1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 41 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设事件 A 与 B 满足条件 AB= ，则（A）AB= （B） AB=（C） AB=A（D）AB=B2 下列函数中是某一随机变量的分布函数的是3 设随机变量 XE(1)，记 Y=max(X，1)，则 E(Y)=（A）1（B） 1+e1 （C） 1 一 e1 （D）e 1 4 设随机变量 XN(0，1)，YN(1 ，4)，且相关系数 XY=1，则（A）PY=一 2X 一 1=1（B） PY=2X 一 1=1（C） PY=一 2X+1=1（D）PY=2X+1=1二、填空题5
2、设有某种零件共 100 个，其中 10 个是次品，其余为合格品，现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为_6 设随机变量 X1 服从参数为 p(0p1)的 0-1 分布，X 2 服从参数为 n，p 的二项分布，Y 服从参数为 2p 的泊松分布，已知 X1 取 0 的概率是 X2 取 0 概率的 9 倍，X 1取 1 的概率是 X2 取 1 概率的 3 倍，则 PY=0=_，PY=1 =_7 设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为 f(x，y) ，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数 f1(x，y)=_8 设随机变量序列 X
3、1，X n，相互独立且都服从正态分布 N(， 2)，记Yn=X2n 一 X2n1 ，根据辛钦大数定律，当 n 时 Yi2 依概率收敛于_9 已知(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= ，则 服从参数为_分布10 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为f(x；)= ，则 的最大似然估计量 =_11 设总体 X 的概率密度为 f(x；)= 其中 01 是未知参数，c 是常数， X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则c=_； 的矩估计量 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 在区间(0 ，1) 中任取两数，求这
4、两数乘积大于 025 的概率13 设离散型随机变量 X 只取一 1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是a2，一 a 与 a2，求 X 的分布函数14 设随机变量 X 的绝对值不大于 1，且 PX=0= ，已知当 X0 时，X 在其他取值范围内服从均匀分布，求 X 的分布函数 F(x)15 设连续型随机变量 X 的分布函数为 FX(x)=其中 a0，(x)，(x)分别是标准正态分布的分布函数与概率密度，令 Y= ，求 Y 的密度函数15 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=其中 0 为常数，求：16 PX，Y2；17 PX+Y18 已知(X，Y)在以点(0，0) ，(
5、1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布( )求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)；()计算概率 PX0，Y0 ，19 甲、乙两人相约于某地在 12：0013：00 会面，设 X，Y 分别是甲、乙到达的时间，且假设 X 和 Y 相互独立，已知 X，Y 的概率密度分别为 fX(x)=求先到达者需要等待的时间的数学期望19 设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且 X 的概率分布为 ，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y) ，试求：20 (U， V)的分布；21 E(UV)；22 UV23 设 A，B 为相互独立的随机事件，0P(A)=P1，且 A 发生 B 不发生与
6、B 发生A 不发生的概率相等，记随机变量试求 X 与 Y 的相关系数 24 对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为 2，标准差是 13，计算在 100 次轰炸中有 180 颗到 220 颗炸弹命中目标的概率25 已知总体 X 与 Y 相互独立且都服从标准正态分布，X 1，X 8 和 Y1，Y 9是分别来自总体 X 与 Y 的两个简单随机样本，其均值分别为，求证：T= 服从参数为 15 的 t 分布25 已知总体 X 的概率密度 f(x)= ，X 1，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 226 求 Y 的期望 EY(记 EY 为 b)
7、；27 求 的矩估计量 ；28 利用上述结果求 b 的最大似然估计量考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 41 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由“对称性”知(C)、(D) 都不成立(否则，一个成立另一个必成立)，而(A)成立所以正确选项是(B)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ：由于 F(x)应满足 0F(x)1，因此(A)不正确，对于(B)：由于 F(1+0)=1 =F(1)，即 F(x)在点 x=1 处不是右连续的，因此(B)不正确，对于(C) ：由于 F(x)在(0，1
8、)内单调减小，不满足分布函数 F(x)是单调不减这一性质，因此(C)不正确，故选 (D)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 B【试题解析】 如果先去求 Y 的密度 fY(y)，则计算量很大，直接用随机变量函数的数学期望的定义式(44) ，有 E(Y)=Emax(X，1)= max(x，1)f(x)dx，其中f(x)为指数分布的 X 的密度函数，且 f(x)= 所以 E(Y)= max(x，1)f(x)dx= 0max(x，1) 0dx+ 0 max(x，1)ex dx=01ex dx+1 ex dx=1 一 e1 +2e1 =1+e1 故选 (B)【知识模块】 概率论与数理统计4
9、【正确答案】 D【试题解析】 由于 X 与 Y 的相关系数 XY=10，因此 PY=aX+b=1，且a0又因为 YN(1，4)，XN(0 ，1)，所以 EX=0，EY=1，而 EY=E(aX+b)=bb=1，即应选(D)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题5 【正确答案】 09993【试题解析】 设事件 Ai 表示“第 i 次取到合格品”(i=1，2，3)，事件 A 表示“在三次内取到合格品”，则有 A=A1 由于 是不相容事件，因此【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 由于 Y 服从泊松分布，则需先求出其分布参数 的值，而 =2p，因此需求出 p 的值 PX 1=
10、0=1 ，PX 1=1=p，P X 2=0=qn，PX 2=1=npq n1 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【试题解析】 设随机变量(2X，Y+1)的分布函数为 F1(x，y)，则 F1)(x，y)=P2Xx，Y+1y=PX ，Yy 一 1= y1 f(x，y)dxdy于是 f 1(x，y)= 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 2 2【试题解析】 由于X n，n1相互独立，故 Yn=X2n 一 X2n1 (n1)相互独立并且都服从 N(0，2 2)，所以Y n2，n1 独立同分布且 EYn2=DYn+(EYn)2=22，根据辛钦大数定律，当 n 时 Yi2 依概
