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[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷51及答案与解析.doc

1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 1, 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值, 1, 2 分别是 A 的对应于 1, 2 的特征向量,则 ( )(A)当 1=2 时, 1, 2 对应分量必成比例(B)当 1=2 时, 1, 2 对应分量不成比例(C)当 12 时, 1, 2 对应分量必成比例(D)当 12 时, 1, 2 对应分量必不成比例2 已知 1= 1,1,a,4 T, 2=2,1,5,a T, 3=a,2,10,1 T 是 4 阶方阵A 的 3 个不同特征值对应的特征向量,则 a 的取值为 ( )(A)a

2、5(B) a4(C) a3(D)a3 且 a43 设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 与 B 相似,E 为 n 阶单位矩阵,则 ( )(A)EA=E B(B) A 与 B 有相同的特征值和特征向量(C) A 与 B 都相似于一个对角矩阵(D)对任意常数 t,tEA 与 tEB 相似4 设 A 为 n 阶矩阵,下列命题正确的是 ( )(A)若 为 AT 的特征向量,那么 为 A 的特征向量(B)若 为 A*的特征向量,那么 为 A 的特征向量(C)若 为 A2 的特征向量,那么 为 A 的特征向量(D)若 为 2A 的特征向量,那么 为 A 的特征向量5 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1=1,

3、 2=2, 3=3,则 2A*的特征值是 ( )(A)1,2,3(B) 4,6,12(C) 2,4,6(D)8,16,246 已知 A 是 3 阶矩阵,r(A)=1,则 =0 ( )(A)必是 A 的二重特征值(B)至少是 A 的二重特征值(C)至多是 A 的二重特征值(D)一重、二重、三重特征值都可能7 已知 1, 2 是方程(EA)X=0 的两个不同的解向量,则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )(A) 1(B) 2(C) 1 2(D) 1+28 设 则下列选项中是 A 的特征向量的是 ( )(A) 1=1,2,1 T(B) 2=1,2,1 T(C) 3=2,1,2

4、T(D) 4=2,1,2 T9 下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( )二、填空题10 设 A= , B 是 3 阶非零矩阵,且 AB=O,则 Ax=0 的通解是_11 已知2 是 A= 的特征值,其中 b0 是任意常数,则x=_12 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1,则 A 的 n 个特征值是_13 设 A 是 3 阶矩阵,已知A+E=0,A+2E=0,A+3E =0,则A+4E=_14 设 A 是 3 阶矩阵,A=3且满足A 2+2A=0 ,2A 2+A=0,则 A*的特征值是_15 设 A 是 n 阶实对称阵, 1, 2, n 是 A 的 n 个互不相同的特征值, 1 是 A的对应于

5、1 的一个单位特征向量,则矩阵 B=A 111T 的特征值是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 A 是三阶矩阵, 1, 2, 3 是三个不同的特征值, 1, 2, 3 是相应的特征向量证明:向量组 A(1+2),A( 2+3),A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵17 设 A 是三阶实矩阵, 1, 2, 3 是 A 的三个不同的特征值, 1, 2, 3 是三个对应的特征向量证明:当 230 时,向量组 1,A( 1+2),A 2(1+2+3)线性无关18 设 A 是 n 阶实矩阵,有 A=,A T=,其中 , 是实数,且 , 是n 维非零向量证明:, 正交1

6、9 设矩阵 A= ,问 k 为何值时,存在可逆阵 P,使得 P1 AP=A,求出 P 及相应的对角阵20 已知 A= ,求 A 的特征值和特征向量,a 为何值时,A 相似于A,a 为何值时, A 不能相似于 A21 已知 =1,k,1 T 是 A1 的特征向量,其中 A= ,及 所对应的特征值22 设矩阵 A= 有三个线性无关特征向量, =2 是 A 的二重特征值,试求可逆阵 P,使得 P1 AP=A,A 是对角阵23 已知 =1,1,1 T 是矩阵 A= 的一个特征向量(1)确定参数a,b 及考对应的特征值 ;(2)A 是否相似于对角阵,说明理由24 设矩阵 A= ,且A= 1,A 的伴随矩

7、阵 A*有特征值 0,属于0 的特征向量为 =1,1,1 T,求 a,b,c 及 0 的值25 设 A 是三阶实对称阵, 1=1, 2=3=1 是 A 的特征值,对应于 1 的特征向量为 1=0,1,1 T,求 A26 设 A 是 n 阶方阵,2,4,2n 是 A 的 n 个特征值,E 是 n 阶单位阵计算行列式A3E的值27 设矩阵 (1)已知 A 的一个特征值为 3,试求 y;(2)求矩阵 P,使(AP)T(AP)为对角矩阵28 设 A 为 3 阶矩阵, 1, 2, 3 是 A 的三个不同特征值,对应的特征向量为1, 2, 3,令 =1+2+3 (1)证明:,A,A 2 线性无关; (2)

