1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 79 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是 A 的一个特征值,则伴随矩阵 A*的一个特征值是(A) -1A n-1 (B) -1A (C) A (D)A n-12 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值,则 的一个特征值是(A)(B)(C)(D)3 设 A 是 3 阶不可逆矩阵, 1, 2 是 Ax=0 的基础解系, 3 是属于特征值 =1 的特征向量,下列不是 A 的特征向量的是(A) 1+32(B) 1 一 2(C) 1+3(D)2 34 设 0 是 A 的特征向量,则 0 不一定是其
2、特征向量的矩阵是(A)(A+E) 2(B)一 2A(C) AT(D)A *5 下列矩阵中不能相似对角化的是(A)(B)(C)(D)6 设 A 是 n 阶非零矩阵,A m=0,下列命题中不一定正确的是(A)A 的特征值只有零(B) A 必不能对角化(C) E+A+A2+Am-1 必可逆(D)A 只有一个线性无关的特征向量二、填空题7 设 A 是 n 阶矩阵,r(A)n,则 A 必有特征值_,且其重数至少是_8 设 A 是 n 阶可逆矩阵,A 是 的特征值,则(A *)2+E 必有特征值_9 已知一 2 是 的特征值,则 x=_10 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵,且 A2+5A=0,则
3、 A 的特征值是_11 已知 =(1,1,一 1)T 是矩阵 的特征向量,则x=_12 设 A 是 3 阶矩阵,且各行元素之和都是 5,则 A 必有特征向量_13 设 A 是 3 阶实对称矩阵,特征值是 0,1,2如果 1=(1,2,1) T 与 2=(1,一1,1) T 分别是 =0 与 =1 的特征向量,则 =2 的特征向量是_14 已知 相似,则x=_,y=_15 已知矩阵 有两个线性无关的特征向量,则a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知 求 A 的特征值、特征向量,并判断 A 能否相似对角化,说明理由17 已知 A*是 A 的伴随矩阵,求 A*的特征值与特
4、征向量18 已知 可对角化,求可逆矩阵 P 及对角矩阵 A,使 P-1AP=A19 已知 A 是 3 阶不可逆矩阵,一 1 和 2 是 A 的特征值,B=A 2 一 A 一 2E,求 B 的特征值,并问 B 能否相似对角化,并说明理由20 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2, 1=2=6 是 A 的二重特征值,若 1=(1,1,0)T, 2=(2,1,1) T, 3=(一 1,2,一 3)T 都是 A 属于 =6 的特征向量,求矩阵 A21 已知 AB,A 2=A,证明 B2=B22 已知 1, 2, 3 是 A 的特征值, 1,2,3 是相应的特征向量且线性无关,如1+2+3 仍是 A 的
5、特征向量,则 1=2=3考研数学三(线性代数)模拟试卷 79 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如 A=,则故选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 如 A=A,则当 =2 时,知 选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 A 1=0,A 2=0,A 3=3则 A(1+32)=0,A( 1 一 2)=0,A(2 3)=23因此(A),(B),(D)都正确 A( 1+3)=3 和 1+3 不相关,因此 1+3 不是特征向量,故应选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C
6、【试题解析】 由EA T= (E A)T=EA 知 A 与 AT 有相同的特征值,但方程组(E A)x=0 与(E AT)x=0 不一定同解,故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选(c)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是实对称矩阵, (c)有 3 个不同的特征值,均可对角化(B)和(D)特征值都是 0,0 ,3在(B)中, n 一 r(0E 一 A)=2,说明 A=0 有 2 个线性无关的特征向量故呵以相似对角化在(D)中,nr(0E 一 A)=1,说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似埘角化故应选(D) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案
7、】 D【试题解析】 设 A=,0,则 m=m=0故 =0(A)正确 因为A0,r(A)1,那么 Ax=0 的基础解系有 nr(A)个解,即 =0 有,n 一 r(A)个线性关的特征向量故(B)正确,而(D)不一定正确由(EA)(E+A+A 2+Am-1)=EAm=E,知(C)正确故应选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 r(A)n A=0 是 A 的特征值 ;j(j=1,2,nr(A)【试题解析】 r(A)n A=0 必是 A 的特征值由 r(A)nAx=0 有非 0解设 1, 2, n-r(A)是 Ax=0 的基础解系,则 Ai=0=0i,即 j(j=1,2,n r(A)
