1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关2 设矩阵 A=(1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩 B=(1， 2， 3， 4)，且 1， 2， 3线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3
2、线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定3 设 A=(1， 2， m)，其中 1， 2， m 是 n 维列向量，若对于任意不全为零的常数 k1，k 2，k m，皆有 k1m+k22+kmm0，则( )（A）mn（B） m=n（C）存在 m 阶可逆阵 P，使得（D）若 AB=0，则 B=04 下列命题正确的是( )（A）若向量 1， 2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可由其余向量线性表示（
3、C）若向量 1， 2， n 线性无关，则 1+2， 2+3， n+1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆5 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A=(1， 2， m)，方程组 AX=0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数6 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AX
4、=b定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）A TA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n7 设 A，B 是满足 AB=0 的任意两个非零阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关8 设 1， 2， ， m 与 1， 2， S 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)=r(1， 2， S)一 r，则 ( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， S)=r（C）若向量组 1， 2，
5、m 可由向量组 1， 2， S 线性表示，则两向量组等价（D）两向量组构成的矩阵等价9 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 5n 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( ) （A）r(A)=s（B） r(A)=m（C） r(B)=s（D）f(B)=n10 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AX=b 的通解为 k11+k22（B） 1+2 为 AX=b 的解（C）方程组 AX=0 的通解为 k(1 一 2)（D）AX=b 的通解为 k11+k22+ (1+2)11 设有方程组 AX=0
6、与 BX=0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)(4)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)12 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解（C）当
7、 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解13 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示二、填空题14 设 1= 则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_15 设 且存在三阶非零矩阵 B，使得 AB=0，则a=_，b=_16 设 为非零向量， 为方程组 AX=0 的解，则a=_，方程组的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
8、算步骤。17 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *)= 其中，2218 设 A 为，2 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量，使得 A=T19 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n 一 1证明：存在常数 k，使得(A *)2=kA*20 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*=|A|n 一 2A21 设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=0证明：r(A)+r(B)n22 设向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，若向量组()与向量组 ()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1
9、， 2， 3， 5一 4 的秩为 423 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆24 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是25 设 1， 2， ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1，+ 2，+ t 线性无关26 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示27 设 A 为 n 阶矩阵，若 Ak 一
10、 10，而 Ak=0证明：向量组 ，A ，Ak k 一1 线性无关27 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关证明：28 至少存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示；29 设 1= 求出可由两组向量同时线性表示的向量30 设二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3 经过正交变换 X=QY 化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数 a，6 及正交矩阵 Q考研数学三（线性代数）模拟试卷 62 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试
11、题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，又 A=(1， 2， 3， 4)经过有限次初等行变换化为B=(1， 2， 3， 4)，所以方程组 x11+x22+x33=4 与 x11+x22+x33=4 是同解方程组，因为方程组 x11+x22+x33=4 有唯一解，所以方程组 x11+x22+x33=4 有唯
12、一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k1， 1+k22+kmm0，所以向量组 1， 2， m 线性无关，即方程组 AX=0只有零解，故若 AB=0，则 B=0，选(D) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)=A(1， 2， n)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)=r(A)，而A1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选(D)
13、【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故(A)不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不对，选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 ATA 可逆，选(D)
14、【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选 (A)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2， m 的极大线性无关组为 1， 2， r向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r 若 1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r 也可由 1， 2， r 线性表示，若 1， 2， r 不可
