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[考研类试卷]考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷41及答案与解析.doc

1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A 与 B 满足条件 AB= ,则(A)AB= (B) AB=(C) AB=A(D)AB=B2 下列函数中是某一随机变量的分布函数的是3 设随机变量 XE(1),记 Y=max(X,1),则 E(Y)=(A)1(B) 1+e1 (C) 1 一 e1 (D)e 1 4 设随机变量 XN(0,1),YN(1 ,4),且相关系数 XY=1,则(A)PY=一 2X 一 1=1(B) PY=2X 一 1=1(C) PY=一 2X+1=1(D)PY=2X+1=1二、填空题5

2、设有某种零件共 100 个,其中 10 个是次品,其余为合格品,现在从这些零件中不放回抽样,每次抽取一个零件,如果取出一个合格品就不再取下去,则在三次内取到合格品的概率为_6 设随机变量 X1 服从参数为 p(0p1)的 0-1 分布,X 2 服从参数为 n,p 的二项分布,Y 服从参数为 2p 的泊松分布,已知 X1 取 0 的概率是 X2 取 0 概率的 9 倍,X 1取 1 的概率是 X2 取 1 概率的 3 倍,则 PY=0=_,PY=1 =_7 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y) ,则随机变量(2X,Y+1)的概率密度函数 f1(x,y)=_8 设随机变量序列 X

3、1,X n,相互独立且都服从正态分布 N(, 2),记Yn=X2n 一 X2n1 ,根据辛钦大数定律,当 n 时 Yi2 依概率收敛于_9 已知(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)= ,则 服从参数为_分布10 设 X1,X 2,X n 是来自总体 X 的简单随机样本,已知总体 X 的概率密度为f(x;)= ,则 的最大似然估计量 =_11 设总体 X 的概率密度为 f(x;)= 其中 01 是未知参数,c 是常数, X1,X 2,X n 为来自总体 X 的简单随机样本,则c=_; 的矩估计量 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 在区间(0 ,1) 中任取两数,求这

4、两数乘积大于 025 的概率13 设离散型随机变量 X 只取一 1,2, 三个可能值,取各相应值的概率分别是a2,一 a 与 a2,求 X 的分布函数14 设随机变量 X 的绝对值不大于 1,且 PX=0= ,已知当 X0 时,X 在其他取值范围内服从均匀分布,求 X 的分布函数 F(x)15 设连续型随机变量 X 的分布函数为 FX(x)=其中 a0,(x),(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度,令 Y= ,求 Y 的密度函数15 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=其中 0 为常数,求:16 PX,Y2;17 PX+Y18 已知(X,Y)在以点(0,0) ,(

5、1,一 1),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布( )求(X,Y)的联合密度函数 f(x,y);()计算概率 PX0,Y0 ,19 甲、乙两人相约于某地在 12:0013:00 会面,设 X,Y 分别是甲、乙到达的时间,且假设 X 和 Y 相互独立,已知 X,Y 的概率密度分别为 fX(x)=求先到达者需要等待的时间的数学期望19 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布,且 X 的概率分布为 ,记U=max(X,Y),V=min(X,Y) ,试求:20 (U, V)的分布;21 E(UV);22 UV23 设 A,B 为相互独立的随机事件,0P(A)=P1,且 A 发生 B 不发生与

6、B 发生A 不发生的概率相等,记随机变量试求 X 与 Y 的相关系数 24 对某一目标进行多次同等规模的轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量,假设其期望值为 2,标准差是 13,计算在 100 次轰炸中有 180 颗到 220 颗炸弹命中目标的概率25 已知总体 X 与 Y 相互独立且都服从标准正态分布,X 1,X 8 和 Y1,Y 9是分别来自总体 X 与 Y 的两个简单随机样本,其均值分别为,求证:T= 服从参数为 15 的 t 分布25 已知总体 X 的概率密度 f(x)= ,X 1,X n 为来自总体 X 的简单随机样本,Y=X 226 求 Y 的期望 EY(记 EY 为 b)