11、率收敛于 22【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 由题设知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为 f(x，y)=，故 XN(0，2 2)，YN(1 ，3 2)，X 与 Y 相关系数 =0，所以 X 与 Y 独立， N(0，1)，根据 F 分布典型模式知 【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 【试题解析】 似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【试题解析】 由 1= f(x；)dx= 01xdx+12(1 一 cx)dx=又 EX= xf(x；)dx= 01x2dx+12(1 一x)xdx= 即【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解
12、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 设 x 与 y 为从(0，1)中取出的两个数，记事件 A 表示“x 与 y 之积大于 025”，则 =(x，y) 0x，y1，A=(x，y)xy025，(x，y) ，A 的图形如图 11 所示，由几何概率定义得【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 应用离散型随机变量分布律的基本性质 pi=1 与pi0，i=1 ，2 ，有 2a2a=1 ，a=1(舍去)则 X 的分布律与分布函数分别为【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 写出已知条件的数量关系，应用计算概率方法计算 F(x)，依题意PX1 =P一 1X1=1 ，
13、，又除 0点外，X 在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含 0 点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比，比例常数 = ，故有当 x一 1 时，F(x)=0；当 x1 时，F(x)=1；当一 1x0 时， F(x)=PXx=PX一 1+P一 1Xx=；当 0x1 时，F(x)=PXx=PX0+PX=0+P0Xx= 综上得 F(x)=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 由于 y= x2 在区间(0，+)内单调，其反函数 x=h(y)= 在(0， )内可导，其导数 h(y)= 0，我们可以直接用单调函数的密度公式求fY(y)首先求出 X 的概率密度 fX(x)：当 x0 时， f
14、X(x)=0；当 x0 时，【试题解析】 求一个随机变量函数 Y 的分布，如果 Y 是连续型，则求 Y=g(X)的概率密度 fY(y)的最基本方法是分布函数法；如果 y=g(x)是关于 x 的单调可导函数且其导数恒不为零，则可用单调函数公式法求解 fY(y)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 利用(X，Y)的概率密度，可得 PX，Y2= 2f(x，y)dxdy=002 dxdy= =(1 一 e1 )(1 一e2 )【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 直接应用公式计算，但要注意非零的定义
15、域()由于以(0，0)，(1，一 1)，(1，1)为顶点的三角形面积为 12=1(如图 33)，故 f(x，y)=()【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 X 和 Y 的联合概率密度为 f(x，y)=按题意需要求的是X Y的数学期望，即有(D 1， D2 如图 42) E(X Y)= 0101x 一y6x 2ydxdy【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 设(U，V)的分布为 ，则有p11=PU=1， V=1=Pmax(X，Y)=1 ，min(X，Y)=1=PX=1，Y=1=PX=1PY=1= ，P 12=PU=1，V=2=Pmax(X ，
16、Y)=1，min(X，Y)=2= =0， p22=PU=2， V=2=Pmax(X，Y)=2，min(X ，Y)=2=PX=2 ，Y=2=PX=2P Y=2= ， P21=1P11P12 一 P22= 所以(U，V) 的分布为【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 UV 可能取值为 1，2，4，所以 E(UV)=【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由() 可知【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 首先要求出 X，Y，XY 的分布，从而计算得EX，DX ；EY，DY；EXY，最后计算得 ，由题设知 ，即P(AB)=P(B 一 A)，P(A)一 P(AB)=P(
17、B)一 P(BA)，故 P(A)=P(B)=p，又 A 与 B 独立，所以 P(AB)=P(A)P(B)=p2，从而得 X，Y，XY 的分布为(这是因为PXY=1=PX=1，Y=1=P(AB)=p 2)由 EX=p，DX=p(1 一 P)；EY=p 2，DY=p 2(1一 p2)； EXY=p2，Cov(X， Y)=EXYEXEY=p 2 一 p3=p2(1 一 p)，得 =【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设第 i 次轰炸中命中目标的炸弹数为 Xi，100 次轰炸中命中目标的炸弹总数为 X，则 X=X1+X100，且 X1，X 100 相互独立同分布，EXi=2，DX i=1
18、3 2，EX=200，DX=169 ，应用独立同分布中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(200，169) ，则有 P180X220=P X 一 20020=2(154)一 1=0876【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 应用 t 分布的典型模式证明，已知 XiN(0 ，1)，Y iN(0 ，1)且相互独立，因此样本均值 N(0，1)，如果用 SX2 与 SY2 分别表示样本方差，则有 7SX2=，由于 Xi 与 Yi 相互独立，S X2 仅依赖于 Xi，S Y2 仅依赖于 Yi，因此 SX2 与 SY2 独立，根据 2 分布性质(可加性) 知 Q=7SX2+8SY2 2(15
19、)，又 ，S X2，S Y2 相互独立，所以 与7SX2+8SY2=Q 相互独立，根据 t 分布典型模式有 t(15)，即Tt(15)【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 直接应用公式 Eg(X)= g(x)f(x)dx 计算EY=EX 2=2 x2e(x 2) dx 0 (t+2)2et dt=0 t2et dt4 0 tet dt4 0 et dt=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 令 =EX，其中样本 X1，X n 的似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由于 b= 2(0)是 的单调连续函数，有单值反函数，根据最大似然估计的不变性得 b 的最大似然估计为+2【知识模块】 概率论与数理统计