15、由 1， 2， r 线性表示，则 1， 2， s 也不可由1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A)=s，显然方程组 B=0 的解一定为方程组 ABX=0 的解，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY 一 0 只有零解，故 BX=0，即方程组BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选(A) 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*0，所以 r(A)=n 一 1， 2 一 1 为齐次线性方程组 AX=0
16、的基础解系，选(C) 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则 n 一 r(A)n 一r(B)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4) 是错误的，选(B)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选(A) 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题
17、解析】 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是易可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 AX=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，故选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题14 【正确答案】 1， 2；【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)=则向量组1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2，1【试题解析】 ，因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，又 B0，于是 r(B)1，故 r(A)2，从而 a=2，b=1 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 3；k(一 3，1，2) T【试题解析】 AX
18、=0 有非零解，所以|A|=0，解得 a=3，于是方程组 AX=0 的通解为 k(一 3，1，2) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 AA *=A*A=|A|E 当 r(A)=n 时，|A|0，因为|A *|=|A|n 一 1，所以|A*|0，从而 r(A*)=n； 当 r(A)=n 一 1 时，由于 A 至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 Aij0，于是 A*0，故 r(A*)1，又因为|A|=0 ，所以AA*=|A|E=0，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A*)n，而 r(A)=n 一 1，于是得
19、 r(A*)1，故 r(A*)=1； 当 r(A)n 一 1 时，由于 A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，所以A*=0，故 r(A*)=0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，故 A=T，显然 ， 为非零向量，设 AT，其中 ， 为非零向量，则 A 为非零矩阵，于是 r(A)1，又 r(A)=r(T)r()=1，故 r(A)=1【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 r(A)=n 一 1，所以 r(A*)=1，于是 A*= (b1bn)，其中为非零向量，故 (A *)2= (b1bn)=kA*，其中 k=【知识模块
20、】 线性代数20 【正确答案】 (A *)*A*=|A*|E=|A|n 一 1E，当 r(A)=n 时，r(A *)=n，A *=|A|A 一 1，则 (A*)*A*=(A*)*|A|A 一 1=|A|n 一 1E，故(A *)*=|A|n 一 2A当 r(A)=n 一 1 时，|A|=0，r(A *)=1，r(A *)*=0，即(A *)*=0，原式显然成立，当 r(A)n 一 1 时，|A|=0，r(A *)=0，(A *)*=0，原式也成立【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 令 B=(1， 2， s)，因为 AB=0，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组 AX=0 的一组解
21、，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n 一 r(A)，所以向量组 1， 2， s 的秩不超过 n 一 r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)n 一 r(A)，即 r(A)+r(B)n【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为向量组()的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5 一 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2，
22、 3， 5 一 4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3， 5 一 4 的秩为 4【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 B=(1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以 r(B)=n (A1，A 2，A n)=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 令 A=(1， 2， n)，A TA= ，r(A)=r(ATA)，向量组 1， 2， ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(ATA)=n或|A TA|0，从而 1， 2， n
23、 线性无关的充分必要条件是【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令 +k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0 (k+k1+kt)=一 k11一一 ktt (k+k1+kt)A=一k1A1=ktAt=0，A0 ，k+k 1+kt=0，k 11+ktt=0 k=k1=kt=0 ，+ 1，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， m， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n 唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示，取 e1=
24、 ，e 2= ，e n= ，则e1，e 2，e n 可由 1， 2， n 线性表示，故 1， 2， n 的秩不小于e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 令 l0+l1A+l k 一 1Ak 一 1=0(*)(*)两边同时左乘 Ak 一 1 得 l0Ak 一1=0，因为 Ak 一 10，所以 l0=0；(*)两边同时左乘 Ak 一 2 得 l1Ak 一 1=0，因为 Ak一 10，所以 l1=0，依次类推可得 l2=1k 一 1=0，所以 ，A，A k 一 1 线
25、性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k11+k22+l11+k22=0，或 k11+k22=一 l11 一 l22 令=k11+k22=一 l11 一 l22，因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及l1，l 2 都不全为零，所以 y0【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 令 k11+k12+l11+l22=0A=( 1， 2， 1， 2)=所以 =k1 一 3k2=一 k1+02【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 二次型，f=2x
26、 12+2x22+a32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 的矩阵形式为f=XTAX 其中 因为 QTAQ=B= ，所以AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4而|E 一 A|=3 一(a+4) 2+(4a 一 b2+2)+(一 3a 一 2b+2b2+2)，所以有 3 一(a+4) 2+(4a一 b2+2)+(一 3a 一 2b+2b2+2)=( 一 1)2( 一 4)，解得 a=2，b=1当 1=2=1 时，由(E 一 A)X=0 得 1= 由 3=4 时，由(4E 一 A)X=0 得 3= 显然 1， 2， 3 两两正交，单位化为【知识模块】 线性代数