7、;27 求 的矩估计量 ;28 利用上述结果求 b 的最大似然估计量考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由“对称性”知(C)、(D) 都不成立(否则,一个成立另一个必成立),而(A)成立所以正确选项是(B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) :由于 F(x)应满足 0F(x)1,因此(A)不正确,对于(B):由于 F(1+0)=1 =F(1),即 F(x)在点 x=1 处不是右连续的,因此(B)不正确,对于(C) :由于 F(x)在(0,1

8、)内单调减小,不满足分布函数 F(x)是单调不减这一性质,因此(C)不正确,故选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 如果先去求 Y 的密度 fY(y),则计算量很大,直接用随机变量函数的数学期望的定义式(44) ,有 E(Y)=Emax(X,1)= max(x,1)f(x)dx,其中f(x)为指数分布的 X 的密度函数,且 f(x)= 所以 E(Y)= max(x,1)f(x)dx= 0max(x,1) 0dx+ 0 max(x,1)ex dx=01ex dx+1 ex dx=1 一 e1 +2e1 =1+e1 故选 (B)【知识模块】 概率论与数理统计4

9、【正确答案】 D【试题解析】 由于 X 与 Y 的相关系数 XY=10,因此 PY=aX+b=1,且a0又因为 YN(1,4),XN(0 ,1),所以 EX=0,EY=1,而 EY=E(aX+b)=bb=1,即应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 09993【试题解析】 设事件 Ai 表示“第 i 次取到合格品”(i=1,2,3),事件 A 表示“在三次内取到合格品”,则有 A=A1 由于 是不相容事件,因此【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 由于 Y 服从泊松分布,则需先求出其分布参数 的值,而 =2p,因此需求出 p 的值 PX 1=

10、0=1 ,PX 1=1=p,P X 2=0=qn,PX 2=1=npq n1 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 设随机变量(2X,Y+1)的分布函数为 F1(x,y),则 F1)(x,y)=P2Xx,Y+1y=PX ,Yy 一 1= y1 f(x,y)dxdy于是 f 1(x,y)= 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 2 2【试题解析】 由于X n,n1相互独立,故 Yn=X2n 一 X2n1 (n1)相互独立并且都服从 N(0,2 2),所以Y n2,n1 独立同分布且 EYn2=DYn+(EYn)2=22,根据辛钦大数定律,当 n 时 Yi2 依概

11、率收敛于 22【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由题设知(X,Y)服从二维正态分布且密度函数为 f(x,y)=,故 XN(0,2 2),YN(1 ,3 2),X 与 Y 相关系数 =0,所以 X 与 Y 独立, N(0,1),根据 F 分布典型模式知 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 由 1= f(x;)dx= 01xdx+12(1 一 cx)dx=又 EX= xf(x;)dx= 01x2dx+12(1 一x)xdx= 即【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解

12、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 设 x 与 y 为从(0,1)中取出的两个数,记事件 A 表示“x 与 y 之积大于 025”,则 =(x,y) 0x,y1,A=(x,y)xy025,(x,y) ,A 的图形如图 11 所示,由几何概率定义得【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 应用离散型随机变量分布律的基本性质 pi=1 与pi0,i=1 ,2 ,有 2a2a=1 ,a=1(舍去)则 X 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 写出已知条件的数量关系,应用计算概率方法计算 F(x),依题意PX1 =P一 1X1=1 ,

13、,又除 0点外,X 在其他取值范围内服从均匀分布,其落在不包含 0 点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比,比例常数 = ,故有当 x一 1 时,F(x)=0;当 x1 时,F(x)=1;当一 1x0 时, F(x)=PXx=PX一 1+P一 1Xx=;当 0x1 时,F(x)=PXx=PX0+PX=0+P0Xx= 综上得 F(x)=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由于 y= x2 在区间(0,+)内单调,其反函数 x=h(y)= 在(0, )内可导,其导数 h(y)= 0,我们可以直接用单调函数的密度公式求fY(y)首先求出 X 的概率密度 fX(x):当 x0 时, f

