1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 51 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于 1， 2 的特征向量，则 ( )（A）当 1=2 时， 1， 2 对应分量必成比例（B）当 1=2 时， 1， 2 对应分量不成比例（C）当 12 时， 1， 2 对应分量必成比例（D）当 12 时， 1， 2 对应分量必不成比例2 已知 1= 1，1，a，4 T， 2=2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是 4 阶方阵A 的 3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（A）a
2、5（B） a4（C） a3（D）a3 且 a43 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）EA=E B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tEB 相似4 设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（A）若 为 AT 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（B）若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量（C）若 为 A2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（D）若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量5 已知 3 阶矩阵 A 有特征值 1=1，
3、 2=2， 3=3，则 2A*的特征值是 ( )（A）1，2，3（B） 4，6，12（C） 2，4，6（D）8，16，246 已知 A 是 3 阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都可能7 已知 1， 2 是方程(EA)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（A） 1（B） 2（C） 1 2（D） 1+28 设 则下列选项中是 A 的特征向量的是 ( )（A） 1=1，2，1 T（B） 2=1，2，1 T（C） 3=2，1，2
4、T（D） 4=2，1，2 T9 下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( )二、填空题10 设 A= ， B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 Ax=0 的通解是_11 已知2 是 A= 的特征值，其中 b0 是任意常数，则x=_12 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是_13 设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E =0，则A+4E=_14 设 A 是 3 阶矩阵，A=3且满足A 2+2A=0 ，2A 2+A=0，则 A*的特征值是_15 设 A 是 n 阶实对称阵， 1， 2， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A的对应于
5、1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 111T 的特征值是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵17 设 A 是三阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量证明：当 230 时，向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关18 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ， 是n 维非零向量证明：， 正交1
6、9 设矩阵 A= ，问 k 为何值时，存在可逆阵 P，使得 P1 AP=A，求出 P 及相应的对角阵20 已知 A= ，求 A 的特征值和特征向量，a 为何值时，A 相似于A，a 为何值时， A 不能相似于 A21 已知 =1，k，1 T 是 A1 的特征向量，其中 A= ，及 所对应的特征值22 设矩阵 A= 有三个线性无关特征向量， =2 是 A 的二重特征值，试求可逆阵 P，使得 P1 AP=A，A 是对角阵23 已知 =1，1，1 T 是矩阵 A= 的一个特征向量(1)确定参数a，b 及考对应的特征值 ；(2)A 是否相似于对角阵，说明理由24 设矩阵 A= ，且A= 1，A 的伴随矩
7、阵 A*有特征值 0，属于0 的特征向量为 =1，1，1 T，求 a，b，c 及 0 的值25 设 A 是三阶实对称阵， 1=1， 2=3=1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1=0，1，1 T，求 A26 设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A3E的值27 设矩阵 (1)已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；(2)求矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵28 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为1， 2， 3，令 =1+2+3 (1)证明：，A，A 2 线性无关； (2)
8、若 A3=A，求秩 r(AE)及行列式A+2E29 设 A= ，求实对称矩阵 B，使 A=B230 证明：AB，其中 并求可逆阵 P，使得 P1 AP=B考研数学三（线性代数）模拟试卷 51 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 12 时，1， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 是三个不同特征值的特征
9、向量，必线性无关，由知 a5故应选(A)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，则 tEB=tEP 1 AP=P1 (tE)PP 1 AP=P1 (tEA)P ， 即 tEA 与 tEB 相似，选(D)对于 (A)：由 E A=EB，有 A=B；对于(B)：A 与 B 相似，则 A 与 B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵 AT 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A) 错误假设 为 A 的特征向量，
10、为其特征值，当 0时 也为 A*的特征向量这是由于 A=A*A=A*=A*= 1 A但反之， 为 A*的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n1 时，A *=O，此时，任意 n 维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B) 错误假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A2 的特征向量这是由于 A2=A(A)=A=2但反之，若 为 A2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A1=1，A 2= 2，其中 1， 20此时有A2(1+2)=A21+A22=1+2，可知 1+2 为 A2 的特征向量但 1， 2 是矩阵
11、 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1+2 不是 A 的特征向量故(C)错误若为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 A= ，因此 为 A的特征向量可知(D) 是正确的故选 (D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 BA *的特征值是 2 ，其中A= 123， i 是 A 的特征值，分别为1，2，3，故 2A*的特征值为 4，6，12【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(OE A)=1(OEA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：A= ，r(A)=1，=0 是
