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[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷62及答案与解析.doc

1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 若向量组 1, 2, 3, 4 线性相关,且向量 4 不可由向量组 1, 2, 3 线性表示,则下列结论正确的是( ) (A) 1, 2, 3 线性无关(B) 1, 2, 3 线性相关(C) 1, 2, 4 线性无关(D) 1, 2, 4 线性相关2 设矩阵 A=(1, 2, 3, 4)经行初等变换为矩 B=(1, 2, 3, 4),且 1, 2, 3线性无关, 1, 2, 3, 4 线性相关,则( )(A) 4 不能由 1, 2, 3 线性表示(B) 4 能由 1, 2, 3

2、线性表示,但表示法不唯一(C) 4 能由 1, 2, 3 线性表示,且表示法唯一(D) 4 能否由 1, 2, 3 线性表示不能确定3 设 A=(1, 2, m),其中 1, 2, m 是 n 维列向量,若对于任意不全为零的常数 k1,k 2,k m,皆有 k1m+k22+kmm0,则( )(A)mn(B) m=n(C)存在 m 阶可逆阵 P,使得(D)若 AB=0,则 B=04 下列命题正确的是( )(A)若向量 1, 2, , n 线性无关,A 为 n 阶非零矩阵,则A1,A 2,A n 线性无关(B)若向量 1, 2, n 线性相关,则 1, 2, n 中任一向量都可由其余向量线性表示(

3、C)若向量 1, 2, n 线性无关,则 1+2, 2+3, n+1 一定线性无关(D)设 1, 2, n 是 n 个 n 维向量且线性无关, A 为 n 阶非零矩阵,且A1,A 2,A n 线性无关,则 A 一定可逆5 向量组 1, 2, m 线性无关的充分必要条件是 ( )(A) 1, 2, m 中任意两个向量不成比例(B) 1, 2, m 是两两正交的非零向量组(C)设 A=(1, 2, m),方程组 AX=0 只有零解(D) 1, 2, m 中向量的个数小于向量的维数6 设 A 是 mn 矩阵,且 mn,下列命题正确的是( )(A)A 的行向量组一定线性无关(B)非齐次线性方程组 AX

4、=b定有无穷多组解(C) ATA 一定可逆(D)A TA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n7 设 A,B 是满足 AB=0 的任意两个非零阵,则必有( )(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(B) A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(C) A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关(D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关8 设 1, 2, , m 与 1, 2, S 为两个 n 维向量组,且 r(1, 2, m)=r(1, 2, S)一 r,则 ( )(A)两个向量组等价(B) r(1, 2, m, 1, 2, S)=r(C)若向量组 1, 2,

5、m 可由向量组 1, 2, S 线性表示,则两向量组等价(D)两向量组构成的矩阵等价9 设 A 是 ms 阶矩阵,B 为 5n 阶矩阵,则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( ) (A)r(A)=s(B) r(A)=m(C) r(B)=s(D)f(B)=n10 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0,且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1, 2,则下列命题正确的是( )(A)AX=b 的通解为 k11+k22(B) 1+2 为 AX=b 的解(C)方程组 AX=0 的通解为 k(1 一 2)(D)AX=b 的通解为 k11+k22+ (1+2)11 设有方程组 AX=0

6、与 BX=0,其中 A,B 都是 mn 阶矩阵,下列四个命题:(1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解,则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B),则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解,则 r(A)=r(B)(4)若 r(A)=r(B),则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) (A)(1)(2)(B) (1)(3)(C) (2)(4)(D)(3)(4)12 设 A 是 mn 阶矩阵,B 是 nm 阶矩阵,则( )(A)当 mn 时,线性齐次方程组 ABX=0 有非零解(B)当 mn 时,线性齐次方程组 ABX=0 只有零解(C)当

7、 nm 时,线性齐次方程组 ABX=0 有非零解(D)当 nm 时,线性齐次方程组 ABX=0 只有零解13 设 A 为 mn 阶矩阵,则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )(A)r(A)=m(B) r(A)=n(C) A 为可逆矩阵(D)r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题14 设 1= 则 1, 2, 3, 4 的一个极大线性无关组为_,其余的向量用极大线性无关组表示为_15 设 且存在三阶非零矩阵 B,使得 AB=0,则a=_,b=_16 设 为非零向量, 为方程组 AX=0 的解,则a=_,方程组的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演

8、算步骤。17 设 A 为 n 阶矩阵,证明:r(A *)= 其中,2218 设 A 为,2 阶矩阵,证明:r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量,使得 A=T19 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n 一 1证明:存在常数 k,使得(A *)2=kA*20 设 A 是 n(n3)阶矩阵,证明:(A *)*=|A|n 一 2A21 设 A,B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵,且 AB=0证明:r(A)+r(B)n22 设向量组() 1, 2, 3;() 1, 2, 3, 4; () 1, 2, 3, 5,若向量组()与向量组 ()的秩为 3,而向量组()的秩为 4证明:向量组 1

