1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 79 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A*的一个特征值是（A） -1A n-1 （B） -1A （C） A （D）A n-12 设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则 的一个特征值是（A）（B）（C）（D）3 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（A） 1+32（B） 1 一 2（C） 1+3（D）2 34 设 0 是 A 的特征向量，则 0 不一定是其
2、特征向量的矩阵是（A）(A+E) 2（B）一 2A（C） AT（D）A *5 下列矩阵中不能相似对角化的是（A）（B）（C）（D）6 设 A 是 n 阶非零矩阵，A m=0，下列命题中不一定正确的是（A）A 的特征值只有零（B） A 必不能对角化（C） E+A+A2+Am-1 必可逆（D）A 只有一个线性无关的特征向量二、填空题7 设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值_，且其重数至少是_8 设 A 是 n 阶可逆矩阵，A 是 的特征值，则(A *)2+E 必有特征值_9 已知一 2 是 的特征值，则 x=_10 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A2+5A=0，则
3、 A 的特征值是_11 已知 =(1，1，一 1)T 是矩阵 的特征向量，则x=_12 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量_13 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1=(1，2，1) T 与 2=(1，一1，1) T 分别是 =0 与 =1 的特征向量，则 =2 的特征向量是_14 已知 相似，则x=_，y=_15 已知矩阵 有两个线性无关的特征向量，则a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知 求 A 的特征值、特征向量，并判断 A 能否相似对角化，说明理由17 已知 A*是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特
4、征向量18 已知 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 A，使 P-1AP=A19 已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，一 1 和 2 是 A 的特征值，B=A 2 一 A 一 2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由20 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A21 已知 AB，A 2=A，证明 B2=B22 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1,2,3 是相应的特征向量且线性无关，如1+2+3 仍是 A 的
5、特征向量，则 1=2=3考研数学三（线性代数）模拟试卷 79 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 如 A=，则故选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 如 A=A，则当 =2 时，知 选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 A 1=0，A 2=0，A 3=3则 A(1+32)=0，A( 1 一 2)=0，A(2 3)=23因此(A)，(B)，(D)都正确 A( 1+3)=3 和 1+3 不相关，因此 1+3 不是特征向量，故应选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C
6、【试题解析】 由EA T= (E A)T=EA 知 A 与 AT 有相同的特征值，但方程组(E A)x=0 与(E AT)x=0 不一定同解，故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选(c)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是实对称矩阵， (c)有 3 个不同的特征值，均可对角化(B)和(D)特征值都是 0，0 ，3在(B)中， n 一 r(0E 一 A)=2，说明 A=0 有 2 个线性无关的特征向量故呵以相似对角化在(D)中，nr(0E 一 A)=1，说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似埘角化故应选(D) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案
7、】 D【试题解析】 设 A=，0，则 m=m=0故 =0(A)正确 因为A0，r(A)1，那么 Ax=0 的基础解系有 nr(A)个解，即 =0 有，n 一 r(A)个线性关的特征向量故(B)正确，而(D)不一定正确由(EA)(E+A+A 2+Am-1)=EAm=E，知(C)正确故应选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 r(A)n A=0 是 A 的特征值 ;j(j=1，2，nr(A)【试题解析】 r(A)n A=0 必是 A 的特征值由 r(A)nAx=0 有非 0解设 1， 2， n-r(A)是 Ax=0 的基础解系，则 Ai=0=0i，即 j(j=1，2，n r(A)
8、是 =0 的特征向量.因此 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量从而 =0 至少是矩阵 A 的 n 一 r(A)重特征值注意：k 重特征值至多有 k个线性无关的特征向量【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 A 的特征值为 A *的特征值为 的特征值为的特征值为【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 x=-4【试题解析】 因为一 2 是矩阵 A 的特征值，所以由【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 一 5，一 5，0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故 AA又 r(A)=2，所以 r(A)=2设A=(0)，由 A2+5A=0 得 2+5=0因此 A 的特征值为 0 或
9、一 5从而所以矩阵 A 的特征值是：一 5，一 5，0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 x=4【试题解析】 设 A=，即 ，亦即【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5，即 亦即【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 t(一 1，0，1) T，t0【试题解析】 设 =2 的特征向量是 =(x1，x 2，x 3)，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有所以 =2 的特征向量是 t(一 1，0，1) T，t0【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 x=0,y=1【试题解析】 由 AB，知a ii=bii,且一 1 是 A 的特征值，即【
10、知识模块】 线性代数15 【正确答案】 a=0【试题解析】 由 A 的特征多项式知矩阵 A 的特征值是 =一 1(三重根 )，因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故从而 a=一 1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 由特征多项式得到矩阵 A 的特征值 1=2， 2=3=一 1由(2E 一 A)x=0 得基础解系 1=(5，一 2，9) T，即 =2 的特征向量是 k11(k10)由 (一 EA)x=0 得基础解系 2=(1，一 1，0) T，即 =一 1的特征向量是 k22(k20)因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，所以
11、 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 而 r(B)=1，则有E 一 B= 3 一 62所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0故矩阵 A 的特征值是5，一 1，一 1又行列式A=5，因此 A*的特征值是 1，一 5，一 5矩阵 B 属于 =6 的特征向量是 1=(1，1，1) T，属于 =0 的特征向量是 2=(一 1，1，0) T 和3=(一 1，0， 1)T因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10)，属于 =一 5 的特征向量是 k22+k33 (k2，k 3 不全为 0)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由特征多项式知矩阵 A 的特征值为 1=
12、2=1， 3=一 2因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1而所以 x=6当 =1 时，由(EA)x=0 得基础解系 1=(一 2，1，0) T， 2=(0，0，1) T当 =一 2 时，由(一 2EA)x=0得基础解系 3=(一 5，1，3) T那么，令【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆，有A=0，从而 =0 是 A 的特征值由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值，则 于是 P-1AP=A那么 P-1A2P=A2因此 P-1BP=P-1A2P 一 P-1AP 一 2E= 所以矩阵 B 的特征值是 =0，=一 2，且 B 可以相似对角化【知识模块】 线性代数2
13、0 【正确答案】 由 r(A)=2 知A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值设矩阵 A属于 =0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(一1，1，1) T那么 A(1,2，)=(6 1，6 2，0) ，用初等变换法解此矩阵方程得【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 AB，有 P 一 1AP=B，那么 B2=P 一 1A2P=P 一 1AP=B【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A(1+2+3) =A(1+2+3) 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是 ( 1)1+(2)2+(3)3=0 因为 1,2,3 线性无关，故 1=0， 2=0， 3=0 即1=2=3【知识模块】 线性代数
