1、考研数学三（矩阵及其运算）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中不正确的是（A）如 A 是 n 阶矩阵，则(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) （B）如 A，B 均是 n1 矩阵，则 ATB=BTA（C）如 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=0，则(A+B) 2=A2+B2（D）如 A 是 n 阶矩阵，则 AmAk=AkAm2 已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 2 列与第 3 列交换得 B，再把 B 的第 1 列的-2倍加至第 3 列得 C，则满足 PA-1=C-1 的矩阵 P 为3 设 A，P 均为 3 阶矩阵，
2、P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP= ，若P=(1， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 QTAQ=4 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA)*=（A）kA * （B） kn-1A* （C） knA* （D）k -1A*二、填空题5 设 A，B 均是 n 阶对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充要条件是_6 设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 则T=_7 设 =(1，2 ，3) T，= ，A= T，则 A3=_8 已知 A= ，则 An=_9 已知 A= ，则 An=_10 设 A= ，则 A2013-
3、2A2012=_11 已知 PA=BP，其中 P= ，则 A2012=_12 已知 2CA-2AB=C-B，其中 A= ，则 C3=_.13 已知 A= ，则 An=_14 =_15 设 A= ，(A -1)*是 A-1 的伴随矩阵，则(A -1)*=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 A= ，则 A*17 设 A 是 3 阶正交矩阵，按定义 ATA18 已知 A 是 n 阶对称矩阵B 是 n 阶反对称矩阵，证明 A-B2 是对称矩阵19 证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵20 某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，而参加培训的职
4、工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职土各有多少人(假设职工人数不变)?21 已知 A= ，证明 A2=lA，并求 l22 已知 A，B 及 A，C 都可交换，证明 A，B，C 是同阶矩阵，且 A 与 BC 可交换23 求与 A= 可交换的矩阵24 已知 A= ，其中 a1，a 2，a n 两两不等证明与 A 可交换的矩阵只能是对角矩阵25 已知矩阵 A= ，求可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B考研数学三（矩阵及其运算）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
5、 C【试题解析】 (A) 中，由乘法有分配律，两个乘积均是 A2-E，而(D)是因乘法有结合律，两乘积都是 Am+k，故(A)，(D)都正确 关于(B)，由于 ATB，B TA 都是 11矩阵，而 1 阶矩阵的转置仍是其自身，故 ATB=(ATB)T=BTA 亦正确唯(C)中，从AB=0 还不能保证必有 BA=0，例如 A=，因此，(C) 不正确选(C)【知识模块】 矩阵及其运算2 【正确答案】 B【试题解析】 对矩阵 A 作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘 A，故应选(B)【知识模块】 矩阵及其运算3 【正确答案】 A【试题解析】 对矩阵 P 作一次初等列变换：把第 2 列加至第 1
6、 列，便可得到矩阵Q若记 E12(1)= ，则 Q=PE12(1)那么所以应选(A)【知识模块】 矩阵及其运算4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 kA=(kaij)，故行列式kA的代数余子式按定义为再根据伴随矩阵的定义知应选(B)【知识模块】 矩阵及其运算二、填空题5 【正确答案】 AB=BA【试题解析】 两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例如而 AB 对称 AB=BTAT=BA所以应填：AB=BA【知识模块】 矩阵及其运算6 【正确答案】 5【试题解析】 设 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，则注意到 T 正是矩阵T 的主对角线元素之和，所以 =1+6+(-2