8、若 A3=A,求秩 r(AE)及行列式A+2E29 设 A= ,求实对称矩阵 B,使 A=B230 证明:AB,其中 并求可逆阵 P,使得 P1 AP=B考研数学三(线性代数)模拟试卷 51 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时, 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关,所以 1, 2 可以对应分量成比例,也可以对应分量不成比例,故排除(A),(B)当 12 时,1, 2 一定线性无关,对应分量一定不成比例,故选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 1, 2, 3 是三个不同特征值的特征

9、向量,必线性无关,由知 a5故应选(A)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似,存在可逆矩阵 P,使得 P1 AP=B,则 tEB=tEP 1 AP=P1 (tE)PP 1 AP=P1 (tEA)P , 即 tEA 与 tEB 相似,选(D)对于 (A):由 E A=EB,有 A=B;对于(B):A 与 B 相似,则 A 与 B有相同的特征值,但特征向量不一定相同;对于(C):A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵 AT 与 A 的特征值相同,但特征向量不一定相同,故(A) 错误假设 为 A 的特征向量,

10、为其特征值,当 0时 也为 A*的特征向量这是由于 A=A*A=A*=A*= 1 A但反之, 为 A*的特征向量,那么 不一定为 A 的特征向量例如:当 r(A)n1 时,A *=O,此时,任意 n 维非零列向量都是 A*的特征向量,故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B) 错误假设 为 A 的特征向量, 为其特征值,则 为 A2 的特征向量这是由于 A2=A(A)=A=2但反之,若 为 A2 的特征向量, 不一定为 A 的特征向量例如:假设 A1=1,A 2= 2,其中 1, 20此时有A2(1+2)=A21+A22=1+2,可知 1+2 为 A2 的特征向量但 1, 2 是矩阵

11、 A 两个不同特征值的特征向量,它们的和 1+2 不是 A 的特征向量故(C)错误若为 2A 的特征向量,则存在实数 使得 2A=,此时有 A= ,因此 为 A的特征向量可知(D) 是正确的故选 (D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 BA *的特征值是 2 ,其中A= 123, i 是 A 的特征值,分别为1,2,3,故 2A*的特征值为 4,6,12【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵,r(A)=1,r(OE A)=1(OEA)X=0 有两个线性无关特征向量,故 =0至少是二重特征值,也可能是三重,例如:A= ,r(A)=1,=0 是

12、三重特征值【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因 12,故 1 20,且仍有关系 A(1 2)=1 2=(1 2), 故 1 2 是 A 的特征向量 而(A) 1,(B) 2,(D) 1+2 均有可能是零向量而不能成为 A 的特征向量【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 因 A2= 故 2 是 A 的对应于=2 的特征向量其余的 1, 2, 3 均不与 A1,A 2,A 3 对应成比例,故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项的矩阵,特征值均为 1,1,2,能相似于对角阵的矩阵,要求对应二重特征值 1=2=1

13、,有两个线性无关特征向量对(C)而言,因 r(EC)=r=1可有两个线性无关特征向量,故(C)可相似于对角阵,而r(EA)=r(EB)=r(ED)=2 ,都只有一个线性无关特征向量,故均不能:相似于对角阵【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 k1,1,0 T,k 为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵,AB=O,且 BO,我们得知 r(A)3,对 A 作变换 由 r(A)3,有 a=1当 a=1 时,求得 Ax=0 的基础解系为1,1,0 T,因此通解为 k1,1,0 T,k 为任意常数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 4【试题解析】 由E A=2AE =0,可

14、求得 x=4【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0(n1 重根),n(单根)【试题解析】 故 =0(n1 重特征值),=n(单根)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 6【试题解析】 由A+E=A+2E =A+3E=0 ,知 A 有特征值=1, 2, 3,A+4E 有特征值 =3,2,1,故A+4E =6 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1= , 2=6, 3=1【试题解析】 AA+2E=0,因A=3 ,则A+2E=0,故 A 有特征值1=2又 因A=3= 123,故3=3A=,A *A=A*,A *= ,故 A*有特征值 1= , 2=6, 3=1【知识模块】 线性代数1

15、5 【正确答案】 0, 2, 3, n【试题解析】 因 A 是实对称阵, 1, 2, n 互不相同,对应的特征向量1, 2, n 相互正交,故 Bi=(A 111T)i= 故 B 有特征值为0, 2, 3, n【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 A( 1+2),A( 2+3),A( 3+1)线性无关11+22, 22+33, 33+11 线性无关 11+22, 22+33, 33+11=1, 2, 3 秩为 3因为 1, 2, 3 线性无关,=21230A= 1230,A 是可逆阵【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因 1,A( 1

