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[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷138及答案与解析.doc

1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 138 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E,其中 E 为 n 阶单位矩阵,则必有( )(A)ACB=E(B) CBA=E(C) BAC=E(D)BCA=E2 设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,则( )(A)当 mn 时,必有行列式|AB|0(B)当 mn 时,必有行列式|AB|=0(C)当 nm 时,必有行列式|AB|0(D)当 nm 时,必有行列式|AB|=03 要使 1= 都是线性方程组 AX=0 的解,只要系数矩阵 A 为( )二、填空题4 5 方程 f

2、(t)= =0 的实根为_6 7 设 为 3 维列向量, T 是 的转置,若 T= ,则 T=_8 设 A 是 43 矩阵,且 r(A)=2,B= ,则 r(AB)=_9 曲面 x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3=0 的标准方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求下列行列式的值:10 11 11 计算下列 n 阶行列式的值,(其中未写出的元素均为 0):12 13 14 15 16 设有矩阵 Amn,B nm,已知 EmAB 可逆,证明:E BA 可逆,且(E nBA)1 =En+B(EmAB) 1 A17 设 n 阶矩阵 A 满足 AAT=I,

3、其中 I 为 n 阶单位矩阵,且 |A|0,求|A+I|18 设向量组 1, 2, 3 线性相关,向量组 2, 3, 4 线性无关,问: (1) 1 能否由2, 3 线性表示 ?证明你的结论 (2) 4 能否由 1, 2, 3 线性表示?证明你的结论19 已知 i=(i1, i2, in)T(i=1,2,r;r n) 是 n 维实向量,且1, 2, r 线性无关已知 =(b1,b 2,b n)T 是线性方程组的非零解向量试判断向量组 1, 2, r, 的线性相关性20 问 为何值时,线性方程组 有解,并求出解的一般形式21 设 A*为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵(n2)证明:22 已知(1 ,

4、1,1,1) T 是线性方程组 的一个解,试求(1)该方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;(2)该方程组满足 x2=x3 的全部解23 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1,1,1,对应的特征向量分别为 (1,1,1)T, (1,0, 1)T,(1,2,4) T求 A10024 设 A 为 n 阶非零方阵,且存在某正整数 m,使 Am=O求 A 的特征值并证明 A不与对角矩阵相似24 设 n 维实向量 =(a1,a 2,a n)T0,方阵 A=T25 证明:对于正整数 m,存在常数 t,使 Am=tm1 A,并求出 t;26 求可逆矩阵 P,使 P1 AP 成对角矩阵27

5、 设 c1,c 2,c n 均为非零实常数,A=(a ij)nn 为正定矩阵,令bij=aijcicj(i,j=1,2,n) ,矩阵 B=(bij)nn,证明矩阵 B 为正定矩阵考研数学三(线性代数)模拟试卷 138 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件 A(BC)=E,知 A 与 BC 互为逆矩阵, BCA=E【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 当 mn 时,有 r(AB)r(A)nm ,故 m 阶方阵 AB 为降秩方阵,即|AB|=0或解:当 mn 时,方程组 BX=0 中的方程个数 n 小

6、于未知量个数 m,故 BX=0 有非零解,从而方程组(AB)X=0 有非零解 |AB|=0【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 此时基础解系至少含 2 个向量( 1 及 2),故有 3r(A)2,因而 r(A)1,故只有 A 正确【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 (a 1a4b 1b4)(a2a3b 2b3)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 t=6【试题解析】 注意行列式各行元素之和均等于 6t,f(t)=(t6)(t 2+3)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 3【试题解析】 T=a12+a22+a32=1+

7、1+1=3【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2【试题解析】 因 B 为满秩方阵,故 r(AB)=r(A)=2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 5y 12y 22y 32=1【试题解析】 A= 的特征值为 1=5, 2=3=1,曲面的标准方程为5y12y 22y 32=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 160【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 -10【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1) n1 (n1) n2 先将第 2 行的(1)倍加到第 i 行(i=3,n),再

8、按第 1 列展开,并把(2,1)元素的余子式的第 2,3,n1列都加到第 1 列,则得上三角行列式【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (x1)(x2)(x n+1) 将第 1 行的(1)倍加到第 i 行(i=2,3,n),得上三角行列式【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 n!(1+x+ )先把第 1 行的(1)倍加到第 i 行(i=2,3,n),再把第 j 列的 1j 倍加到第 1 列(j=2,3,n),则得上三角行列式【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 n+1按第 1 行展开,并将(1,2)元素的余子式按第 1 列展开,得递推公式 Dn=2Dn1 D n 2, Dn=Dn1