7、)=5【知识模块】 矩阵及其运算7 【正确答案】 【试题解析】 由于 A=T= ，所以A3=(T)(T)(T)=(T)(T)T=4T=4A=【知识模块】 矩阵及其运算8 【正确答案】 【试题解析】 由于 A=E+J，其中【知识模块】 矩阵及其运算9 【正确答案】 【试题解析】 对 A 分块为则 B=3E+J，由于J3-j4=0，于是【知识模块】 矩阵及其运算10 【正确答案】 0【试题解析】 由于 A2013-2A2012=(A-2E)A2012，而 A-2E= 试乘易见 (A-2E)A=0，从而 A2013-2A2012=0【知识模块】 矩阵及其运算11 【正确答案】 E【试题解析】 因为矩
8、阵 P 可逆，由 PA=BP 得 A=P-1BP那么 A2=(P-1BP)(P-1BP)=P-1B(PP-1)BP=P-1B2P归纳地 A2012=P-1B2012P因为，易见 B2012=E所以 A 2012=P-1EP=E【知识模块】 矩阵及其运算12 【正确答案】 【试题解析】 由 2CA-2AB=C-B 得 2CA-C=2AB-B故有 C(2A-E)=(2A-E)B因为2A-E= 可逆，所以 C=(2A-E)B(2A-E) -1那么 C 3=(2A-E)B3(2A-E)-1【知识模块】 矩阵及其运算13 【正确答案】 【试题解析】 先求 A 的特征值与特征向量由对 =0，由(0E-A)
9、x=0，解出 1= ；对 =6，由(6E-A)x=0，解出 2= 令 P=而 A=PAP-1，于是【知识模块】 矩阵及其运算14 【正确答案】 【试题解析】 E 12= 所得 E12A 是 A 作初等行变换(1 ，2 两行对换) ，而 E12A2011 表示 A 作了奇数次的 1，2 两行对换，相当于矩阵 A 作了一次 1，2 两行对换，故 而右乘 E13 是作 1，3 两列对换，由于是偶数次对换，因而结果不变，即 为所求【知识模块】 矩阵及其运算15 【正确答案】 【试题解析】 因为 A-1.(A-1)*=A -1E，有(A -1)*=A -1A= 本题A=6 ，所以(A -1)*=【知识模
10、块】 矩阵及其运算三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 矩阵及其运算17 【正确答案】 用矩阵乘法，易见 a1a2+b1b2+c1c2=a1a1+b1b1+c1c3=a2a3+b2b3+c2c3=0这说明矩阵 A 的每个列向量都是单位向量且互相正交(在求正交矩阵的问题中，读者应该用这两条性质进行验算) 类似地，AA T=E，可知 A 的行向量都是单位向量且互相正交显然 都不是正交矩阵，但这也正是一些考生在特征值、二次型问题中，求正交矩阵时常犯的典型错误前一个矩阵是忘了单位化，后一个矩阵是对特征值有重根的特征向量没有 Schmidt 正交化，而中间一
11、个是求错了特征向量，往届考生的这种种错误，要引以为戒【知识模块】 矩阵及其运算18 【正确答案】 因为 A-B2=A-BB=A+BTB，则有 (A-B 2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A-B2 所以 A-B2 是对称矩阵【知识模块】 矩阵及其运算19 【正确答案】 设 A=(aij)，B=(b ij)都是 n 阶上三角矩阵对 AB=C=(cij)，按矩阵乘法定义，有 c ij=ai1b1j+aii-1bi-1j+aiibij+aii+1bi+1j+ainbnj 由于 A 是上三角矩阵，则 a i1=ai2=ai i-1=0 因为 B 是上三角矩阵，当 ij 时，有 b
12、 ij=bi+1 j=bnj=0 因此，当 ij 时，c ij 中的每一项都为 0，从而 cij=0即 AB 是上三角矩阵【知识模块】 矩阵及其运算20 【正确答案】 用 xi，y i 分别表示 i 年后在岗与脱产职工的人数，x 0，y 0 为目前在岗与脱产的人数，则所以，两年后在岗职工 668 人，培训人员 332 人【知识模块】 矩阵及其运算21 【正确答案】 因为 A 中任两行、任两列都成比例，故可把 A 分解成两个矩阵相乘，即 那么，由矩阵乘法的结合律，有由于(b1，b 2，b 3) =a1b1+a2b2+a3b3 是 11 矩阵，是一个数，记为 l，则有 A2=lA【知识模块】 矩阵
13、及其运算22 【正确答案】 设 A 是 mn 矩阵，由 AB 可乘，故可设曰是 ns 矩阵又因 BA可乘，所以 m=s那么 AB 是 m 阶矩阵，BA 是 n 阶矩阵从 A 和 B 可交换，即AB=BA，得 m=n，即 A，B 是同阶矩阵，同理，C 与 A，B 也同阶，由结合律，有 A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A，所以， A 与 BC 可交换【知识模块】 矩阵及其运算23 【正确答案】 设高斯消元，解出 x1=2t+u， x 2=2t， x 3=t， x 4=u所以 为所求【知识模块】 矩阵及其运算24 【正确答案】 设 A 与 A 可交换，并对 A 分别按列(行)分块，记为那么 ajaij=aiaij 又因 aiaj，可见 aij0 ，即 A 是对角矩阵【知识模块】 矩阵及其运算25 【正确答案】 对 A 作初等变换，有【知识模块】 矩阵及其运算
