1、考研数学三(矩阵及其运算)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中不正确的是(A)如 A 是 n 阶矩阵,则(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) (B)如 A,B 均是 n1 矩阵,则 ATB=BTA(C)如 A,B 均是 n 阶矩阵,且 AB=0,则(A+B) 2=A2+B2(D)如 A 是 n 阶矩阵,则 AmAk=AkAm2 已知 3 阶矩阵 A 可逆,将 A 的第 2 列与第 3 列交换得 B,再把 B 的第 1 列的-2倍加至第 3 列得 C,则满足 PA-1=C-1 的矩阵 P 为3 设 A,P 均为 3 阶矩阵,
2、P T 为 P 的转置矩阵,且 PTAP= ,若P=(1, 2, 3),Q=( 1+2, 2, 3),则 QTAQ=4 设 A 是任一 n(n3)阶方阵,A *是其伴随矩阵,又 k 为常数,且 k0,1,则必有(kA)*=(A)kA * (B) kn-1A* (C) knA* (D)k -1A*二、填空题5 设 A,B 均是 n 阶对称矩阵,则 AB 是对称矩阵的充要条件是_6 设 , 均为 3 维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 则T=_7 设 =(1,2 ,3) T,= ,A= T,则 A3=_8 已知 A= ,则 An=_9 已知 A= ,则 An=_10 设 A= ,则 A2013-
3、2A2012=_11 已知 PA=BP,其中 P= ,则 A2012=_12 已知 2CA-2AB=C-B,其中 A= ,则 C3=_.13 已知 A= ,则 An=_14 =_15 设 A= ,(A -1)*是 A-1 的伴随矩阵,则(A -1)*=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A= ,则 A*17 设 A 是 3 阶正交矩阵,按定义 ATA18 已知 A 是 n 阶对称矩阵B 是 n 阶反对称矩阵,证明 A-B2 是对称矩阵19 证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵20 某企业对其职工进行分批脱产技术培训,每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训,而参加培训的职
4、工中有 60的人结业回岗,假设现有在岗职工 800 人,参加培训人员是 200 人,试问两年后在岗与脱产培训职土各有多少人(假设职工人数不变)?21 已知 A= ,证明 A2=lA,并求 l22 已知 A,B 及 A,C 都可交换,证明 A,B,C 是同阶矩阵,且 A 与 BC 可交换23 求与 A= 可交换的矩阵24 已知 A= ,其中 a1,a 2,a n 两两不等证明与 A 可交换的矩阵只能是对角矩阵25 已知矩阵 A= ,求可逆矩阵 P 和 Q,使 PAQ=B考研数学三(矩阵及其运算)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
5、 C【试题解析】 (A) 中,由乘法有分配律,两个乘积均是 A2-E,而(D)是因乘法有结合律,两乘积都是 Am+k,故(A),(D)都正确 关于(B),由于 ATB,B TA 都是 11矩阵,而 1 阶矩阵的转置仍是其自身,故 ATB=(ATB)T=BTA 亦正确唯(C)中,从AB=0 还不能保证必有 BA=0,例如 A=,因此,(C) 不正确选(C)【知识模块】 矩阵及其运算2 【正确答案】 B【试题解析】 对矩阵 A 作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘 A,故应选(B)【知识模块】 矩阵及其运算3 【正确答案】 A【试题解析】 对矩阵 P 作一次初等列变换:把第 2 列加至第 1
6、 列,便可得到矩阵Q若记 E12(1)= ,则 Q=PE12(1)那么所以应选(A)【知识模块】 矩阵及其运算4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 kA=(kaij),故行列式kA的代数余子式按定义为再根据伴随矩阵的定义知应选(B)【知识模块】 矩阵及其运算二、填空题5 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例如而 AB 对称 AB=BTAT=BA所以应填:AB=BA【知识模块】 矩阵及其运算6 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1,a 2,a 3)T,=(b 1,b 2,b 3)T,则注意到 T 正是矩阵T 的主对角线元素之和,所以 =1+6+(-2