9、, 2, 3, 5一 4 的秩为 423 设 1, 2, , n 为 n 个 n 维线性无关的向量,A 是 n 阶矩阵证明:A1,A 2,A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆24 设 1, 2, , n 为 n 个 n 维列向量,证明: 1, 2, n 线性无关的充分必要条件是25 设 1, 2, , t 为 AX=0 的一个基础解系, 不是 AX=0 的解,证明:,+ 1,+ 2,+ t 线性无关26 设 1, 2, , n 为 n 个 n 维向量,证明: 1, 2, n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1, 2, n 线性表示27 设 A 为 n 阶矩阵,若 Ak 一

10、 10,而 Ak=0证明:向量组 ,A ,Ak k 一1 线性无关27 设 1, 2, 1, 2 为三维列向量组,且 1, 2 与 1, 2 都线性无关证明:28 至少存在一个非零向量可同时由 1, 2 和 1, 2 线性表示;29 设 1= 求出可由两组向量同时线性表示的向量30 设二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=yx12+yx22+4yx32,求参数 a,6 及正交矩阵 Q考研数学三(线性代数)模拟试卷 62 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试

11、题解析】 若 1, 2, 3 线性无关,因为 4 不可由 1, 2, 3 线性表示,所以1, 2, 3, 4 线性无关,矛盾,故 1, 2, 3 线性相关,选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1, 2, 3 线性无关,而 1, 2, 3, 4 线性相关,所以 4 可由 1, 2, 3 唯一线性表示,又 A=(1, 2, 3, 4)经过有限次初等行变换化为B=(1, 2, 3, 4),所以方程组 x11+x22+x33=4 与 x11+x22+x33=4 是同解方程组,因为方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解,所以方程组 x11+x22+x33=4 有唯

12、一解,即 4 可由 1, 2, 3 唯一线性表示,选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1,k 2, ,k m,有k1, 1+k22+kmm0,所以向量组 1, 2, m 线性无关,即方程组 AX=0只有零解,故若 AB=0,则 B=0,选(D) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1,A 2,A n)=A(1, 2, n),因为 1, 2, n 线性无关,所以矩阵( 1, 2, n)可逆,于是 r(A1,A 2,A n)=r(A),而A1,A 2,A n 线性无关,所以 r(A)=n,即 A 一定可逆,选(D)

13、【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1, 2, m 线性无关,则 1, 2, m 中任意两个向量不成比例,反之不对,故(A)不对;若 1, 2, m 是两两正交的非零向量组,则 1, 2, m 一定线性无关,但 1, 2, m 线性无关不一定两两正交,(B)不对; 1, 2, m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关,(D)不对,选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆,则 r(ATA)=n,因为 r(ATA)=r(A),所以 r(A)=n;反之,若 r(A)=n,因为 r(ATA)=r(A),所以 ATA 可逆,选(D)

14、【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 设 A,B 分别为 mn 及 ns 矩阵,因为 AB=0,所以 r(A)+r(B)n,因为 A, B 为非零矩阵,所以 r(A)1,r(B)1,从而 r(A)n,r(B)n,故A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关,选 (A)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1, 2, m 的极大线性无关组为 1, 2, r向量组 1, 2, s 的极大线性无关组为 1, 2, r 若 1, 2, m 可由 1, 2, s 线性表示,则 1, 2, r 也可由 1, 2, r 线性表示,若 1, 2, r 不可

15、由 1, 2, r 线性表示,则 1, 2, s 也不可由1, 2, m 线性表示,所以两向量组秩不等,矛盾,选(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A)=s,显然方程组 B=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解,反之,若 ABX=0,因为 r(A)=s,所以方程组 AY 一 0 只有零解,故 BX=0,即方程组BX=0 与方程组 ABX=0 同解,选(A) 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一,所以 r(A)n,又因为A*0,所以 r(A)=n 一 1, 2 一 1 为齐次线性方程组 AX=0

16、的基础解系,选(C) 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解,则 n 一 r(A)n 一r(B),从而 r(A)r(B),(1)为正确的命题;显然(2)不正确;因为同解方程组系数矩阵的秩相等,但反之不对,所以(3)是正确的,(4) 是错误的,选(B)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵,当 mn 时,因为 r(A)n,r(B)n 且 r(AB)minr(A),r(B) ,所以 r(AB)m,于是方程组 ABX=0 有非零解,选(A) 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题

17、解析】 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是易可由矩阵 A 的列向量组线性表示,在方程组 AX=b 有解的情形下,其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n,故选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题14 【正确答案】 1, 2;【试题解析】 ( 1, 2, 3, 4)=则向量组1, 2, 3, 4 的一个极大线性无关组为 1, 2,且【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2,1【试题解析】 ,因为 AB=0,所以 r(A)+r(B)3,又 B0,于是 r(B)1,故 r(A)2,从而 a=2,b=1 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 3;k(一 3,1,2) T【试题解析】 AX

18、=0 有非零解,所以|A|=0,解得 a=3,于是方程组 AX=0 的通解为 k(一 3,1,2) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 AA *=A*A=|A|E 当 r(A)=n 时,|A|0,因为|A *|=|A|n 一 1,所以|A*|0,从而 r(A*)=n; 当 r(A)=n 一 1 时,由于 A 至少有一个 n 一 1 阶子式不为零,所以存在一个 Mij0,进而 Aij0,于是 A*0,故 r(A*)1,又因为|A|=0 ,所以AA*=|A|E=0,根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A*)n,而 r(A)=n 一 1,于是得