16、+2),A 2(1+2+3)=1, 11+22+121+222+323=1, 2, 3 因 123,故 1, 2, 3 线性无关,由上式知1,A( 1+2),A 2(1+2+3)线性无关 =2320,即 230【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A= ,两边转置得 TAT=T, 两边右乘 ,得 TAT=T, T=T, () T=0, 故 T=0, 相互正交【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 =1 是二重特征值,为使 A 相似于对角阵,要求 r(EA)=r(EA)=1 ,r(E A)=1=k=0,故 k=0 时,存在可逆阵 P,使得 P1 AP=Ak=0 时,故 k=0 时,存在可逆

17、阵 使得【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 =(a)(1 a)(1+a)=0,得 1=1a, 2=a, 3=1+aa 且 a0 时,123,AA; a=0时, 1=3=1,r(E A)=r【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由题设 A1 =,A 是 A1 的对应于 的特征值,两边左乘 A,得 =A,A 1 可逆,0,A= ,即 对应分量相等,得 3+k=,2+2k=k,3+k=,得 2+2k=k(3+k),k 2+k2=0,得 k=1 或 k=2当k=1 时, =1,1,1 T,=4,= ;当 k=2 时,=1 ,2,1T, =1,= =1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】

18、A 有三个线性无关的特征向量, =2 是二重特征值,故特征矩阵2EA 的秩应为 1r(2EA)=r =1解得x=2,y=2,故 A= 因 trA=10= =4+3,故 3=6=2 时,(2EA)X= =0解得 =6 时,(6EA)X=0,解得 令 P=1, 2, 3= ,则 P1 AP=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)设 A 的特征向量考所对应的特征值为 ,则有 A=,即解得=1,a=3,b=0(2)当 a=3,b=0 时,由EA = =(+1)3=0 知 = 1 是 A 的三重特征值,但r(EA)= =2当 =1 时,对应的线性无关特征向量只有一个,故 A 不能相似于对角阵【

19、知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A *=0,左乘 A,得 AA*=A = 0A即由此得 0(a+1+c)=1 , 0(5b+3)=1, 0(c1a)=1, 由式 ,解得 0=1,代入式, 得b=3, a=c由A = 1,a=c ,有 =a3=1得 a=c=2,故得a=2,b=3,c=2, 0=1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 2=3=1 有两个线性无关特征向量 2, 3,它们都与 1 正交,故可取 2=1,0,0 T, 3=0,1,1 T,且取正交矩阵 T= 则A=TAT1 =TATT=【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 若 为 A 的特征值,则 3 为 A3E 的特征

20、值所以 A3E的特征值为1,1,3,2n3,故A3E=(1)13(2n 3)=(2n3) !【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)A E=(1)(+1) 2(2+y)+(2y1)=0 y=2(2)A为对称矩阵,要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵,即将实对称矩阵 A2 对角化由(1)得 A 的特征值 1=1, 2,3 =1, 4=3,故 A2 的特征值 1,2,3 =1, 4=9且 A2=A2 的属于特征值 1,2,3 =1 的正交单位化的特征向量为A2 的属于特征值 4=9 的正交单位化的特征向量为P4= 令 P=p1,p 2,p 3,p 4= ,则(AP) T(AP)

21、=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)设 k 1+k2A+k3A2=0, 由题设 Ai=ii(i=1,2,3),于是A=A1+A2+A3=11+22+33,A 2=121+222+323,代入 式整理得(k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0因为 1, 2, 3 是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于是有 其系数行列式 0,必有 k1=k2=k3=0,故 ,A ,A 2 线性无关(2)由 A3=A 有A,A,A 2=A,A 2,A 3=A,A 2,A=,A,A 2 令P=,A,A 2,则 P 可逆,且 P1 AP= =B,

22、从而有 r(AE)=r(BE)=2A+2E =B+2E = =6【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 EA= =(9)2=0=1=0, 2=3=9 1=0=(0EA)X=0= 1=1,2,2 T; 2=3=9=(9EA)X=0=2=2,2,1 T, 3=2,1,2 T单位化 Q= 为正交矩阵因此【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由 A 知,A 的全部特征值是 1,2,n,互不相同,故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B由于 1=1 时,( 1EA)X=0 ,有特征向量1=1,0,0 T; 2=2 时,( 2EA)X=0,有特征向量 2=0,1,0 T; n=n 时,( nEA)X=0,有特征向量 n=0,0,1 T故有 An=nn,A n1 =(n1) n1 ,A 1=1,即 A n, n1 , 1=nn,(n1)n1 , 1=n, n1 , 1 故得可逆阵 P= n, n1 , 1=有 P 1 AP=B【知识模块】 线性代数

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