9、 =Dn1 D n2 ,由此可得DnD n1 =Dn1 D n2 =D2D 1=1, Dn=1D n1 =2+Dn2 =(n2)+D2=n+1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 只要验证(E nBA)E n+B(EmAB) 1 A=En【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 |A+I|=|A+AA T|=|A(I+AT)|=|A|I+AT|=|A|(I+AT)T|=|A|I+A|=|A|A+I| (1|A|)|A+I|=0 ,又 1|A| 0 |A+T|=0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)能由 2, 3 线性无关,而 1, 2, 3 线性相关即可证明(2)不能否则, 4

10、 能由 1, 2, 3 线性表示,由(1)知 1 能由 2, 3 线性表示 i能由 2, 3 线性表示,这与 2, 3, 4 线性无关矛盾【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由题设条件有 Ti=0(i=1,2,r)设 k11+krr+kr+1=0 (*)两端左乘 T,得 kr+1T=0,又 0, T=2 0,故 kr+1=0 代入(*) 式,得k11+krr=0,又 1, r 线性无关,所以有 k1=kr=0,因此 1, r,线性无关【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 当且仅当 =1 时有解,通解为 x=(1,1,0) T+c(1,2,1) T【知识模块】 线性代数21 【正确答案

11、】 当 r(A)=n 时,|A|0,|A *|=|A|n1 0, r(A*)=n;当 r(A)=n1 时,A 中非零子式的最高阶数为 n1,故 A*O, r(A*)1,又 A*A=|A|E=O,A 的每一列都是力程组 A*x=0 的解向量,故 A*x=0 至少有 r(A)=n1 个线性无关解,从而有 nr(A *)n1 r(A*)1,以上两方面说明 r(A*)=1;当 r(A)n1 时,A 的每个 n1 阶子式即每个元素的余子式都为零,故 A*=O r(A*)=0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 将解向量 x=(1,1,1,1) T 代入方程组,得 =,对方程组的增广矩阵施行初等行变换

12、:(1)当 12时,有 因 r(A)=r( )=3 4,故方程组有无穷多解,全部解为 x=(0,12,12,0) T+k(2,1,1,2) T,其中 k 为任意常数当=12 时,有 因 r(A)=r( )=24,故方程组有无穷多解,全部解为 x=(12,1,0,0) T+k1(1,3,1,0) T+k2(1,2,0,2) T,其中k1,k 2 为任意常数(2)当 12 时,由于 x2=x3,即 k,解得k=12 ,故此时,方程组的解为 x=(0,12,1 2,0) T+ (2,1,1,2)T=( 1,0,0,1) T当 =12 时,由于 x2=x3,即 13k 12k 2=k1,解得k2= =

13、2k1,故此时全部解为 x=(12,1,0,0) T+k1(1,3,1,0) T+( 2k 1)(1, 2,0,2) T=(1,0,0,1) T+k1(3,1,1, 4)T【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A 有 3 个线性无关特征向量,故 A 可相似对角化令则 P 可逆,且使 于是有 A100=PEP1 =E【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 1=2= n=0,(0EA)x=0 的基础解系最多含 n1 向量即 n阶方阵 A 最多有 n1 个线性无关特征向量,故 A 不相似于对角阵【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A m=(T)(T)( T)=

14、(T)m1 T=(T)m1 (T)=( ai2)m1 A=tm1 A,其中 t= ai2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 AO, 1r(A)=r(T)r()=1, r(A)=1,因为实对称矩阵 A 的非零特征值的个数就等于 A 的秩,故 A 只有一个非零特征值,而有 n1 重特征值1=2= n 1=0,计算可得属于特征值 0 的线性无关特征向量可取为(设 a10):1=(a 2a 1,1,0, 0)T, 2=(a 3a 1,0,1 ,0)T, , n1 =(a na 1,0,0,1) T由于 A 的全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和 ai2,故得 A 的唯一的非零特征值为 n= ai2=T,且由 A=(T)=(T)=n=n 可得 为对应于 n 的一个特征向量令矩阵 P=1 n1 ,则有 P1 AP=diag(0,0,0, ai2)为对角矩阵【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 令矩阵 则 C 可逆,注意用对角矩阵 C 左(右)乘矩阵 A,等于用 C 的主对角线元素依次乘 A 的各行(列),于是有=CAC=CTAC。即 B 与正定阵 A 合同,故 B 正定(事实上, xRn,x0,由 C 可逆知 Cx0,再由 A 正定知(Cx) TA(Cx)0,即xT(CTAC)x=xTBx0,故 B 正定)【知识模块】 线性代数

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