14、X(x)=0;当 x0 时,【试题解析】 求一个随机变量函数 Y 的分布,如果 Y 是连续型,则求 Y=g(X)的概率密度 fY(y)的最基本方法是分布函数法;如果 y=g(x)是关于 x 的单调可导函数且其导数恒不为零,则可用单调函数公式法求解 fY(y)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 利用(X,Y)的概率密度,可得 PX,Y2= 2f(x,y)dxdy=002 dxdy= =(1 一 e1 )(1 一e2 )【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 直接应用公式计算,但要注意非零的定义

15、域()由于以(0,0),(1,一 1),(1,1)为顶点的三角形面积为 12=1(如图 33),故 f(x,y)=()【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x,y)=按题意需要求的是X Y的数学期望,即有(D 1, D2 如图 42) E(X Y)= 0101x 一y6x 2ydxdy【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设(U,V)的分布为 ,则有p11=PU=1, V=1=Pmax(X,Y)=1 ,min(X,Y)=1=PX=1,Y=1=PX=1PY=1= ,P 12=PU=1,V=2=Pmax(X ,

16、Y)=1,min(X,Y)=2= =0, p22=PU=2, V=2=Pmax(X,Y)=2,min(X ,Y)=2=PX=2 ,Y=2=PX=2P Y=2= , P21=1P11P12 一 P22= 所以(U,V) 的分布为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 UV 可能取值为 1,2,4,所以 E(UV)=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由() 可知【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 首先要求出 X,Y,XY 的分布,从而计算得EX,DX ;EY,DY;EXY,最后计算得 ,由题设知 ,即P(AB)=P(B 一 A),P(A)一 P(AB)=P(

17、B)一 P(BA),故 P(A)=P(B)=p,又 A 与 B 独立,所以 P(AB)=P(A)P(B)=p2,从而得 X,Y,XY 的分布为(这是因为PXY=1=PX=1,Y=1=P(AB)=p 2)由 EX=p,DX=p(1 一 P);EY=p 2,DY=p 2(1一 p2); EXY=p2,Cov(X, Y)=EXYEXEY=p 2 一 p3=p2(1 一 p),得 =【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设第 i 次轰炸中命中目标的炸弹数为 Xi,100 次轰炸中命中目标的炸弹总数为 X,则 X=X1+X100,且 X1,X 100 相互独立同分布,EXi=2,DX i=1

18、3 2,EX=200,DX=169 ,应用独立同分布中心极限定理,X 近似服从正态分布 N(200,169) ,则有 P180X220=P X 一 20020=2(154)一 1=0876【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 应用 t 分布的典型模式证明,已知 XiN(0 ,1),Y iN(0 ,1)且相互独立,因此样本均值 N(0,1),如果用 SX2 与 SY2 分别表示样本方差,则有 7SX2=,由于 Xi 与 Yi 相互独立,S X2 仅依赖于 Xi,S Y2 仅依赖于 Yi,因此 SX2 与 SY2 独立,根据 2 分布性质(可加性) 知 Q=7SX2+8SY2 2(15

19、),又 ,S X2,S Y2 相互独立,所以 与7SX2+8SY2=Q 相互独立,根据 t 分布典型模式有 t(15),即Tt(15)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 直接应用公式 Eg(X)= g(x)f(x)dx 计算EY=EX 2=2 x2e(x 2) dx 0 (t+2)2et dt=0 t2et dt4 0 tet dt4 0 et dt=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 令 =EX,其中样本 X1,X n 的似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由于 b= 2(0)是 的单调连续函数,有单值反函数,根据最大似然估计的不变性得 b 的最大似然估计为+2【知识模块】 概率论与数理统计

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