy=PX2y=故 fY（y）=F Y（y）=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 【试题解析】 根据题意分布函数 F（x）是 F（x，
17、y）的边缘分布函数，所以F（x）=F（x，+）=F（ x，1），因此【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 5【试题解析】 根据题干可知（X，Y）的联合概率密度函数为令事件 A=“X+Y1”，则 Z 是 4 次独立重复试验事件 A 发生的次数，故 ZB（4，p ），其中如图 341 所示 p=P（A ）=PX+Y1 所以 E（Z 2）=D（Z） + E（ Z） 2=4 =5。【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 6【试题解析】 由已知条件得，D（X）=E（X 2）一 E2（X）=2 ，同理，D （Y）=2。则有 E（X+Y ）=E（X）+E（Y）=0，E（X+Y） 2=D
18、（X+Y）+E 2（X+Y ）=D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2CoV（X，Y）=2 +2 +2=6。【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 （）已知随机变量 X 服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数 F（x）=1e x ，根据结论因为 X 是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数 x，有PXx=PXx=F（x）。PXt=1PX t=1 PXt=1F（t）=1 （1e t）=et，因此可得 PXs+t|Xs=PXt成立。（）已知电子仪器的使用年数服从指数分布 Xe （01），则其概率分布函数为 根据（）
19、的结论，P （Xs+t|Xs）=P（Xt）=e t ，假设某人买回来的电视机已经用了 x 年，则它还可以使用五年以上的概率为 P（Xx+5|X5 ）=P（X5 ）=e 015 =e05/sup0606 5。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 （）根据 X=max（，），y=min（，）的定义可知，PXY=0，即 PX=1，Y=2=P（X=1，Y=3 ）=P（X=2，Y=3）=0，同时有，【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 根据题意随机变量（X 1，X 2）是离散型的，它的全部可能取值为（0，0），（0，1），（1，0）。题目中是要计算出取各相应值的概率。注意事件Y1
20、，Y 2，Y 3 相互独立且服从同参数 p 的 01 分布，所以它们的和 Y1+ Y2+Y3 Y服从二项分布 B（3，p）。于是 PX1=0，X 2=0=P Y1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y32=PY=0+PY=3=（1 一 p） 3+p3，PX 1=0，X 2=1=P Y1+Y2+Y31，Y 1 +Y2 +Y3=2=PY=2=3p2（1p），PX 1=1，X 2=0=P Y1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y32=Py=1=3p（1 一 p） 2，PX 1=1，X 2=1=P Y1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y3=2=P =0。计算可得（X 1，X 2）的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 （）根据题意可得，当 x （0，1）时，f（x）=0；当0x1，有【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 （）因为 X1，X 2，X n 相互独立且与总体 X 同分布，所以E（X i）=0，D（X i）= 2，E（X i2）= 2，再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y 2（n），则 D（Y ）=2n。所以【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 （）因为 E（X）=为总体的矩估计量。（）构造似然函数【知识模块】 概率论与数理统计