8、是 =0 的特征向量.因此 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量从而 =0 至少是矩阵 A 的 n 一 r(A)重特征值注意:k 重特征值至多有 k个线性无关的特征向量【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 A 的特征值为 A *的特征值为 的特征值为的特征值为【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 x=-4【试题解析】 因为一 2 是矩阵 A 的特征值,所以由【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 一 5,一 5,0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵,故 AA又 r(A)=2,所以 r(A)=2设A=(0),由 A2+5A=0 得 2+5=0因此 A 的特征值为 0 或
9、一 5从而所以矩阵 A 的特征值是:一 5,一 5,0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 x=4【试题解析】 设 A=,即 ,亦即【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5,即 亦即【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 t(一 1,0,1) T,t0【试题解析】 设 =2 的特征向量是 =(x1,x 2,x 3),则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有所以 =2 的特征向量是 t(一 1,0,1) T,t0【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 x=0,y=1【试题解析】 由 AB,知a ii=bii,且一 1 是 A 的特征值,即【
10、知识模块】 线性代数15 【正确答案】 a=0【试题解析】 由 A 的特征多项式知矩阵 A 的特征值是 =一 1(三重根 ),因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量,故从而 a=一 1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由特征多项式得到矩阵 A 的特征值 1=2, 2=3=一 1由(2E 一 A)x=0 得基础解系 1=(5,一 2,9) T,即 =2 的特征向量是 k11(k10)由 (一 EA)x=0 得基础解系 2=(1,一 1,0) T,即 =一 1的特征向量是 k22(k20)因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量,所以
11、 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 而 r(B)=1,则有E 一 B= 3 一 62所以矩阵 B 的特征值是 6,0,0故矩阵 A 的特征值是5,一 1,一 1又行列式A=5,因此 A*的特征值是 1,一 5,一 5矩阵 B 属于 =6 的特征向量是 1=(1,1,1) T,属于 =0 的特征向量是 2=(一 1,1,0) T 和3=(一 1,0, 1)T因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10),属于 =一 5 的特征向量是 k22+k33 (k2,k 3 不全为 0)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由特征多项式知矩阵 A 的特征值为 1=
12、2=1, 3=一 2因为矩阵 A 可以相似对角化,故 r(EA)=1而所以 x=6当 =1 时,由(EA)x=0 得基础解系 1=(一 2,1,0) T, 2=(0,0,1) T当 =一 2 时,由(一 2EA)x=0得基础解系 3=(一 5,1,3) T那么,令【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆,有A=0,从而 =0 是 A 的特征值由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值,则 于是 P-1AP=A那么 P-1A2P=A2因此 P-1BP=P-1A2P 一 P-1AP 一 2E= 所以矩阵 B 的特征值是 =0,=一 2,且 B 可以相似对角化【知识模块】 线性代数2
13、0 【正确答案】 由 r(A)=2 知A=0,所以 =0 是 A 的另一特征值设矩阵 A属于 =0 的特征向量 =(x1,x 2,x 3)T,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有 解出此方程组的基础解系 =(一1,1,1) T那么 A(1,2,)=(6 1,6 2,0) ,用初等变换法解此矩阵方程得【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 AB,有 P 一 1AP=B,那么 B2=P 一 1A2P=P 一 1AP=B【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量,即 A(1+2+3) =A(1+2+3) 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33,于是 ( 1)1+(2)2+(3)3=0 因为 1,2,3 线性无关,故 1=0, 2=0, 3=0 即1=2=3【知识模块】 线性代数
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