7、)=5【知识模块】 矩阵及其运算7 【正确答案】 【试题解析】 由于 A=T= ,所以A3=(T)(T)(T)=(T)(T)T=4T=4A=【知识模块】 矩阵及其运算8 【正确答案】 【试题解析】 由于 A=E+J,其中【知识模块】 矩阵及其运算9 【正确答案】 【试题解析】 对 A 分块为则 B=3E+J,由于J3-j4=0,于是【知识模块】 矩阵及其运算10 【正确答案】 0【试题解析】 由于 A2013-2A2012=(A-2E)A2012,而 A-2E= 试乘易见 (A-2E)A=0,从而 A2013-2A2012=0【知识模块】 矩阵及其运算11 【正确答案】 E【试题解析】 因为矩
8、阵 P 可逆,由 PA=BP 得 A=P-1BP那么 A2=(P-1BP)(P-1BP)=P-1B(PP-1)BP=P-1B2P归纳地 A2012=P-1B2012P因为,易见 B2012=E所以 A 2012=P-1EP=E【知识模块】 矩阵及其运算12 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA-2AB=C-B 得 2CA-C=2AB-B故有 C(2A-E)=(2A-E)B因为2A-E= 可逆,所以 C=(2A-E)B(2A-E) -1那么 C 3=(2A-E)B3(2A-E)-1【知识模块】 矩阵及其运算13 【正确答案】 【试题解析】 先求 A 的特征值与特征向量由对 =0,由(0E-A)
9、x=0,解出 1= ;对 =6,由(6E-A)x=0,解出 2= 令 P=而 A=PAP-1,于是【知识模块】 矩阵及其运算14 【正确答案】 【试题解析】 E 12= 所得 E12A 是 A 作初等行变换(1 ,2 两行对换) ,而 E12A2011 表示 A 作了奇数次的 1,2 两行对换,相当于矩阵 A 作了一次 1,2 两行对换,故 而右乘 E13 是作 1,3 两列对换,由于是偶数次对换,因而结果不变,即 为所求【知识模块】 矩阵及其运算15 【正确答案】 【试题解析】 因为 A-1.(A-1)*=A -1E,有(A -1)*=A -1A= 本题A=6 ,所以(A -1)*=【知识模
10、块】 矩阵及其运算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 矩阵及其运算17 【正确答案】 用矩阵乘法,易见 a1a2+b1b2+c1c2=a1a1+b1b1+c1c3=a2a3+b2b3+c2c3=0这说明矩阵 A 的每个列向量都是单位向量且互相正交(在求正交矩阵的问题中,读者应该用这两条性质进行验算) 类似地,AA T=E,可知 A 的行向量都是单位向量且互相正交显然 都不是正交矩阵,但这也正是一些考生在特征值、二次型问题中,求正交矩阵时常犯的典型错误前一个矩阵是忘了单位化,后一个矩阵是对特征值有重根的特征向量没有 Schmidt 正交化,而中间一
11、个是求错了特征向量,往届考生的这种种错误,要引以为戒【知识模块】 矩阵及其运算18 【正确答案】 因为 A-B2=A-BB=A+BTB,则有 (A-B 2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A-B2 所以 A-B2 是对称矩阵【知识模块】 矩阵及其运算19 【正确答案】 设 A=(aij),B=(b ij)都是 n 阶上三角矩阵对 AB=C=(cij),按矩阵乘法定义,有 c ij=ai1b1j+aii-1bi-1j+aiibij+aii+1bi+1j+ainbnj 由于 A 是上三角矩阵,则 a i1=ai2=ai i-1=0 因为 B 是上三角矩阵,当 ij 时,有 b
12、 ij=bi+1 j=bnj=0 因此,当 ij 时,c ij 中的每一项都为 0,从而 cij=0即 AB 是上三角矩阵【知识模块】 矩阵及其运算20 【正确答案】 用 xi,y i 分别表示 i 年后在岗与脱产职工的人数,x 0,y 0 为目前在岗与脱产的人数,则所以,两年后在岗职工 668 人,培训人员 332 人【知识模块】 矩阵及其运算21 【正确答案】 因为 A 中任两行、任两列都成比例,故可把 A 分解成两个矩阵相乘,即 那么,由矩阵乘法的结合律,有由于(b1,b 2,b 3) =a1b1+a2b2+a3b3 是 11 矩阵,是一个数,记为 l,则有 A2=lA【知识模块】 矩阵
13、及其运算22 【正确答案】 设 A 是 mn 矩阵,由 AB 可乘,故可设曰是 ns 矩阵又因 BA可乘,所以 m=s那么 AB 是 m 阶矩阵,BA 是 n 阶矩阵从 A 和 B 可交换,即AB=BA,得 m=n,即 A,B 是同阶矩阵,同理,C 与 A,B 也同阶,由结合律,有 A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A,所以, A 与 BC 可交换【知识模块】 矩阵及其运算23 【正确答案】 设高斯消元,解出 x1=2t+u, x 2=2t, x 3=t, x 4=u所以 为所求【知识模块】 矩阵及其运算24 【正确答案】 设 A 与 A 可交换,并对 A 分别按列(行)分块,记为那么 ajaij=aiaij 又因 aiaj,可见 aij0 ,即 A 是对角矩阵【知识模块】 矩阵及其运算25 【正确答案】 对 A 作初等变换,有【知识模块】 矩阵及其运算
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