12、三重特征值【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 1 20，且仍有关系 A(1 2)=1 2=(1 2)， 故 1 2 是 A 的特征向量 而(A) 1，(B) 2，(D) 1+2 均有可能是零向量而不能成为 A 的特征向量【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 因 A2= 故 2 是 A 的对应于=2 的特征向量其余的 1， 2， 3 均不与 A1，A 2，A 3 对应成比例，故都不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1=2=1
13、，有两个线性无关特征向量对(C)而言，因 r(EC)=r=1可有两个线性无关特征向量，故(C)可相似于对角阵，而r(EA)=r(EB)=r(ED)=2 ，都只有一个线性无关特征向量，故均不能：相似于对角阵【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 k1，1，0 T，k 为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 由 r(A)3，有 a=1当 a=1 时，求得 Ax=0 的基础解系为1，1，0 T，因此通解为 k1，1，0 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 4【试题解析】 由E A=2AE =0，可
14、求得 x=4【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0(n1 重根)，n(单根)【试题解析】 故 =0(n1 重特征值)，=n(单根)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 6【试题解析】 由A+E=A+2E =A+3E=0 ，知 A 有特征值=1， 2， 3，A+4E 有特征值 =3，2，1，故A+4E =6 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1= ， 2=6， 3=1【试题解析】 AA+2E=0，因A=3 ，则A+2E=0，故 A 有特征值1=2又 因A=3= 123，故3=3A=，A *A=A*，A *= ，故 A*有特征值 1= ， 2=6， 3=1【知识模块】 线性代数1
15、5 【正确答案】 0， 2， 3， n【试题解析】 因 A 是实对称阵， 1， 2， n 互不相同，对应的特征向量1， 2， n 相互正交，故 Bi=(A 111T)i= 故 B 有特征值为0， 2， 3， n【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关11+22， 22+33， 33+11 线性无关 11+22， 22+33， 33+11=1， 2， 3 秩为 3因为 1， 2， 3 线性无关，=21230A= 1230，A 是可逆阵【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因 1，A( 1
16、+2)，A 2(1+2+3)=1， 11+22+121+222+323=1， 2， 3 因 123，故 1， 2， 3 线性无关，由上式知1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关 =2320，即 230【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A= ，两边转置得 TAT=T， 两边右乘 ，得 TAT=T， T=T， () T=0， 故 T=0， 相互正交【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 =1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求 r(EA)=r(EA)=1 ，r(E A)=1=k=0，故 k=0 时，存在可逆阵 P，使得 P1 AP=Ak=0 时，故 k=0 时，存在可逆
17、阵 使得【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 =(a)(1 a)(1+a)=0，得 1=1a， 2=a， 3=1+aa 且 a0 时，123，AA； a=0时， 1=3=1，r(E A)=r【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由题设 A1 =，A 是 A1 的对应于 的特征值，两边左乘 A，得 =A，A 1 可逆，0，A= ，即 对应分量相等，得 3+k=，2+2k=k，3+k=，得 2+2k=k(3+k)，k 2+k2=0，得 k=1 或 k=2当k=1 时， =1，1，1 T，=4，= ；当 k=2 时，=1 ，2，1T， =1，= =1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】
18、A 有三个线性无关的特征向量， =2 是二重特征值，故特征矩阵2EA 的秩应为 1r(2EA)=r =1解得x=2，y=2，故 A= 因 trA=10= =4+3，故 3=6=2 时，(2EA)X= =0解得 =6 时，(6EA)X=0，解得 令 P=1， 2， 3= ，则 P1 AP=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)设 A 的特征向量考所对应的特征值为 ，则有 A=，即解得=1，a=3，b=0(2)当 a=3，b=0 时，由EA = =(+1)3=0 知 = 1 是 A 的三重特征值，但r(EA)= =2当 =1 时，对应的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角阵【
19、知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A *=0，左乘 A，得 AA*=A = 0A即由此得 0(a+1+c)=1 ， 0(5b+3)=1， 0(c1a)=1， 由式 ，解得 0=1，代入式， 得b=3， a=c由A = 1，a=c ，有 =a3=1得 a=c=2，故得a=2，b=3，c=2， 0=1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 2=3=1 有两个线性无关特征向量 2， 3，它们都与 1 正交，故可取 2=1，0，0 T， 3=0，1，1 T，且取正交矩阵 T= 则A=TAT1 =TATT=【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 若 为 A 的特征值，则 3 为 A3E 的特征
20、值所以 A3E的特征值为1，1，3，2n3，故A3E=(1)13(2n 3)=(2n3) ！【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)A E=(1)(+1) 2(2+y)+(2y1)=0 y=2(2)A为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A2 对角化由(1)得 A 的特征值 1=1， 2，3 =1， 4=3，故 A2 的特征值 1，2，3 =1， 4=9且 A2=A2 的属于特征值 1，2，3 =1 的正交单位化的特征向量为A2 的属于特征值 4=9 的正交单位化的特征向量为P4= 令 P=p1，p 2，p 3，p 4= ，则(AP) T(AP)
21、=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)设 k 1+k2A+k3A2=0， 由题设 Ai=ii(i=1，2，3)，于是A=A1+A2+A3=11+22+33，A 2=121+222+323，代入 式整理得(k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0因为 1， 2， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 其系数行列式 0，必有 k1=k2=k3=0，故 ，A ，A 2 线性无关(2)由 A3=A 有A，A，A 2=A，A 2，A 3=A，A 2，A=，A，A 2 令P=，A，A 2，则 P 可逆，且 P1 AP= =B，
22、从而有 r(AE)=r(BE)=2A+2E =B+2E = =6【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 EA= =(9)2=0=1=0， 2=3=9 1=0=(0EA)X=0= 1=1，2，2 T； 2=3=9=(9EA)X=0=2=2，2，1 T， 3=2，1，2 T单位化 Q= 为正交矩阵因此【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B由于 1=1 时，( 1EA)X=0 ，有特征向量1=1，0，0 T； 2=2 时，( 2EA)X=0，有特征向量 2=0，1，0 T； n=n 时，( nEA)X=0，有特征向量 n=0，0，1 T故有 An=nn，A n1 =(n1) n1 ，A 1=1，即 A n， n1 ， 1=nn，(n1)n1 ， 1=n， n1 ， 1 故得可逆阵 P= n， n1 ， 1=有 P 1 AP=B【知识模块】 线性代数