19、 r(A*)1,故 r(A*)=1; 当 r(A)n 一 1 时,由于 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零,所以A*=0,故 r(A*)=0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 r(A)=1,则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例,故 A=T,显然 , 为非零向量,设 AT,其中 , 为非零向量,则 A 为非零矩阵,于是 r(A)1,又 r(A)=r(T)r()=1,故 r(A)=1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 r(A)=n 一 1,所以 r(A*)=1,于是 A*= (b1bn),其中为非零向量,故 (A *)2= (b1bn)=kA*,其中 k=【知识模块

20、】 线性代数20 【正确答案】 (A *)*A*=|A*|E=|A|n 一 1E,当 r(A)=n 时,r(A *)=n,A *=|A|A 一 1,则 (A*)*A*=(A*)*|A|A 一 1=|A|n 一 1E,故(A *)*=|A|n 一 2A当 r(A)=n 一 1 时,|A|=0,r(A *)=1,r(A *)*=0,即(A *)*=0,原式显然成立,当 r(A)n 一 1 时,|A|=0,r(A *)=0,(A *)*=0,原式也成立【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 令 B=(1, 2, s),因为 AB=0,所以 B 的列向量组1, 2, s 为方程组 AX=0 的一组解

21、,而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n 一 r(A),所以向量组 1, 2, s 的秩不超过 n 一 r(A),又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等,因此 r(B)n 一 r(A),即 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为向量组()的秩为 3,所以 1, 2, 3 线性无关,又因为向量组()的秩也为 3,所以向量 4 可由向量组 1, 2, 3 线性表示因为向量组( )的秩为 4,所以 1, 2, 3, 5 线性无关,即向量 5 不可由向量组 1, 2, 3 线性表示,故向量 5 一 4 不可由 1, 2, 3 线性表示,所以 1, 2,

22、 3, 5 一 4 线性无关,于是向量组 1, 2, 3, 5 一 4 的秩为 4【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 B=(1, 2, n),因为 1, 2, n 为 n 个 n 维线性无关的向量,所以 r(B)=n (A1,A 2,A n)=AB,因为 r(AB)=r(A),所以A1,A 2,A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n,即 A 可逆【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 A=(1, 2, n),A TA= ,r(A)=r(ATA),向量组 1, 2, , n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n,即 r(ATA)=n或|A TA|0,从而 1, 2, n

23、 线性无关的充分必要条件是【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令 +k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0 (k+k1+kt)=一 k11一一 ktt (k+k1+kt)A=一k1A1=ktAt=0,A0 ,k+k 1+kt=0,k 11+ktt=0 k=k1=kt=0 ,+ 1,+ t 线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 1, 2, n 线性无关,对任意的 n 维向量 ,因为1, 2, m, 一定线性相关,所以 可由 1, 2, n 唯一线性表示,即任一 n 维向量总可由 1, 2, n 线性表示反之,设任一 n 维向量总可由1, 2, n 线性表示,取 e1=

24、 ,e 2= ,e n= ,则e1,e 2,e n 可由 1, 2, n 线性表示,故 1, 2, n 的秩不小于e1,e 2,e n 的秩,而 e1,e 2,e n 线性无关,所以 1, 2, n 的秩一定为 n,即 1, 2, n 线性无关【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 令 l0+l1A+l k 一 1Ak 一 1=0(*)(*)两边同时左乘 Ak 一 1 得 l0Ak 一1=0,因为 Ak 一 10,所以 l0=0;(*)两边同时左乘 Ak 一 2 得 l1Ak 一 1=0,因为 Ak一 10,所以 l1=0,依次类推可得 l2=1k 一 1=0,所以 ,A,A k 一 1 线

25、性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 1, 2, 1, 2 线性相关,所以存在不全为零的常数k1,k 2,l 1,l 2,使得 k11+k22+l11+k22=0,或 k11+k22=一 l11 一 l22 令=k11+k22=一 l11 一 l22,因为 1, 2 与 1, 2 都线性无关,所以 k1,k 2 及l1,l 2 都不全为零,所以 y0【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 令 k11+k12+l11+l22=0A=( 1, 2, 1, 2)=所以 =k1 一 3k2=一 k1+02【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 二次型,f=2x

26、 12+2x22+a32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 的矩阵形式为f=XTAX 其中 因为 QTAQ=B= ,所以AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵),于是 A 的特征值为 1,1,4而|E 一 A|=3 一(a+4) 2+(4a 一 b2+2)+(一 3a 一 2b+2b2+2),所以有 3 一(a+4) 2+(4a一 b2+2)+(一 3a 一 2b+2b2+2)=( 一 1)2( 一 4),解得 a=2,b=1当 1=2=1 时,由(E 一 A)X=0 得 1= 由 3=4 时,由(4E 一 A)X=0 得 3= 显然 1, 2, 3 两两正交,单位化为【知识模块】 线性代数

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